课时作业(二十三) 双曲线及其标准方程

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1．双曲线eq \f(x2,10)－eq \f(y2,2)＝1的焦距为( )
A．2eq \r(2) B．3eq \r(2)
C．4eq \r(2) D．4eq \r(3)
2．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k＝( )
A．1 B．－1
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(eq \r(5)，0)和(－eq \r(5)，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1
4．已知双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
5．以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，eq \r(10))的双曲线的标准方程为________．
6．设圆C与两圆(x＋eq \r(5))2＋y2＝4，(x－eq \r(5))2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求C的圆心轨迹L的方程．
[提能力]
7．(多选)已知方程mx2＋ny2＝1，其中m2＋n2≠0，则( )
A．mn>0时，方程表示椭圆
B．当m>0，n<0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线
C．当m<0，n>0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线
D．当n>m>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
8．设双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
9．如图，若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[战疑难]
10．已知△ABC的顶点A(－p,0)，B(p,0)，其内心在直线x＝q上，且p>q>0，则顶点C的轨迹方程为________________．
课时作业(二十三)
1．解析：由c2＝a2＋b2＝10＋2＝12
∴c＝2eq \r(3)，∴焦距2c＝4eq \r(3)，故选D.
答案：D
2．解析：依题意，知双曲线的焦点在x轴上，且c＝3，方程可化为eq \f(x2,\f(1,k))－eq \f(y2,\f(8,k))＝1，则k>0，且a2＝eq \f(1,k)，b2＝eq \f(8,k)，所以eq \f(1,k)＋eq \f(8,k)＝9
解得k＝1，故选A.
答案：A
3．解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|·|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝2\r(5)2，))
⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，
即2a＝4，解得a＝2，又c＝eq \r(5)，所以b＝1.
故选C.
答案：C
4．解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|AF1|－|AF2|＝2a，,|BF1|－|BF2|＝2a，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|AF1|＝2a＋|AF2|，,|BF1|＝2a＋|BF2|，))
且|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝m，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.故选B.
答案：B
5．解析：由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2eq \r(2).
设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，eq \f(9,a2)－eq \f(10,b2)＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1.
答案：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1
6．解析：依题意得两圆的圆心分别为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，所以||CF2|－|CF1||＝4＝2a<|F1F2|＝2eq \r(5)＝2c，所以C的圆心轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，焦距为2eq \r(5)的双曲线，因此a＝2，c＝eq \r(5)，b2＝c2－a2＝1，故C的圆心轨迹L的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
7．解析：当m<0，n<0，则mx2＋ny2＝1不表示椭圆，A错误；
当m>0，n<0时，则eq \f(x2,\f(1,m))－eq \f(y2,－\f(1,n))＝1表示焦点在x轴上的双曲线，B正确；当m<0，n>0时，则eq \f(y2,\f(1,n))－eq \f(x2,－\f(1,m))＝1表示焦点在y轴上的双曲线，C正确；
当n>m>0时，0故选BCD.
答案：BCD
8．解析：由已知得F1(－2,0)，F2(2,0)．
设P(x，y)是双曲线右支上任一点，则1由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝\r(x＋22＋y2)，,|PF2|＝\r(x－22＋y2)，,x2－\f(y2,3)＝1，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝2x＋1，,|PF2|＝2x－1，))
又△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|2＋|PF2|2>|F1F2|2，
即(2x＋1)2＋(2x－1)2>42，得x>eq \f(\r(7),2)，
故eq \f(\r(7),2)答案：(2eq \r(7)，8)
9．解析：(1)由双曲线的定义得|MF1|－|MF2|＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
由于c－a＝5－3＝2,10>2,22>2，
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cs ∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16.
10.
解析：设△ABC的内心为G，过点G作AB，BC，AC的垂线，分别交AB，BC，AC于点D，E，F，如图，则CE＝CF，AD＝AF，BD＝BE.
由题意可知D(q,0)，则AD＝p＋q，BD＝p－q，
所以AC－BC＝AD－BD＝2q，AB＝2p，
所以点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
因为OA＝p，
所以顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,q2)－eq \f(y2,p2－q2)＝1(x>q)．
答案：eq \f(x2,q2)－eq \f(y2,p2－q2)＝1(x>q)