高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件训练含解析北师大版选修1_1

§2　充分条件与必要条件

1.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:若a=2,则ax+2y=0即x+y=0,与直线x+y=1平行,反之若直线ax+2y=0与x+y=1平行,则-=-1,a=2,故选C.

答案:C

2.设甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R,乙:0<a<1,则甲是乙的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R,则a=0或所以0≤a<1.所以甲是乙的必要不充分条件.

答案:B

3.“函数f(x)=cos x+m-1有零点”是“0≤m≤1”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:令f(x)=0得cosx=-m+1,若函数有零点,则-1≤-m+1≤1,解得0≤m≤2,因此“函数f(x)=cosx+m-1有零点”是“0≤m≤1”的必要不充分条件.

答案:B

4.已知直线a,b,平面α,β,且a⊥α,b⫋β,则“a⊥b”是“α∥β”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:a⊥α,若α∥β,则a⊥β.因为b⫋β,所以a⊥b成立.而a⊥b,显然不能推出α∥β,所以“a⊥b”是“α∥β”的必要不充分条件.

答案:B

5.的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:由及不等式的性质,可得成立.但由不能推出故选A.

答案:A

6.平面向量a,b都是非零向量,a·b>0是a与b夹角为锐角的　　　　　条件. 

解析:若a与b夹角为锐角,则a·b>0,反之当a·b>0时,若a,b方向相同,则a与b夹角不是锐角.

答案:必要不充分

7.导学号01844002下列四个命题为真命题的是　　　　　(填序号). 

①“a>b”是“2a>2b”的充要条件;

②“a=b”是“lg a=lg b”的充分不必要条件;

③“函数f(x)=ax2+bx(x∈R)为奇函数”的充要条件是“a=0”;

④“定义在R上的函数y=f(x)是偶函数”的必要条件是“=1”.

解析:①真,∵y=2x在R上是增函数,∴a>b⇔2a>2b;②假,当a=b≤0时,lga,lgb无意义;③真,f(x)是奇函数⇔f(-x)+f(x)=0⇔ax2-bx+ax2+bx=0⇔ax2=0⇔a=0;④假,如f(x)=x2-1是偶函数,但f(1)=0,无意义.

答案:①③

8.分别指出下列题目中p是q的什么条件.

(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;

(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;

(3)p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根;

(4)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.

解(1)∵x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0,则x=2或x=3,故不能推出x-2=0,∴p是q的充分不必要条件.

(2)∵两个三角形相似不能推出两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,∴p是q的必要不充分条件.

(3)∵m<-2⇒方程x2-x-m=0无实根,而方程x2-x-m=0无实根,则Δ=1+4m<0,即m<-,故不能推出m<-2,∴p是q的充分不必要条件.

(4)∵矩形的对角线相等,∴p⇒q,而对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形),

∴q不能推出p,∴p是q的充分不必要条件.

9.导学号01844003已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0,且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

证明(充分性)当q=-1时,a1=p-1,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),当n=1时也成立.

又p≠0,且p≠1,于是=p,故数列{an}为等比数列.

(必要性)当n=1时,a1=S1=p+q.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).

因为p≠0,且p≠1,

所以=p(n≥2).

因为{an}为等比数列,

所以=p,即=p,

即p-1=p+q,故q=-1.

综上所述,数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.