必刷卷01 2020-2021学年高二年级数学上学期期末仿真必刷模拟卷（人教A版2019）（解析版）

2020-2021学年高二上学期数学期末仿真必刷模拟卷【人教A版2019】
期末检测卷01
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.在三棱锥P﹣ABC中，PB＝BC，PA＝AC＝3，PC＝2，若过AB的平面α将三棱锥P﹣ABC分为体积相等的两部分，则棱PA与平面α所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：如图，

∵过AB的平面α将三棱锥P﹣ABC分为体积相等的两部分，
∴P到平面ABD与C到平面ABD的距离相等，取PC的中点D，
连接AD，BD，由PB＝BC，PA＝AC，可得PC⊥ABD，
∴∠PAD为棱PA与平面α所成角，
在Rt△PDA中，PA＝3，PD＝，
∴．
∴cos∠PAD＝，即棱PA与平面α所成角的余弦值为．
故选：D．
【知识点】直线与平面所成的角

2.已知三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为8π，AB＝AC＝BD＝CD，BC＝2AD，直线AD与平面BCD所成角为，则AB等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：取BC的中点O，∵AB＝AC＝BD＝CD
∴AO⊥BC，DO⊥BC，AO＝DO，
∵直线AD与底面BCD所成角为，∴∠ADO＝．
∴AO＝DO＝AD，
∵BC＝2AD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，即O为三棱锥外接球的球心，
∵三棱锥外接球的表面积为4π×R2＝8π，∴R＝．
∴AB＝＝2，
故选：B．

【知识点】球的体积和表面积、二面角的平面角及求法

3.若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（　　）
A．4﹣2 B．2﹣ C．﹣1 D．

【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0化成标准形式为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，其中圆心为（1，1），半径为2．

设直线与圆交于A、B两点，圆心为C，
因为直线把圆的周长分为1：2，所以∠ACB＝×360°＝120°，
所以圆心C（1，1）到直线ax+by﹣2＝0的距离为1，即，
因为a，b＞1，所以ab﹣2（a+b）+2＝0，
由基本不等式的性质可知，ab+2＝2（a+b）≥4，
当且仅当a＝b时，等号成立，此时有ab≥，
所以+＝＝＝+≤+＝2﹣．
所以+的最大值为2﹣．
故选：B．
【知识点】基本不等式及其应用、直线与圆的位置关系

4.若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　）
A．0≤α≤ B．＜α＜π C．≤α＜ D．＜α≤

【解答】解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），
则直线l的斜率k＝＝1+m2，
又由m∈R，则k＝1+m2≥1，
则有tanα＝k≥1，
又由0≤α＜π，
则≤α＜；
故选：C．
【知识点】直线的倾斜角

5.已知点P为双曲线﹣＝1（a＞b＞0）右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有S﹣S≥S成立，则双曲线的离心率取值范围是（　　）
A．（1，） B．（1，2） C．（1，2] D．（1，]

【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则＝•|PF1|•r，＝•|PF2|•r，
＝•|F1F2|•r，
∵≥，
∴|PF1|﹣|PF2|≥|F1F2|，
由双曲线的定义可知：|PF1|﹣|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
∴a≥c，即≤．
又e＝＞11，
∴双曲线的离心率的范围是（1，]．
故选：D．
【知识点】双曲线的性质

6.如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，设圆柱底面直径为d，则
椭圆短轴长2b＝d，
椭圆长轴竖直截面如下图所示：

由题意及图，可知
△ABC为直角等腰三角形，且AB＝d，
故AC＝d，BC＝d．
椭圆短轴长2a＝BC＝d．
∴a＝d，b＝d，
∴c2＝a2﹣b2＝（d）2﹣（d）2＝d2．
∴c＝d，
∴e＝＝＝．
故选：C．
【知识点】差分与数列的极值关系、椭圆的性质

7.已知圆C：与双曲线E：（a＞0，b＞0）的渐近线相切，且圆心C恰好是双曲线E的一个焦点，则双曲线E的标准方程是（　　）
A． B．
C． D．

【解答】解：如图，
圆C：的圆心坐标为（，0），半径为1，
双曲线E：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝，
由题意可得，，解得a2＝2，b2＝1．
∴双曲线E的标准方程是．
故选：B．

【知识点】圆与圆锥曲线的综合

8.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝3，S10＝15，则S20＝（　　）
A．255 B．375 C．250 D．200

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），则根据S5＝3，S10＝15得：
∴；
∴得：1+q5＝5；
∴q5＝4；
∴q10＝16；
∴＝17×15＝255．
故选：A．
【知识点】等比数列的前n项和

9.设有四个数的数列{an}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6．则实数m的取值范围为（　　）
A．m≥6 B． C．m≤6 D．m≥2

【解答】解：由题意，后3项成等差数列，其和为6，
故可设公差为d，后3项可写成2﹣d，2，2+d．
又∵前3项成等比数列，
根据等比中项的性质，可知第1项为．
∴数列{an}为：，2﹣d，2，2+d．
∴m＝+2﹣d+2
＝d2﹣3d+6
＝（d﹣3）2+≥．
故选：B．
【知识点】等差数列与等比数列的综合、等比数列的性质

10.设函数f（x）＝xlnx的图象与直线y＝2x+m相切，则实数m的值为（　　）
A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e

【解答】解：设切点为（s，t），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，
可得切线的斜率为1+lns＝2，解得s＝e，
则t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．
故选：B．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

11.已知函数f（x）＝x2﹣alnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≤0 D．0≤a≤1

【解答】解：∵f（x）＝x2﹣alnx在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＝x﹣＝≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤x2在[1，+∞）上恒成立，
即a≤1．
故选：B．
【知识点】利用导数研究函数的单调性

12.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）﹣f'（x）＜1，f（1）＝2，则不等式f（x）﹣1＞ex﹣1的解集为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，2） C．（1，+∞） D．（2，+∞）

【解答】解：因为f（x）﹣f'（x）＜1，f（1）＝2，
构造函数g（x）＝，则g′（x）＝＞0，
∴函数g（x）在R上单调递增．
又∵f（x）﹣1＞ex﹣1，g（1）＝1，
∴原不等式等价于g（x）＞g（1），
∴x＞1，
即原不等式的解集为（1，+∞）．
故选：C．
【知识点】利用导数研究函数的单调性

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P在底面ABCD内运动，且始终保持B1P∥平面A1DC1，设直线D1P与底面A1B1C1D1所成的角为θ，则sinθ的最大值为　　　　　　．

【解答】解：根据题意，设平面A1DC1，的棱长为2，如图：
B1A∥平面A1DC1，B1C∥平面A1DC1，则平面AB1C∥平面A1DC1，
若点P在底面ABCD内运动，且始终保持B1P∥平面A1DC1，则P必在线段AC上，
连接DP、PD1，设DP＝x，
又由DD1⊥底面ABCD，则∠DPD1就是直线D1P与底面A1B1C1D1所成的角，
即sinθ＝sin∠DPD1＝＝，
又由x的最小值为BD＝，
则sinθ的最大值为＝；
故答案为：．

【知识点】直线与平面所成的角

14.椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点（P在x轴上方），|PF1|＝|PQ|．若PQ⊥PF1，则椭圆的离心率e＝　　．

【解答】解：设|PF2|＝m，则|PF1|＝2a﹣m，
因为|PF1|＝|PQ|，所以|QF2|＝2a﹣m﹣m＝2a﹣2m，
由椭圆的定义可得|QF1|＝2a﹣（2a﹣2m）＝2m，
因为PQ⊥PF1，在△PF1Q中，|QF1|2＝2|PF1|2，即4m2＝2（2a﹣m）2①，可得m＝a，
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2，即4c2＝（2a﹣m）2+m2②，
由①﹣②×2可得4m2﹣8c2＝﹣2m2，即m2＝c2，可得m＝c，③，
所以a＝c，所以＝﹣

故答案为：﹣．

【知识点】椭圆的性质

15.已知数列{an}为正项的递增等比数列，a1+a5＝82，a2•a4＝81，记数列的前n项和为Tn，则使不等式成立的最大正整数n的值是　　．

【解答】解：因为数列{an}为正项的递增等比数列，
由a1+a5＝82，a2•a4＝81，解得a1＝1，q＝3，
，
故＝2•31﹣n，数列为首项为2，公比为的等比数列，
．
．
整理得：3n＜8080．
使不等式成立的最大整数n为8．
故答案为：8．
【知识点】等比数列的通项公式、数列的求和

16.若曲线y＝xlnx上在点P处的切线与直线x+2y﹣1＝0垂直，则点P的坐标为　　　　　

【解答】解：设切点P（m，n），y＝xlnx的导数为y′＝1+lnx，
可得切线的斜率为k＝1+lnm，
由切线与直线x+2y﹣1＝0垂直，可得1+lnm＝2，
解得m＝e，n＝e，
即P（e，e）．
故答案为：（e，e）．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，DC＝2AD＝2AB＝2∠DAB＝∠ADC＝90°，PB＝，△PDC为等边三角形．
（1）证明：PD⊥BC；
（2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．


【解答】解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，
DC＝2AD＝2AB＝2，∠DAB＝∠ADC＝90°，PB＝，△PDC为等边三角形．
∴BC＝BD＝＝，∴BD2+BC2＝CD2，PB2+BC2＝PC2，
∴BD⊥BC，PB⊥BC，∵BD∩PB＝B，
∴BC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，
∴PD⊥BC．
（2）∵BD2+PB2＝PD2，∴PB⊥BD，
以B为原点，BC为x轴，BD为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（﹣，，0），P（0，0，），D（0，，0），C（，0，0），
＝（﹣，，﹣），＝（0，），＝（），
设平面PAD的法向量＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝（﹣1，1，1），
设平面PCD的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，1），
由图知二面角A﹣PD﹣C的的平面角是钝角，
设二面角A﹣PD﹣C的平面角为θ，
∴cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，
∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．
【知识点】二面角的平面角及求法、直线与平面垂直

18.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），B（4，0），圆C经过点（0，﹣1），（0，1）及（﹣1，0）．斜率为k的直线l经过点B．
（1）求圆C的标准方程；
（2）当k＝2时，过直线l上的一点P向圆C引一条切线，切点为Q，且满足PQ＝PA，求点P的坐标；
（3）设M，N是圆C上任意两个不同的点，若以MN为直径的圆与直线l都没有公共点，求k的取值范围．

【解答】解：（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由圆C过（0，﹣1），（0，1）及（﹣1，0）．
可得E＝0，D＝2，F＝﹣1，
所以圆C的方程为：x2+y2+2x﹣1＝0；其标准方程为（x+1）2+y2＝2；
（2）设P（x，y），由PQ与圆C切于Q可得：PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝，
所以：（x+1）2+y2﹣2＝2[（x+1）2+y2]，整理可得：x2+y2﹣2x+8y+9＝0，
因为斜率为k＝2经过点B（4，0）的直线l的方程为y＝2（x﹣4），即y＝2x﹣8，而P在l上，
由解得：或，
所以P（3，﹣2）或（，﹣）；
（3）设以MN为直径的圆的圆心为K，T为该圆上任意一点，则K为MN的中点，设CK＝d，则圆的半径r＝，
因为|CK﹣r|≤CT≤CK+r，所以2﹣2d≤CT2≤2+2d，
因为M，N是圆C上任意两个不同的点，所以d∈[0，），
对于任意d∈[0，），d＝∈[0，1]，所以0≤CT2≤4，
故T总在以C（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆上或圆内，
故直线l：y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，与该圆无公共点，
所以＞2，解得k或k．
【知识点】圆的一般方程

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知以M点为圆心的圆M：x2+y2﹣14x﹣12y+60＝0及其上一点A（4，2）．
（Ⅰ）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线y＝6上，求圆N的标准方程；
（Ⅱ）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．


【解答】解：（1）∵N在直线y＝6上，∴设N（m，6），
∵圆N与x轴相切，∴圆N为（x﹣m）2+（y﹣6）2＝36，
化圆M：x2+y2﹣14x﹣12y+60＝0为（x﹣7）2+（y﹣6）2＝25，
则圆M的圆心坐标为M（7，6），半径为5，
又圆N与圆M外切，
∴|7﹣m|＝6+5，解得m＝﹣4或m＝18，
∴圆N的标准方程为（x+4）2+（y﹣6）2＝36或（x﹣18）2+（y﹣6）2＝36；
（2）由题意得OA＝，kOA＝，
设l：y＝x+b，即x﹣2y+2b＝0，
则圆心M到直线l的距离：d＝＝，
则|BC|＝2＝，
解得b＝﹣或b＝，
∴直线l的方程为：x﹣2y﹣5＝0或x﹣2y+15＝0．
【知识点】直线与圆的位置关系

20.在直角坐标系中，已知椭圆E经过点M（2，），且其左右焦点的坐标分别是（﹣3，0），（3，0）．
（1）求椭圆E的离心率及标准方程；
（2）设P（﹣3，t）为动点，其中t∈（﹣，），直线l经过点P且与椭圆E相交于A，B两点，若P为AB的中点，是否存在定点N，使|NA|＝|NB|恒成立？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由

【解答】解：（1）设椭圆E方程：．
∴c＝．
∵椭圆E经过点M（2，），∴2a＝＝4，
∴a＝2，可得b＝＝．
椭圆E的离心率为，椭圆标准方程：．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣6，y1+y2＝2t．
∵A、B在曲线C上，∴，
将以上两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y2+y2）＝0
⇒，
∴线段AB的垂直平分线方程：y﹣t＝﹣（x+3），
令y＝0，可得x＝，
故线段AB的垂直平分线过定点（，0）．
所以存在定点N（，0），使|NA|＝|NB|恒成立．

【知识点】椭圆的性质、椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合

21.在数列{an}中，a1＝1，且an+1＝（n∈N*）．
（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，且（n∈N*），
∴，，
．…（6分）
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式为（n∈N*）．…（9分）
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，左边＝a1，右边＝，因此，左边＝右边．
所以，当n＝1时，猜想成立．…（10分）
②假设n＝k（k＞1，k∈N*）时，猜想成立，即，
那么n＝k+1时，．
所以，当n＝k+1时，猜想成立．…（11分）
根据①和②，可知猜想成立．…（12分）
【知识点】归纳推理、数学归纳法

22.已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（Ⅰ）当a＝3时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若x∈（1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）当a＝3时，f（x）＝（x+1）lnx﹣3（x﹣1）的导数为
f′（x）＝lnx+﹣3＝lnx+﹣2，
曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k＝﹣1，
又切点为（1，0），则切线方程为y＝﹣（x﹣1），
即为x+y﹣1＝0；
（Ⅱ）x∈（1，+∞），f（x）＞0，
可得a＜在x＞1恒成立，
设g（x）＝，x＞1，g′（x）＝，
令h（x）＝x﹣﹣2lnx，h′（x）＝1+﹣＝＞0，
可得h（x）在（1，+∞）递增，h（x）＞h（1）＝0，
即g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，
由﹣2＝，设y＝（x+1）lnx﹣2（x﹣1），x＞1，y′＝lnx+﹣1，
y″＝﹣＝＞0，可得函数y在（1，+∞）递增，可得y＞0，
则＞2恒成立．
可得a≤2．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

23.已知函数（a∈R），
（1）若函数y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设函数F（x）＝ag（x）﹣x•f（x），证明：a＞1是函数F（x）有两个零点的充分条件．

【解答】解：（1）方法一：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵函数y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0，
即2ax2﹣3x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，设h（x）＝2ax2﹣3x+a，对称轴
①当a＝0时显然不成立；
②当a＞0时，，h（x）在上递增，在上递减，
∴，即；
③当a＜0时，，h（x）在（0，+∞）上递增，又因为h（0）＝a＜0
综合上述知，，
解析二：即2ax2﹣3x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即
∵，当且仅当时，最小值为
∴∴；
（2）由题意知F（x）＝xlnx﹣ax+a，“函数 F（x）有两个零点”等价于“方程 xlnx﹣ax+a＝0两个根”，
由于 x＞0，也等价于“函数有两个零点”则 ，
当a＞0时，令h'（x）＞0得x＞a，令h'（x）＜0得x＜a，
即函数h（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a），
因此h（x）min＝lna﹣a+1，令G（a）＝lna﹣a+1，则，
当a＞1时，G'（a）＜0∴G（a）在（1，+∞）上为减函数G（1）＝0，∴G（a）＜0，
又，故函数h（x）有两个零点
即a＞1是函数F（x）有两个零点的充分条件．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件、利用导数研究函数的单调性