专题8 两条直线平行和垂直的判定（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题8 两条直线平行和垂直的判定

考点1 两条直线平行

1.若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题

(1)若l1∥l2，则斜率k1＝k2；

(2)若斜率k1＝k2，则l1∥l2；

(3)若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；

(4)若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.

其中正确命题的个数是(　　)

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】C

【解析】(1)当两直线都垂直与x轴，得到l1∥l2，但是两斜率不存在，此命题错误；

(2)因为两直线的斜率相等即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切值相等即tanα1＝tanα2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，此命题正确；

(3)因为l1∥l2，根据两直线平行，得到α1＝α2，此命题正确；

(4)因为两直线的倾斜角α1＝α2，根据同位角相等，得到l1∥l2，此命题正确；

所以正确的命题个数是3，

故选C.

2.已知直线方程l1：y＝x＋，l2：y＝x＋，则l1与l2的关系(　　)

A．平行

B．重合

C．相交

D．以上答案都不对

【答案】A

【解析】∵直线l1的斜率k1＝，

同理可得直线l2的斜率k2＝，

∴k1＝k2，

∵两条直线在y轴上的截距分别为和，不相等，

∴l1与l2互相平行，

故选A.

3.满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(　　)

①l1的斜率为2，l2过点A(1，2)，B(4，8)，且l1不经过A点；

②l1经过点P(3，3)，Q(－5，3)，l2平行于x轴，但不经过P点；

③l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0，5)．

A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③

【答案】D

【解析】由斜率公式，①中，直线l2的斜率也为2，故l1∥l2；②中，直线l1的斜率也为0，故l1∥l2；③两条直线的斜率均为，且两直线没有公共点，故l1∥l2，故选D.

4.已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)，(x，6)，且l1∥l2，则x等于(　　)

A．2

B．－2

C．4

D．1

【答案】A

【解析】∵直线l1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，

∴直线l1的斜率不存在，

∵l1∥l2直线l2经过两点(2，1)，(x，6)，

∴x＝2，

故选A.

5.若三条不同的直线ax＋y＝1，x＋ay＝1与x轴不能构成三角形，则a等于(　　)

A．0

B．－1

C．0或－1

D．0或－1或1

【答案】C

【解析】∵三条不同的直线ax＋y＝1，x＋ay＝1与x轴不能构成三角形，三条直线中必有两条直线平行．

①当a＝0时，直线ax＋y＝1与x轴平行，满足条件．

②当直线ax＋y＝1与x＋ay＝1平行时，－a＝－，

∴a＝±1.

x＋ay＝1与x轴不可能平行．

其中当a＝1时，ax＋y＝1与x＋ay＝1重合，因此要舍去a＝1，

综上，a＝0或－1.

故选C.

6.直线y＝－x＋与直线y＝－x－平行，则a的值为(　　)

A．2

B．±2

C．

D．±

【答案】D

【解析】∵直线y＝x＋与直线y＝平行，显然a≠0，

∴即

解得a＝，

故选D.

7.直线l1、l2的斜率k1、k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1∥l2，则b＝________.

【答案】－

【解析】由根与系数的关系可知k1＋k2＝，k1·k2＝－，

则当l1∥l2时，k1＝k2＝，

解得b＝－2k1·k2＝－.

考点2 两条直线垂直

8.下列说法中，正确的有(　　)

①斜率均不存在的两条直线可能重合；

②若直线l1⊥l2，则这两条直线的斜率互为负倒数；

③两条直线的斜率互为负倒数，则这两条直线垂直；

④两条直线l1，l2中，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则l1⊥l2.

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】C

【解析】斜率均不存在的两条直线可能平行，也可能重合，故①正确，两直线垂直，有两种情况：当两条直线都有斜率时，斜率乘积为－1；也可以一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，故②错误，③④正确．

9.下列直线中，与直线y＝－3x＋2垂直的是(　　)

A．y＝3x－20

B．y＝－3x＋20

C．y＝x－20

D．y＝－x－20

【答案】C

【解析】直线y＝－3x＋2的斜率k＝－3，

∵两直线垂直时斜率之积为－1，

∴另一条直线的斜率为，

∵A，B，C，D的斜率分别是3，－3，，－，

故选C.

10.下列各对直线不互相垂直的是(　　)

A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)

B．l1的斜率为－，l2过点A(1，1)，B(0，－)

C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2)

D．l1过点M(1，0)，N(4，－5)、l2过点A(－6，0)，S(－1，3)

【答案】C

【解析】A选项中，k1＝tan120°＝－，k2＝，k1·k2＝－1，故l1⊥l2；

B选项中，k1＝－，k2＝，k1·k2＝－1，故l1⊥l2；

C选项中，k1＝tan30°＝，k2＝，k1·k2≠－1，故l1与l2不垂直；

D选项中，k1＝－，故k2＝，k1·k2＝－1，故l1⊥l2.

11.满足下列条件的l1与l2，其中l1⊥l2的是(　　)

①l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B(0，－)；

②l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－5)；

③l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，l2经过点R(－6，0)，S(－1，3)．

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

【答案】B

【解析】①∵＝－，＝＝，

∴·＝－1，∴l1⊥l2.

②＝tan45°＝1，＝＝－.

而·≠－1，∴l1不垂直l2.

③＝＝－，＝＝，

而·＝－1，∴l1⊥l2，故选B.

12.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1，1)，若l1过原点O(0，0)，则l2与y轴交点的坐标为(　　)

A．(2，0)

B．(0，2)

C．(0，1)

D．(1，0)

【答案】B

【解析】设l2与y轴交点为B(0，b)，

∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.

∴kOA·kAB＝－1.

∴×＝－1，

解得b＝2，即l2与y轴交点的坐标为(0，2)．

13.如果直线y＝x－与直线y＝－x＋2互相垂直，那么a的值等于(　　)

A．1

B．－

C．－

D．－2

【答案】D

【解析】∵直线y＝x－与直线y＝－x＋2互相垂直，

∴斜率之积等于－1，∴·(－1)＝－1，a＝－2，

故选D.

14.直线y＝2x－1与直线y＝－x＋相互垂直，则实数a的值为(　　)

A．2

B．－2

C．

D．－

【答案】A

【解析】∵直线y＝2x－1与直线y＝－x＋相互垂直，

∴它们的斜率之积等于－1，

∴2×(－)＝－1，解得a＝2，

故选A.

15.已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________.

【答案】.

【解析】由题意得AD⊥BC，则有kAD·kBC＝－1，

所以有·＝－1，解得m＝.

16.已知直线y＝－x＋2与y＝(a－1)x－3互相垂直，则a的值为________．

【答案】2或－1

【解析】设直线y＝－x＋2与y＝(a－1)x－3的斜率分别为k1、k2，

则k1＝－，k2＝a－1；

又由两直线互相垂直得到k1·k2＝－1，

所以－·(a－1)＝－1，

解得a＝2或a＝－1，

故答案为2或－1.

考点3 两条直线平行和垂直的综合应用

17.已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：y＝－x＋1与直线l1平行，则a＋b等于(　　)

A．－4

B．－2

C．0

D．2

【答案】B

【解析】∵l的斜率为－1，则l1的斜率为1，

∴kAB＝＝1，∴a＝0.

由l1∥l2得，－＝1，得b＝－2，所以a＋b＝－2，

故选B.

18.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，则顶点D的坐标为(　　)

A．(3，4)

B．(4，3)

C．(3，1)

D．(3，8)

【答案】A

【解析】设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，

∴解得

∴点D的坐标为(3，4)．

19.过点A(0，)与B(7，0)的直线l1与过点(2，1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于(　　)

A．－3

B．3

C．－6

D．6

【答案】B

【解析】由题意知l1⊥l2，∴·＝－1.

即(－)k＝－1，k＝3.

20.当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：

(1)倾斜角为135°；

(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直；

(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行．

【答案】(1)由kAB＝＝tan135°＝－1，

解得m＝－或m＝1.

(2)由kAB＝，且＝3，

则＝－，解得m＝或m＝－3.

(3)令＝＝－2，

解得m＝或m＝－1.

21.试确定m的值，使过点A(2m，2)，B(－2，3m)的直线与过点P(1，2)，Q(－6，0)的直线(1)平行；(2)垂直．

【答案】直线PQ的斜率为kPQ＝.

直线AB的斜率为kAB＝.

(1)∵AB∥PQ，∴kPQ＝kAB，

∴＝，解得m＝.

(2)若AB⊥PQ，则kAB·kPQ＝－1.

即·＝－1，解得m＝－.

22.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．

【答案】由斜率公式得kOP＝＝t，

kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，

kPQ＝＝＝－.

∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.

∴四边形OPQR为平行四边形．

又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，

故四边形OPQR为矩形．

23.已知点A(0，0)，B(2，4)，C(6，2)，D(4，－2)．

(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系；

(2)试判断直线AB与直线AD的位置关系；

(3)试判断四边形ABCD的形状；

(4)设点E(3，1)，判断点A，E，C是否共线．

【答案】(1)因为kAB＝2，kCD＝2，

所以直线AB和直线CD平行或共线，又kAC＝≠2，

所以直线AB和直线CD平行．

(2)因为kAD＝－，kAB·kAD＝－1，

所以直线AB与直线AD垂直．

(3)因为kBC＝－＝kAD，由(1)(2)可知，四边形ABCD是矩形．

(4)因为kAE＝＝kAC，且有公共点A，所以点A，E，C共线．

24.已知在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．

(1)求点D的坐标；

(2)试判定平行四边形ABCD是否为菱形？

【答案】(1)设D(a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，

∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，

∴解得

∴D(－1，6)．

(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，

∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD为菱形．

25.如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，点P(0，p)在线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F.若BE⊥AC，求证：CF⊥AB.

【答案】根据点B(b，0)和点P的坐标(0，p)写出直线BP的斜率为－，

由点A(0，a)和C(c，0)写出直线AC的斜率为－，

因为BE⊥AC，所以(－)(－)＝－1，即pa＝－bc；

而由C(c，0)和P(0，p)斜率为－，由A(0，a)和B(b，0)斜率为－，

则斜率之积为(－)(－)＝＝＝－1，

所以CF⊥AB.

26.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5m，宽AB＝3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直？

【答案】如图所示，以点B为坐标原点，

BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系．

由AD＝5，AB＝3，

可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)．

设点M的坐标为(x，0)，

因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1，

所以·＝－1，即x＝＝3.2，

即BM＝3.2m时，两条小路所在直线AC与DM相互垂直．