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必刷卷03 2020-2021学年高二年级数学上学期期末仿真必刷模拟卷（人教A版2019）（解析版）
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2020-2021学年高二上学期数学期末仿真必刷模拟卷【人教A版2019】
期末检测卷03
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，CD＝2AB＝2AP＝2AD，则直线PB与平面PCD所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：取DP的中点E，PC的中点F，可得EF∥CD且CD＝2EF，
又由AB∥CD且CD＝2AB，可得AB∥EF且AB＝EF，
故四边形ABFE为平行四边形，可得BF∥AE，
由PA＝AD，PE＝DE，可得AE⊥PD，
又由PA⊥底面ABCD，知CD⊥AP，
又CD⊥AD，有CD⊥平面PAD，可得CD⊥AE，
故AE⊥平面PCD，则BF⊥平面PCD，
则直线PB与平面PCD所成的角为∠BPF，
设PA＝AB＝AD＝1，CD＝2，
可得，，，
在Rt△PBF中，
故，即直线PB与平面PCD所成角的大小为．
故选：A．
【知识点】直线与平面所成的角
2.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，E为CC1的中点，则二面角E﹣BD﹣C的平面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
连接AC，BD，相交于点O，
∵AB＝BC，∴OC⊥BD，而△BCE≌△DCE，
∴BE＝DE，则OE⊥BD，
∴∠EOC为二面角E﹣BD﹣C的平面角，
设AB＝BC＝2，则OC＝＝，
，则CE＝．
∴∠EOC＝．
即二面角E﹣BD﹣C的平面角的大小为．
故选：B．
【知识点】二面角的平面角及求法
3.若直线l1：y＝kx﹣k+1与直线l2关于点（3，3）对称，则直线l2一定过定点（ ）
A．（3，1） B．（2，1） C．（5，5） D．（0，1）
【解答】解：由于直线l1：y＝k（x﹣1）+1恒过定点（1，1），其关于点（3，3）对称的点为（5，5），
又由于直线l1：y＝k（x﹣1）+1与直线l2关于点（3，3）对称，
∴直线l2恒过定点（5，5）．
故选：C．
【知识点】恒过定点的直线、与直线关于点、直线对称的直线方程
4.两圆x2+y2＝4和（x+2）2+（y﹣a）2＝25相切，则实数a的值为（ ）
A．± B． C．或3 D．±或±3
【解答】解：根据题意：x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，圆（x+2）2+（y﹣a）2＝25的圆心为（﹣2，a），半径为5，
若两圆相切，分2种情况讨论：
当两圆外切时，有（﹣2）2+a2＝（2+5）2，解可得a＝±3，
当两圆内切时，有（﹣2）2+a2＝（2﹣5）2，解可得a＝±，
综合可得：实数a的值为±或±3；
故选：D．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
5.若圆（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0）上有且仅有两个点到直线2x﹣y+6＝0的距离等于，则r的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，3） C．（，2） D．（2，3）
【解答】解：∵圆（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0）的圆心到直线2x﹣y+6＝0的距离为d：d＝＝2，
当r＝时，圆上只有一个点到直线的距离等于，当r＝3时，圆上有三个点到直线的距离等于，
∴圆（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0）上有且仅有两个点到直线2x﹣y+6＝0的距离等于时，
圆的半径r的取值范围是：＜r＜3，
故选：B．
【知识点】直线与圆的位置关系
6.已知P是双曲线上的点F1，F2是其左、右焦点，且，若△PF1F2的面积为9，则a等于（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【解答】解：由得，设，，不妨设m＞n，
则，得a＝1．
故选：B．
【知识点】双曲线的性质
7.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，由点A，B向右准线作垂线，设垂足分别为A1，B1，
设||＝t，∵，∴||＝3t．
由椭圆的第二定义，可得：|AA1|＝，|BB1|＝．
过点A向直线BB1作垂线，设垂足为Q，则
在Rt△ABQ中，cos∠ABQ＝＝．
即＝cos＝＝，
解得e＝．
故选：A．
【知识点】椭圆的性质
8.直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于点A，B，若|AF|＝t|FB|，若直线l的斜率为，则t＝（ ）
A． B．或 C． D．或
【解答】解：不妨设t≥1，则A在x轴上方，
过A，B分别作抛物线的准线的垂线，
垂足分别为A1，B1，过B作BD⊥AA1于D，
设|FB|＝r，
则|AB|＝（t+1）r，|AD|＝（t﹣1）r，
所以|BD|＝＝2r，
所以＝tan∠BAD＝＝，所以t＝．
由抛物线的对称性，t的值还可以为．
故选：D．
【知识点】抛物线的性质
9.已知等比数列{an}中，a3＝4，a7＝9，则a5＝（ ）
A．6 B．﹣6 C．6.5 D．±6
【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a5＝＝＝6．
故选：A．
【知识点】等比数列的通项公式
10.数列{an}中，则，则a5＝（ ）
A．3333 B．7777 C．33333 D．77777
【解答】解：＝＝＝，
则a5＝＝33333．
故选：C．
【知识点】数列的函数特性
11.设函数f（x）在R上的导函数为f'（x），且2f（x）+xf'（x）＞4x2，下面的不等式在R上恒成立的是（ ）
A．f（x）＞x B．f（x）＜x C．f（x）＞0 D．f（x）＜0
【解答】解：由2f（x）+xf'（x）＞4x2，令x＝0，则f（0）＞0，故可排除B，D．
假设f（x）＝x2+0.1，则f'（x）＝2x，2f（x）+xf'（x）﹣4x2＝0.2＞0，
∴2f（x）+xf'（x）＞4x2，但是f（x）＞x未必成立，故可排除A．
故选：C．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
12.已知函数F（x）＝sinx﹣ax+a﹣a，当x∈[π，2π]时，F（x）＞0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣∞，﹣）
【解答】解：由题意，当a＝﹣1时，F（x）＝sinx+x﹣+1，在x∈[π，2π]时，函数是增函数，
所以x＝π时，函数的最小值为：F（π）＝0+π﹣＞0，恒成立，所以排除B，C，
当a＝﹣时，F（x）＝sinx+（x﹣+1），F′（x）＝sinx+，在x∈[π，），（，2π]时，函数是增函数，x∈（，），函数是减函数，
所以x＝时，函数的最小值为：F（）＝+（﹣）＞0，恒成立，排除A，
故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的极值、函数恒成立问题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，则CD1与平面ADD1A1所成角的大小为 ；CD与AE所成角的余弦值为 ．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，
∵CD⊥ADD1A1，
∴∠CD1D是平面则CD1与平面ADD1A1所成角，
∵CD＝DD1，CD⊥DD1，
∴∠CD1D＝45°，
∴平面则CD1与平面ADD1A1所成角的大小为45°；
∵CD∥AB，∴∠BAE是CD与AE所成角（或所成角的补角），
设AB＝2，则AE＝＝3，
∴CD与AE所成角的余弦值为cos∠BAE＝＝．
故答案为：45°，．
【知识点】异面直线及其所成的角、直线与平面所成的角
14.已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为 ．
【解答】解：如图，
直线3x+4y+8＝0与圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0相离，
化圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0为（x﹣1）2+（y+1）2＝1，圆心坐标为C（1，﹣1），半径为1．
连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，
则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．
∵AC是半径，为定值1，要使三角形PAC的面积最小，则PC最小，
|PC|＝，
∴|PA|＝．
∴四边形PACB面积的最小值为2×．
故答案为：．
【知识点】直线与圆的位置关系
15.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ．
【解答】解：根据题意，设椭圆的方程为+＝1，（a＞b＞0），
若直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，设直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则直线的方程为+＝1，
若椭圆中心即（0，0）到l的距离为其短轴长的，
则有＝，变形可得b2＝3c2，
则a2＝b2+c2＝4c2，即a＝2c，
则该椭圆的离心率e＝＝；
故答案为：．
【知识点】椭圆的性质
16.函数f（x）＝alnx+bx2+x在x＝1处取得极大值﹣1，则a﹣b＝ ．
【解答】解：∵f（x）＝alnx+bx2+x，
∴，
∵f′（1）＝0，
∴a+2b+1＝0，
∵f（1）＝﹣1，
∴0+b+1＝﹣1
∴解得a＝3，b＝﹣2，
则a﹣b＝5．
故答案为：5．
【知识点】利用导数研究函数的极值
三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AD＝4，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，且，O为底面ABCD的中心．
（1）求异面直线PO与AD所成角的余弦值；
（2）若E为PD中点，F在棱PA上，若，λ∈[0，1]，且二面角O﹣EF﹣D的正弦值为，求实数λ的值．
【解答】解：（1）∵面PAD⊥面ABCD，PA⊥AD，
∵面PAD∩面ABCD＝AD，∴PA⊥面ABCD，
∵底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP三条线两两垂直．
以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
知A（0，0，0），B（2，0，0），O（1，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），
，，
＝，
所以异面直线PO与AD所成角的余弦值为．
（2）结合（1）知E（0，2，2），AB⊥面PAD，
取平面PAD的法向量．
∵，λ∈[0，1]，PA＝4，∴FA＝4λ，∴F（0，0，4λ），
设平面OEF的法向量为，
又，，
，即，
令x＝2，得，
又因为二面角O﹣EF﹣D的正弦值为，
所以，
即，
解得．
【知识点】异面直线及其所成的角、二面角的平面角及求法
18.已知△ABC三个顶点A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边中线AD所在的直线方程
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
∴BC中点D（0，1），
∴kAD＝﹣3
∴AD直线方程为3x+y﹣1＝0；
，
，
．
【知识点】待定系数法求直线方程
19.一动点到两定点距离的比值为非零常数λ，当λ≠1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点A、B的坐标分别为：A（4，0）、B（1，0），动点M满足AM＝2BM．
（1）求动点M的阿波罗尼斯圆的方程；
（2）过P（2，3）作该圆的切线l，求l的方程．
【解答】解：（1）设动点M坐标为（x，y），则AM＝，BM＝，
又知AM＝2BM，则＝2，得x2+y2＝4．
（2）当直线l的斜率存在为k时，则直线l的方程为：y＝kx﹣2k+3，l与圆相切，
则d＝＝2，得：k＝，
此时l的方程为：12x﹣5y+9＝0；
当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为：x＝2，
综上：直线l的方程为x＝2与12x﹣5y+9＝0．
【知识点】圆的切线方程、圆的标准方程
20.已知椭圆C：+＝1（a＞0，b＞0）的离心率，且过焦点的最短弦长为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过点F2的直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求△F1AB的内切圆半径的最大值．
【解答】解（1）离心率，且过焦点的最短弦长为3，
由题意可得，解得，c＝1，
故椭圆的标准方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，
因为△F1AB的周长为4a＝8，R＝4R，
因此最大，R就最大，
又＝，
由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，
由得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
所以，
又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，
即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，
则＝＝，
令，则t≥1，
所以＝，令，
由对勾函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，
即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，
因此有，所以≤3，
即当t＝1，m＝0时，最大，此时，
△F1AB的内切圆半径的最大值为．
【知识点】直线与椭圆的综合、椭圆的标准方程
21.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A点在抛物线上，且A的横坐标为4，|AF|＝5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设l为过（4，0）点的任意一条直线，若l交抛物线于A，B两点，求证：以AB为直径的圆必过坐标原点．
【解答】（1）解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线为x＝﹣，
由抛物线的定义可得，|AF|＝4+＝5，
解得p＝2，
即有抛物线的方程为y2＝4x；
（2）证明：设直线l：x＝my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），
代入抛物线方程y2＝4x，可得
y2﹣4my﹣16＝0，
判别式为16m2+64＞0恒成立，
y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，
x1x2＝•＝16，
即有x1x2+y1y2＝0，
则⊥，
则以AB为直径的圆必过坐标原点．
【知识点】抛物线的性质
22.已知数列{an}满足：a1＝2，nan+1＝（n+1）an+n（n+1），n∈N*．
（1）求证：数列{}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝（n∈N*），用数学归纳法证明：b1+b2+…+bn＜1﹣，n∈N*．
【解答】解：（1）证明：a1＝2，nan+1＝（n+1）an+n（n+1），
可得＝+1，
则数列{}为首项为2，公差为1的等差数列，
则＝2+n﹣1＝n+1，即an＝n（n+1）；
（2）证明：bn＝＝，
当n＝1时，b1＝，1﹣＝，即＜；
假设n＝k时，不等式b1+b2+…+bk＜1﹣，k∈N*．
当n＝k+1时，b1+b2+…+bk+bk+1＜1﹣+，
要证1﹣+＜1﹣，
即为＜﹣，
即为2（k+1）＜2k+3，显然成立，即n＝k+1时，不等式成立．
则b1+b2+…+bn＜1﹣，n∈N*．
【知识点】数学归纳法
23.已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣（a+2）x+2（a为常数）．
（1）若f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直，求a的值；
（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若a为正整数，函数f（x）恰好有两个零点，求a的值．
【解答】解：（1）由题意x＞0，，则f'（1）＝a﹣1，
由于函数y＝f（x）的图象在（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直，
则，∴f'（1）＝a﹣1＝3，因此，a＝4；
（2）∵a＞0，则．①若0＜a＜2时，，
当或时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，
∴y＝f（x）在和单调递增，在单调递减，
②若a＝2时，，对x＞0，f'（x）≥0恒成立，y＝f（x）在（0，+∞）单调递增；
③若a＞2时，，当或时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，
∴y＝f（x）在和单调递增，在单调递减；
（3）∵a为正整数，若0＜a＜2，则a＝1，f（x）＝lnx+x2﹣3x+2，
由（2）知y＝f（x）在和（1，+∞）单调递增，在单调递减，
又f（1）＝0，∴y＝f（x）在区间内仅有1实根，，
又f（e﹣2）＝e﹣4﹣3e﹣2＝e﹣2（e﹣2﹣3）＜0，∴y＝f（x）在区间内仅有1个实根．
此时y＝f（x）在区间（0，+∞）内恰有2个实根；
若a＝2，y＝f（x）在（0，+∞）单调递增，至多有1个实根．
若a＞2，，
令，则，y＝lnt﹣t+1，，
∴．
由（2）知y＝f（x）在单调递减，在和单调递增，
∴，∴y＝f（x）在（0，+∞）至多有1个实根．
综上，a＝1．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性
期末检测卷03
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，CD＝2AB＝2AP＝2AD，则直线PB与平面PCD所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：取DP的中点E，PC的中点F，可得EF∥CD且CD＝2EF，
又由AB∥CD且CD＝2AB，可得AB∥EF且AB＝EF，
故四边形ABFE为平行四边形，可得BF∥AE，
由PA＝AD，PE＝DE，可得AE⊥PD，
又由PA⊥底面ABCD，知CD⊥AP，
又CD⊥AD，有CD⊥平面PAD，可得CD⊥AE，
故AE⊥平面PCD，则BF⊥平面PCD，
则直线PB与平面PCD所成的角为∠BPF，
设PA＝AB＝AD＝1，CD＝2，
可得，，，
在Rt△PBF中，
故，即直线PB与平面PCD所成角的大小为．
故选：A．
【知识点】直线与平面所成的角
2.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，E为CC1的中点，则二面角E﹣BD﹣C的平面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
连接AC，BD，相交于点O，
∵AB＝BC，∴OC⊥BD，而△BCE≌△DCE，
∴BE＝DE，则OE⊥BD，
∴∠EOC为二面角E﹣BD﹣C的平面角，
设AB＝BC＝2，则OC＝＝，
，则CE＝．
∴∠EOC＝．
即二面角E﹣BD﹣C的平面角的大小为．
故选：B．
【知识点】二面角的平面角及求法
3.若直线l1：y＝kx﹣k+1与直线l2关于点（3，3）对称，则直线l2一定过定点（ ）
A．（3，1） B．（2，1） C．（5，5） D．（0，1）
【解答】解：由于直线l1：y＝k（x﹣1）+1恒过定点（1，1），其关于点（3，3）对称的点为（5，5），
又由于直线l1：y＝k（x﹣1）+1与直线l2关于点（3，3）对称，
∴直线l2恒过定点（5，5）．
故选：C．
【知识点】恒过定点的直线、与直线关于点、直线对称的直线方程
4.两圆x2+y2＝4和（x+2）2+（y﹣a）2＝25相切，则实数a的值为（ ）
A．± B． C．或3 D．±或±3
【解答】解：根据题意：x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，圆（x+2）2+（y﹣a）2＝25的圆心为（﹣2，a），半径为5，
若两圆相切，分2种情况讨论：
当两圆外切时，有（﹣2）2+a2＝（2+5）2，解可得a＝±3，
当两圆内切时，有（﹣2）2+a2＝（2﹣5）2，解可得a＝±，
综合可得：实数a的值为±或±3；
故选：D．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
5.若圆（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0）上有且仅有两个点到直线2x﹣y+6＝0的距离等于，则r的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，3） C．（，2） D．（2，3）
【解答】解：∵圆（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0）的圆心到直线2x﹣y+6＝0的距离为d：d＝＝2，
当r＝时，圆上只有一个点到直线的距离等于，当r＝3时，圆上有三个点到直线的距离等于，
∴圆（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0）上有且仅有两个点到直线2x﹣y+6＝0的距离等于时，
圆的半径r的取值范围是：＜r＜3，
故选：B．
【知识点】直线与圆的位置关系
6.已知P是双曲线上的点F1，F2是其左、右焦点，且，若△PF1F2的面积为9，则a等于（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【解答】解：由得，设，，不妨设m＞n，
则，得a＝1．
故选：B．
【知识点】双曲线的性质
7.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，由点A，B向右准线作垂线，设垂足分别为A1，B1，
设||＝t，∵，∴||＝3t．
由椭圆的第二定义，可得：|AA1|＝，|BB1|＝．
过点A向直线BB1作垂线，设垂足为Q，则
在Rt△ABQ中，cos∠ABQ＝＝．
即＝cos＝＝，
解得e＝．
故选：A．
【知识点】椭圆的性质
8.直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于点A，B，若|AF|＝t|FB|，若直线l的斜率为，则t＝（ ）
A． B．或 C． D．或
【解答】解：不妨设t≥1，则A在x轴上方，
过A，B分别作抛物线的准线的垂线，
垂足分别为A1，B1，过B作BD⊥AA1于D，
设|FB|＝r，
则|AB|＝（t+1）r，|AD|＝（t﹣1）r，
所以|BD|＝＝2r，
所以＝tan∠BAD＝＝，所以t＝．
由抛物线的对称性，t的值还可以为．
故选：D．
【知识点】抛物线的性质
9.已知等比数列{an}中，a3＝4，a7＝9，则a5＝（ ）
A．6 B．﹣6 C．6.5 D．±6
【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a5＝＝＝6．
故选：A．
【知识点】等比数列的通项公式
10.数列{an}中，则，则a5＝（ ）
A．3333 B．7777 C．33333 D．77777
【解答】解：＝＝＝，
则a5＝＝33333．
故选：C．
【知识点】数列的函数特性
11.设函数f（x）在R上的导函数为f'（x），且2f（x）+xf'（x）＞4x2，下面的不等式在R上恒成立的是（ ）
A．f（x）＞x B．f（x）＜x C．f（x）＞0 D．f（x）＜0
【解答】解：由2f（x）+xf'（x）＞4x2，令x＝0，则f（0）＞0，故可排除B，D．
假设f（x）＝x2+0.1，则f'（x）＝2x，2f（x）+xf'（x）﹣4x2＝0.2＞0，
∴2f（x）+xf'（x）＞4x2，但是f（x）＞x未必成立，故可排除A．
故选：C．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
12.已知函数F（x）＝sinx﹣ax+a﹣a，当x∈[π，2π]时，F（x）＞0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣∞，﹣）
【解答】解：由题意，当a＝﹣1时，F（x）＝sinx+x﹣+1，在x∈[π，2π]时，函数是增函数，
所以x＝π时，函数的最小值为：F（π）＝0+π﹣＞0，恒成立，所以排除B，C，
当a＝﹣时，F（x）＝sinx+（x﹣+1），F′（x）＝sinx+，在x∈[π，），（，2π]时，函数是增函数，x∈（，），函数是减函数，
所以x＝时，函数的最小值为：F（）＝+（﹣）＞0，恒成立，排除A，
故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的极值、函数恒成立问题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，则CD1与平面ADD1A1所成角的大小为 ；CD与AE所成角的余弦值为 ．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，
∵CD⊥ADD1A1，
∴∠CD1D是平面则CD1与平面ADD1A1所成角，
∵CD＝DD1，CD⊥DD1，
∴∠CD1D＝45°，
∴平面则CD1与平面ADD1A1所成角的大小为45°；
∵CD∥AB，∴∠BAE是CD与AE所成角（或所成角的补角），
设AB＝2，则AE＝＝3，
∴CD与AE所成角的余弦值为cos∠BAE＝＝．
故答案为：45°，．
【知识点】异面直线及其所成的角、直线与平面所成的角
14.已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为 ．
【解答】解：如图，
直线3x+4y+8＝0与圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0相离，
化圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0为（x﹣1）2+（y+1）2＝1，圆心坐标为C（1，﹣1），半径为1．
连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，
则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．
∵AC是半径，为定值1，要使三角形PAC的面积最小，则PC最小，
|PC|＝，
∴|PA|＝．
∴四边形PACB面积的最小值为2×．
故答案为：．
【知识点】直线与圆的位置关系
15.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ．
【解答】解：根据题意，设椭圆的方程为+＝1，（a＞b＞0），
若直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，设直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则直线的方程为+＝1，
若椭圆中心即（0，0）到l的距离为其短轴长的，
则有＝，变形可得b2＝3c2，
则a2＝b2+c2＝4c2，即a＝2c，
则该椭圆的离心率e＝＝；
故答案为：．
【知识点】椭圆的性质
16.函数f（x）＝alnx+bx2+x在x＝1处取得极大值﹣1，则a﹣b＝ ．
【解答】解：∵f（x）＝alnx+bx2+x，
∴，
∵f′（1）＝0，
∴a+2b+1＝0，
∵f（1）＝﹣1，
∴0+b+1＝﹣1
∴解得a＝3，b＝﹣2，
则a﹣b＝5．
故答案为：5．
【知识点】利用导数研究函数的极值
三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AD＝4，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，且，O为底面ABCD的中心．
（1）求异面直线PO与AD所成角的余弦值；
（2）若E为PD中点，F在棱PA上，若，λ∈[0，1]，且二面角O﹣EF﹣D的正弦值为，求实数λ的值．
【解答】解：（1）∵面PAD⊥面ABCD，PA⊥AD，
∵面PAD∩面ABCD＝AD，∴PA⊥面ABCD，
∵底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP三条线两两垂直．
以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
知A（0，0，0），B（2，0，0），O（1，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），
，，
＝，
所以异面直线PO与AD所成角的余弦值为．
（2）结合（1）知E（0，2，2），AB⊥面PAD，
取平面PAD的法向量．
∵，λ∈[0，1]，PA＝4，∴FA＝4λ，∴F（0，0，4λ），
设平面OEF的法向量为，
又，，
，即，
令x＝2，得，
又因为二面角O﹣EF﹣D的正弦值为，
所以，
即，
解得．
【知识点】异面直线及其所成的角、二面角的平面角及求法
18.已知△ABC三个顶点A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边中线AD所在的直线方程
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
∴BC中点D（0，1），
∴kAD＝﹣3
∴AD直线方程为3x+y﹣1＝0；
，
，
．
【知识点】待定系数法求直线方程
19.一动点到两定点距离的比值为非零常数λ，当λ≠1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点A、B的坐标分别为：A（4，0）、B（1，0），动点M满足AM＝2BM．
（1）求动点M的阿波罗尼斯圆的方程；
（2）过P（2，3）作该圆的切线l，求l的方程．
【解答】解：（1）设动点M坐标为（x，y），则AM＝，BM＝，
又知AM＝2BM，则＝2，得x2+y2＝4．
（2）当直线l的斜率存在为k时，则直线l的方程为：y＝kx﹣2k+3，l与圆相切，
则d＝＝2，得：k＝，
此时l的方程为：12x﹣5y+9＝0；
当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为：x＝2，
综上：直线l的方程为x＝2与12x﹣5y+9＝0．
【知识点】圆的切线方程、圆的标准方程
20.已知椭圆C：+＝1（a＞0，b＞0）的离心率，且过焦点的最短弦长为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过点F2的直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求△F1AB的内切圆半径的最大值．
【解答】解（1）离心率，且过焦点的最短弦长为3，
由题意可得，解得，c＝1，
故椭圆的标准方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，
因为△F1AB的周长为4a＝8，R＝4R，
因此最大，R就最大，
又＝，
由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，
由得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
所以，
又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，
即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，
则＝＝，
令，则t≥1，
所以＝，令，
由对勾函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，
即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，
因此有，所以≤3，
即当t＝1，m＝0时，最大，此时，
△F1AB的内切圆半径的最大值为．
【知识点】直线与椭圆的综合、椭圆的标准方程
21.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A点在抛物线上，且A的横坐标为4，|AF|＝5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设l为过（4，0）点的任意一条直线，若l交抛物线于A，B两点，求证：以AB为直径的圆必过坐标原点．
【解答】（1）解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线为x＝﹣，
由抛物线的定义可得，|AF|＝4+＝5，
解得p＝2，
即有抛物线的方程为y2＝4x；
（2）证明：设直线l：x＝my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），
代入抛物线方程y2＝4x，可得
y2﹣4my﹣16＝0，
判别式为16m2+64＞0恒成立，
y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，
x1x2＝•＝16，
即有x1x2+y1y2＝0，
则⊥，
则以AB为直径的圆必过坐标原点．
【知识点】抛物线的性质
22.已知数列{an}满足：a1＝2，nan+1＝（n+1）an+n（n+1），n∈N*．
（1）求证：数列{}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝（n∈N*），用数学归纳法证明：b1+b2+…+bn＜1﹣，n∈N*．
【解答】解：（1）证明：a1＝2，nan+1＝（n+1）an+n（n+1），
可得＝+1，
则数列{}为首项为2，公差为1的等差数列，
则＝2+n﹣1＝n+1，即an＝n（n+1）；
（2）证明：bn＝＝，
当n＝1时，b1＝，1﹣＝，即＜；
假设n＝k时，不等式b1+b2+…+bk＜1﹣，k∈N*．
当n＝k+1时，b1+b2+…+bk+bk+1＜1﹣+，
要证1﹣+＜1﹣，
即为＜﹣，
即为2（k+1）＜2k+3，显然成立，即n＝k+1时，不等式成立．
则b1+b2+…+bn＜1﹣，n∈N*．
【知识点】数学归纳法
23.已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣（a+2）x+2（a为常数）．
（1）若f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直，求a的值；
（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若a为正整数，函数f（x）恰好有两个零点，求a的值．
【解答】解：（1）由题意x＞0，，则f'（1）＝a﹣1，
由于函数y＝f（x）的图象在（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直，
则，∴f'（1）＝a﹣1＝3，因此，a＝4；
（2）∵a＞0，则．①若0＜a＜2时，，
当或时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，
∴y＝f（x）在和单调递增，在单调递减，
②若a＝2时，，对x＞0，f'（x）≥0恒成立，y＝f（x）在（0，+∞）单调递增；
③若a＞2时，，当或时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，
∴y＝f（x）在和单调递增，在单调递减；
（3）∵a为正整数，若0＜a＜2，则a＝1，f（x）＝lnx+x2﹣3x+2，
由（2）知y＝f（x）在和（1，+∞）单调递增，在单调递减，
又f（1）＝0，∴y＝f（x）在区间内仅有1实根，，
又f（e﹣2）＝e﹣4﹣3e﹣2＝e﹣2（e﹣2﹣3）＜0，∴y＝f（x）在区间内仅有1个实根．
此时y＝f（x）在区间（0，+∞）内恰有2个实根；
若a＝2，y＝f（x）在（0，+∞）单调递增，至多有1个实根．
若a＞2，，
令，则，y＝lnt﹣t+1，，
∴．
由（2）知y＝f（x）在单调递减，在和单调递增，
∴，∴y＝f（x）在（0，+∞）至多有1个实根．
综上，a＝1．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性
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