专题6 用空间向量研究句距离、夹角问题（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题6用空间向量研究距离、夹角问题
考点1 向量法求空间距离
1.如下图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为(　　)

A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】如下图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)

设AD＝a，则D点坐标为(1，0，a)，＝(1，0，a)，＝(0，2，2)，设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则⇒令z＝－1，
得m＝(a，1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n＝(0，1，0)，
则由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.
2.若O为坐标原点，＝(1，1，－2)，＝(3，2，8)，＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意＝(＋)＝，＝－＝，||＝＝.
3.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为(　　)

A．a
B．a
C．a
D．a
【答案】B
【解析】A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A′(a，0，a)，所以F，E，
所以|EF|＝＝＝a，故选B.
4.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则D1到直线AC的距离为(　　)
A．a
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】连接BD，AC交于点O，则D1O＝＝为所求．
5.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
因O为A1C1的中点，所以O，＝，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取n＝(1，0，1)，
∴O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.
6.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AB、BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】方法一　以B1为原点分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则B1(0，0，0)，C1(2，0，0)，E(0，1，2)，F(1，0，2)．则＝(1，0，2)，＝(0，1，2)，
设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴∴x＝y＝－2z，
令z＝1，得n＝(－2，－2，1)，又＝(2，0，0)，
∴C1到平面B1EF的距离h＝＝，故选D；
方法二　设点C1到平面B1EF的距离h，连接EC1，FC1，

由题意得|B1E|＝|B1F|＝＝，|EF|＝，等腰△B1EF底边EF上的高为h1＝＝，则＝|EF|·h1＝，那么＝·h＝h，又＝·|EB|＝××1＝，且＝，即＝h，得h＝，故选D.
7.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．

【答案】
【解析】方法一　点P到直线CC1距离的最小值就是异面直线D1E与CC1的距离，
以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
∴＝(1，2，－2)，＝(0，0，2)，设n⊥，n⊥，n＝(x，y，z)，
则n＝x＋2y－2z＝0，n＝2z＝0，∴z＝0，
取y＝－1，则x＝2，∴n＝(2，－1，0)，
又＝(1，0，0)，∴异面直线距离d＝＝.
方法二　过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1于点E1，
连接D1E1，过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1，交D1E1于点H，P点到直线CC1的距离就是C1H，

故当C1H垂直于D1E1时，P点到直线CC1距离最小，
此时，在Rt△D1C1E1中，C1H⊥D1E1，D1E1C1H＝C1D1C1E1，∴C1H＝＝.
8.如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为？

【答案】解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，设＝λ，λ∈(0，1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．
又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，
设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量，则⇒
取x＝1，则y＝，z＝2，即n＝.
由于d＝＝，∴＝，又λ∈(0，1)，解得λ＝，
所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.
9.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．

(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
【答案】解(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则D(0，0，0)，P(0，0，1)，E，F，＝，＝，＝，
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)为平面PEF的一个法向量，所以点D到平面PEF的距离为＝＝；
(2)由(1)知，A(1，0，0)，所以＝，
因为AC∥平面PEF，
所以点A到平面PEF的距离为＝＝，所以AC到平面PEF的距离为.

考点2向量法求直线与平面的角
10.如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
11.已知等腰直角△ABC的一条直角边BC平行于平面α，点A∈α，斜边AB＝2，AB与平面α所成的角为30°，则AC与平面α所成的角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】B
【解析】过B、C作BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，
则BB′＝CC′＝1，∴sinθ＝，∴θ＝45°.故选B.
12.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为(　　)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【答案】C
【解析】翻折后A、B、C、D四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC⊥平面BAC，设未折前正方形的对角线交点为O，则∠DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45°.
13.若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为(　　)
A．
B．
C．－
D．
【答案】B
【解析】cos〈a，n〉＝＝＝＝.
14.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　)

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以D为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴，正方向建立空间直角坐标系，

则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，E，
所以＝(1，1，0)，＝，
易得平面BDE的法向量n＝(1，－1，2)，而＝(0，－1，1)，
∴cos〈n·〉＝＝，
∴〈n，〉＝.
∴直线A1B与平面BDE所成角为－＝.
15.如下图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．

【答案】
【解析】取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC中，BO＝AB＝，
∴A，B，D，∴＝，
又平面AA1C1C的法向量为e＝(0，1，0)，设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈，e〉|＝＝.

16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，E是AB的中点．
(1)求证：AB1⊥平面A1CE；
(2)求直线A1C1平面A1CE所成角的正弦值．

【答案】(1)证明因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
所以以C为原点，CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，
则A(2，0，0)，B1(0，2，2)，E(1，1，0)，A1(2，0，2)，所以＝(－2，2，2)，＝(1，1，0)，＝(2，0，2)，
因为＝0，＝0，所以AB1⊥CE，AB1⊥CA1，
又CE∩CA1＝C，所以AB1⊥平面A1CE；

(2)解由(1)知是平面A1CE的法向量，因为＝＝(2，0，0)，
所以|cos〈，〉|＝＝，
设直线A1C1与平面A1CE所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝，
所以直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值为.
17.如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点，
(1)求异面直线AB与CE所成角的大小；
(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．

【答案】解(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC，
∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC，
如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AC＝BC＝4，∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，E(4，0，4)，
∴＝(－4，4，0)，＝(4，0，4)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴AB与CE所成角的大小为；
(2)由(1)知O(2，0，2)，D(0，4，2)，M(2，2，0)，∴＝(0，4，2)，＝(－2，4，0)，＝(－2，2，2)，
设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)，
则由可得
令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2，1，1)，
设直线CD与平面ODM所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝，
∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.

考点3向量法求平面与平面的角
18.从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B—PA—C的余弦值是(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在射线PA上取一点O，分别在面PAB，PAC内作OE⊥PA，OF⊥PA交PA，PB于E1F，连接E、F，则∠EOF即为所求二面角的平面角．在△EOF中可求得cos∠EOF＝.
19.已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则(　　)
A．∠ADE是二面角A—PC—B的平面角
B．∠AED是二面角A—PB—C的平面角
C．∠DAE是二面角B—PA—C的平面角
D．∠ACB是二面角A—PC—B的平面角
【答案】B
【解析】由二面角定义及三垂线定理知选B.
20.如下图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为(　　)

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如下图所示，连接AC，AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB、OC、OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，

设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以B，F，C，D，结合图形可知，＝且为面BOF的一个法向量，
由＝，＝，可求得面BCF的一个法向量n＝(1，，)，
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.
21.若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P—BC—A的大小为________．
【答案】90°
【解析】取BC的中点D，连接AD，PD，由二面角的定义知∠PDA为二面角的平面角，
AD＝PD＝，PA＝，∠PDA＝90°.
22.如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2则这个二面角的度数为________．

【答案】60°
【解析】设所求二面角的大小为θ，则〈，〉＝θ，
因为＝＋＋，所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2＋2＋2.而依题意可知BD⊥AB，AC⊥AB.所以2＝0，2＝0，所以2＝2＋2＋2－2，
即(2)2＝82＋62＋42－2×8×6cosθ，所以cosθ＝.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.
23.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．

(1)证明B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．
【答案】解如下图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．

(1)易得＝(1，0，－1)，＝(－1，1，－1)，于是＝0，所以B1C1⊥CE；
(2)＝(1，－2，－1)，设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，则即
消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2，1)，
由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1，0，－1)为平面CEC1的一个法向量，于是cos〈m，〉＝＝＝－，从而sin〈m，〉＝，所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.
24.在几何体ABC－A1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA1＝BB1＝4，AB＝BC＝CC1＝2，E为AB1的中点．
(1)求证：CE∥平面A1B1C1；
(2)求二面角B1－AC1－C的大小．

【答案】解因为点B1在平面ABC内的正投影为B，所以B1B⊥BA，B1B⊥BC，
又AB⊥BC，如图建立空间直角坐标系Bxyz，

B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，4)，B1(0，0，4)，C1(0，2，2)，E(1，0，2)，
(1)设平面A1B1C1的法向量n1＝(x，y，z)，＝(－2，0，0)，＝(0，2，－2)，
即取y＝1，得n1＝(0，1，1)，
又＝(1，－2，2)，因为·n1＝0×1＋1×(－2)＋2×1＝0，
所以⊥n1，所以CE∥平面A1B1C1；
(2)设平面AB1C1的法向量n2＝(x，y，z)，＝(2，0，－4)，＝(0，2，－2)，
即取y＝1，得n2＝(2，1，1)，
同理，平面ACC1的法向量n3＝(1，1，0)，
所以cos〈n2，n3〉＝＝，
由图知，二面角B1－AC1－C的平面角是钝角，
所以二面角B1－AC1－C的平面角是π.
考点4 向量法求直线与直线的角
25.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于(　　)

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，

则O(1，1，0)，E(0，2，1)，F(1，0，0)，D1(0，0，2)，故＝(－1，1，1)，＝(－1，0，2)，
cos〈，〉＝＝＝，故OE与FD1所成角的余弦值是.
26.如下图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
∴＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，∴cos〈，〉＝＝＝＞0，
∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
27.如下图，正棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，

设AB＝1.则B(1，1，0)，A1(1，0，2)，A(1，0，0)，D1(0，0，2)，＝(0，1，－2)，＝(－1，0，2)，
cos〈，〉＝＝－，
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，故选D.
28.如下图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．

【答案】解由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)，
当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故V(0，0，)，
所以＝(－2，0，0)，＝(1，1，－)，
所以cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.