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    专题6 用空间向量研究句距离、夹角问题(解析版)2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破(人教A版2019选择性必修第一册)
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    专题6 用空间向量研究句距离、夹角问题(解析版)2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破(人教A版2019选择性必修第一册)

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    专题6用空间向量研究距离、夹角问题
    考点1 向量法求空间距离
    1.如下图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2,若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为(  )

    A.
    B.
    C.2
    D.
    【答案】A
    【解析】如下图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2)

    设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2),设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z),
    则⇒令z=-1,
    得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),
    则由cos60°=,得=,即a=,故AD=.
    2.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为(  )
    A.
    B.2
    C.
    D.
    【答案】D
    【解析】由题意=(+)=,=-=,||==.
    3.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距离为(  )

    A.a
    B.a
    C.a
    D.a
    【答案】B
    【解析】A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a),所以F,E,
    所以|EF|===a,故选B.
    4.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=a,AA1=2a,则D1到直线AC的距离为(  )
    A.a
    B.
    C.
    D.
    【答案】D
    【解析】连接BD,AC交于点O,则D1O==为所求.
    5.如下图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是(  )

    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】B
    【解析】以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

    则有D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),
    因O为A1C1的中点,所以O,=,=(-1,0,1),=(0,1,0),设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z),则有即取n=(1,0,1),
    ∴O到平面ABC1D1的距离为d===.
    6.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是棱AB、BC的中点,则点C1到平面B1EF的距离等于(  )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】D
    【解析】方法一 以B1为原点分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,

    则B1(0,0,0),C1(2,0,0),E(0,1,2),F(1,0,2).则=(1,0,2),=(0,1,2),
    设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z),
    则∴∴x=y=-2z,
    令z=1,得n=(-2,-2,1),又=(2,0,0),
    ∴C1到平面B1EF的距离h==,故选D;
    方法二 设点C1到平面B1EF的距离h,连接EC1,FC1,

    由题意得|B1E|=|B1F|==,|EF|=,等腰△B1EF底边EF上的高为h1==,则=|EF|·h1=,那么=·h=h,又=·|EB|=××1=,且=,即=h,得h=,故选D.
    7.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为________.

    【答案】
    【解析】方法一 点P到直线CC1距离的最小值就是异面直线D1E与CC1的距离,
    以D为原点,DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

    则D1(0,0,2),E(1,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),
    ∴=(1,2,-2),=(0,0,2),设n⊥,n⊥,n=(x,y,z),
    则n=x+2y-2z=0,n=2z=0,∴z=0,
    取y=-1,则x=2,∴n=(2,-1,0),
    又=(1,0,0),∴异面直线距离d==.
    方法二 过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1,交B1C1于点E1,
    连接D1E1,过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1,交D1E1于点H,P点到直线CC1的距离就是C1H,

    故当C1H垂直于D1E1时,P点到直线CC1距离最小,
    此时,在Rt△D1C1E1中,C1H⊥D1E1,D1E1C1H=C1D1C1E1,∴C1H==.
    8.如下图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在A1B上是否存在一点E,使得点A1到平面AED的距离为?

    【答案】解以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线为x轴,y轴和z轴,建立如下图所示的空间直角坐标系,

    则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),设=λ,λ∈(0,1),则E(2λ,2(1-λ),2λ).
    又=(-2,0,1),=(2(λ-1),2(1-λ),2λ),
    设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,则⇒
    取x=1,则y=,z=2,即n=.
    由于d==,∴=,又λ∈(0,1),解得λ=,
    所以,存在点E且当点E为A1B的中点时,A1到平面AED的距离为.
    9.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.

    (1)求点D到平面PEF的距离;
    (2)求直线AC到平面PEF的距离.
    【答案】解(1)以D为坐标原点,DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,

    则D(0,0,0),P(0,0,1),E,F,=,=,=,
    设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),
    则所以
    令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3)为平面PEF的一个法向量,所以点D到平面PEF的距离为==;
    (2)由(1)知,A(1,0,0),所以=,
    因为AC∥平面PEF,
    所以点A到平面PEF的距离为==,所以AC到平面PEF的距离为.

    考点2向量法求直线与平面的角
    10.如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍,那么斜线段与平面所成角的余弦值为(  )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】A
    11.已知等腰直角△ABC的一条直角边BC平行于平面α,点A∈α,斜边AB=2,AB与平面α所成的角为30°,则AC与平面α所成的角为(  )
    A.30°
    B.45°
    C.60°
    D.90°
    【答案】B
    【解析】过B、C作BB′⊥α于B′,CC′⊥α于C′,
    则BB′=CC′=1,∴sinθ=,∴θ=45°.故选B.
    12.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD与平面ABC所成的角的大小为(  )
    A.90°
    B.60°
    C.45°
    D.30°
    【答案】C
    【解析】翻折后A、B、C、D四点构成三棱锥的体积最大时,平面ADC⊥平面BAC,设未折前正方形的对角线交点为O,则∠DBO即为BD与平面ABC所成的角,大小为45°.
    13.若平面α的一个法向量n=(2,1,1),直线l的一个方向向量为a=(1,2,3),则l与α所成角的正弦值为(  )
    A.
    B.
    C.-
    D.
    【答案】B
    【解析】cos〈a,n〉====.
    14.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为(  )

    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】B
    【解析】以D为原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴,正方向建立空间直角坐标系,

    则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),E,
    所以=(1,1,0),=,
    易得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而=(0,-1,1),
    ∴cos〈n·〉==,
    ∴〈n,〉=.
    ∴直线A1B与平面BDE所成角为-=.
    15.如下图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,点D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________.

    【答案】
    【解析】取AC、A1C1中点O、E,则OB⊥AC,OE⊥平面ABC,以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,在正三角形ABC中,BO=AB=,
    ∴A,B,D,∴=,
    又平面AA1C1C的法向量为e=(0,1,0),设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ,
    则sinθ=|cos〈,e〉|==.

    16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=CB=CC1=2,E是AB的中点.
    (1)求证:AB1⊥平面A1CE;
    (2)求直线A1C1平面A1CE所成角的正弦值.

    【答案】(1)证明因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥AC,CC1⊥BC,
    又∠ACB=90°,即AC⊥BC.
    所以以C为原点,CA,CB,CC1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Cxyz,
    则A(2,0,0),B1(0,2,2),E(1,1,0),A1(2,0,2),所以=(-2,2,2),=(1,1,0),=(2,0,2),
    因为=0,=0,所以AB1⊥CE,AB1⊥CA1,
    又CE∩CA1=C,所以AB1⊥平面A1CE;

    (2)解由(1)知是平面A1CE的法向量,因为==(2,0,0),
    所以|cos〈,〉|==,
    设直线A1C1与平面A1CE所成的角为θ,
    则sinθ=|cos〈,〉|=,
    所以直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值为.
    17.如图,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD=AE=2,O,M分别为CE,AB的中点,
    (1)求异面直线AB与CE所成角的大小;
    (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值.

    【答案】解(1)∵DB⊥BA,平面ABDE⊥平面ABC,平面ABDE∩平面ABC=AB,DB⊂平面ABDE,∴DB⊥平面ABC,
    ∵BD∥AE,∴EA⊥平面ABC,
    如图所示,以C为坐标原点,分别以CA,CB所在直线为x,y轴,以过点C且EA平行的直线为z轴,建立空间直角坐标系,

    ∵AC=BC=4,∴C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,4,0),E(4,0,4),
    ∴=(-4,4,0),=(4,0,4),
    ∴cos〈,〉==-,
    ∴AB与CE所成角的大小为;
    (2)由(1)知O(2,0,2),D(0,4,2),M(2,2,0),∴=(0,4,2),=(-2,4,0),=(-2,2,2),
    设平面ODM的法向量为n=(x,y,z),
    则由可得
    令x=2,则y=1,z=1,∴n=(2,1,1),
    设直线CD与平面ODM所成的角为θ,则sinθ=|cos〈n,〉|==,
    ∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.

    考点3向量法求平面与平面的角
    18.从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是60°,则二面角B—PA—C的余弦值是(  )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】B
    【解析】在射线PA上取一点O,分别在面PAB,PAC内作OE⊥PA,OF⊥PA交PA,PB于E1F,连接E、F,则∠EOF即为所求二面角的平面角.在△EOF中可求得cos∠EOF=.
    19.已知平面α内有一个以AB为直径的圆,PA⊥α,点C在圆周上(异于点A,B),点D、E分别是点A在PC、PB上的射影,则(  )
    A.∠ADE是二面角A—PC—B的平面角
    B.∠AED是二面角A—PB—C的平面角
    C.∠DAE是二面角B—PA—C的平面角
    D.∠ACB是二面角A—PC—B的平面角
    【答案】B
    【解析】由二面角定义及三垂线定理知选B.
    20.如下图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则二面角C-BF-D的正切值为(  )

    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】D
    【解析】如下图所示,连接AC,AC∩BD=O,连接OF,以O为原点,OB、OC、OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,

    设PA=AD=AC=1,则BD=,所以B,F,C,D,结合图形可知,=且为面BOF的一个法向量,
    由=,=,可求得面BCF的一个法向量n=(1,,),
    所以cos〈n,〉=,sin〈n,〉=,所以tan〈n,〉=.
    21.若P是△ABC所在平面外一点,且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=,那么二面角P—BC—A的大小为________.
    【答案】90°
    【解析】取BC的中点D,连接AD,PD,由二面角的定义知∠PDA为二面角的平面角,
    AD=PD=,PA=,∠PDA=90°.
    22.如图,在一个二面角的棱上有两个点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB,AB=4,AC=6,BD=8,CD=2则这个二面角的度数为________.

    【答案】60°
    【解析】设所求二面角的大小为θ,则〈,〉=θ,
    因为=++,所以2=(++)2=2+2+2+2+2+2.而依题意可知BD⊥AB,AC⊥AB.所以2=0,2=0,所以2=2+2+2-2,
    即(2)2=82+62+42-2×8×6cosθ,所以cosθ=.因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
    23.如下图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.

    (1)证明B1C1⊥CE;
    (2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
    【答案】解如下图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

    (1)易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是=0,所以B1C1⊥CE;
    (2)=(1,-2,-1),设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),则即
    消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1),
    由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量,于是cos〈m,〉===-,从而sin〈m,〉=,所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.
    24.在几何体ABC-A1B1C1中,点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C,且AB⊥BC,AA1=BB1=4,AB=BC=CC1=2,E为AB1的中点.
    (1)求证:CE∥平面A1B1C1;
    (2)求二面角B1-AC1-C的大小.

    【答案】解因为点B1在平面ABC内的正投影为B,所以B1B⊥BA,B1B⊥BC,
    又AB⊥BC,如图建立空间直角坐标系Bxyz,

    B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(0,0,4),C1(0,2,2),E(1,0,2),
    (1)设平面A1B1C1的法向量n1=(x,y,z),=(-2,0,0),=(0,2,-2),
    即取y=1,得n1=(0,1,1),
    又=(1,-2,2),因为·n1=0×1+1×(-2)+2×1=0,
    所以⊥n1,所以CE∥平面A1B1C1;
    (2)设平面AB1C1的法向量n2=(x,y,z),=(2,0,-4),=(0,2,-2),
    即取y=1,得n2=(2,1,1),
    同理,平面ACC1的法向量n3=(1,1,0),
    所以cos〈n2,n3〉==,
    由图知,二面角B1-AC1-C的平面角是钝角,
    所以二面角B1-AC1-C的平面角是π.
    考点4 向量法求直线与直线的角
    25.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于(  )

    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】B
    【解析】以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,

    则O(1,1,0),E(0,2,1),F(1,0,0),D1(0,0,2),故=(-1,1,1),=(-1,0,2),
    cos〈,〉===,故OE与FD1所成角的余弦值是.
    26.如下图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(  )

    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】A
    【解析】不妨令CB=1,则CA=CC1=2.可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),
    ∴=(0,2,-1),=(-2,2,1),∴cos〈,〉===>0,
    ∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角,
    ∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
    27.如下图,正棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(  )

    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】D
    【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,

    设AB=1.则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),=(0,1,-2),=(-1,0,2),
    cos〈,〉==-,
    ∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为,故选D.
    28.如下图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x轴、y轴、z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC=θ.当θ=时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值.

    【答案】解由于AC=BC=2,D是AB的中点,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(1,1,0),
    当θ=时,在Rt△VCD中,CD=,故V(0,0,),
    所以=(-2,0,0),=(1,1,-),
    所以cos〈,〉===-,
    所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.

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