必刷卷06 2020-2021学年高二年级数学上学期期末仿真必刷模拟卷（人教A版2019）（解析版）

2020-2021学年高二上学期数学期末仿真必刷模拟卷【人教A版2019】
期末检测卷06
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.在△ABC中，∠ACB＝，AC＝BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转至△PBC，设二面角P﹣BC﹣A的大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（　　）
A．α＞θ B．β＜θ C．0＜α≤ D．＜β＜Z

【解答】解：如图，

△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，将△ABC绕BC所在直线旋转至△PBC，则PC⊥BC，
可得BC⊥平面PAC，∴二面角P﹣BC﹣A的大小θ＝∠ACP，
PB是平面ABC的一条斜线，则PC与平面ABC垂直时，PB与平面ABC所成角最大，则α的范围为（0，]，故C正确；
此时α＜θ，故A错误；
当PC与平面ABC垂直时，三棱锥C﹣PAB满足CA⊥CB，CA⊥CP，CB⊥CP，CA＝CB＝CP，
则PA＝PB＝AB，设AC＝BC＝1，则PA＝PB＝AB＝，C在平面PAB的射影为△PAB的中心，
求得OP＝，即PC与平面PAB所成角β的余弦值cosβ＝＞，则β＜，故D错误；
当θ无限接近0时，β无限接近，β＞θ，故B错误．
综上，正确的选项是C．
故选：C．
【知识点】二面角的平面角及求法

2.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E、N分别为边AB，BC的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处（A1与A不重合），若M、K分别为线段A1D，A1C的中点，则在MDE折起过程中，（　　）

A．DE可以与A1C垂直
B．不能同时做到MN∥平面A1BE且BK∥平面A1DE
C．当MN⊥A1D时，MN⊥平面A1DE
D．直线A1C、BK与平面BCDE所成角分别为θ1，θ2，θ1，θ2能够同时取得最大值

【解答】解：

对于A，连接EC，假设DE⊥A1C，又∵DE⊥EC，∴DE⊥平面A1EC⇒DE⊥A1E，而A1ED＝45°，∴A错误；
对于B，取DE，DC中点G，F，连接GM，GN，FK，FB．∴GM∥A1E，GN∥EB，FK∥A1D，BF∥DE．∴平面A1BE∥平面GMN，平面FKB∥平面A1DE，故能同时做到MN∥平面A1BE且BK∥平面A1DE．∴B错误；
对于C，连接ME，EN，当MV⊥A1D时，MN2＝DN2﹣DM2＝CD2+CN2﹣DM2＝CD2＝4，
而，∴MN与ME不垂直，即MN不垂直平面A1DE，∴C错误；

对于D，∵A1在以DE为直径球面上，球心为G，∴A1轨迹为△A1AF外接圆（A1与不重合），
连接EC，取EC中点T连接TK，TB，
∴，，，
直线A1C、BK与平面BCDE所成角取得最大值时，点A1到平面BCDE的距离最大．∴D正确．
故选：D．
【知识点】直线与平面所成的角、直线与平面垂直

3.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有一点E，F，且B1E＝C1F，则直线EF与平面ABCD所成的角的大小为（　　）

A．0° B．60° C．45° D．30°

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，设E，F分别为侧面对角线AB1，BC1的中点，
则E（2，1，1），F（1，2，1），
＝（﹣1，1，0），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），
设直线EF与平面ABCD所成的角的大小为θ，
则sinθ＝＝0，
∴θ＝0°．
∴直线EF与平面ABCD所成的角的大小为0°．
故选：A．

【知识点】直线与平面所成的角

4.已知O为坐标原点，⊙M：x2+（y﹣1）2＝1，⊙N；x2+（y+3）2＝9，A，B分别为⊙M和⊙N上的动点，则△AOB面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：如图，设∠BON＝θ，过点M作BO延长线的垂线，垂足为D，与⊙M的一个交点为A；
则AD为⊙M上的点到直线BO的距离的最大值，这时相对于每一个确定的OB，△AOB的面积最大．
又∠CBO＝90°，OC＝6，所以OB＝6cosθ．
又∠MOD＝∠COB，所以∠MOD＝θ．
又OM＝1，所以MD＝sinθ，所以AD＝1+sinθ，
所以S△AOB＝OB×AD＝×6cosθ×（1+sinθ）＝3（cosθ+cosθsinθ）＝3（cosθ+sin2θ）．
设y＝cosθsin2θ，
则y′＝﹣sinθ+cos2θ＝1﹣sinθ﹣2sin2θ＝（1﹣2sinθ）（1+sinθ），
故当sinθ＝，即θ＝30°时，y最大，最大值为．
所以△AOB面积的最大值为．
故选：B．

【知识点】圆与圆的位置关系及其判定

5.已知点P为圆O：x2+y2＝1上一个动点，O为坐标原点，过P点作圆O的切线与圆O1：x2+y2﹣2x﹣8y＝19相交于两点A，B，则的最大值为（　　）
A． B．5 C． D．

【解答】解：作O1M⊥AB交AB于M，连接OP，则OP⊥AB，
设O1M＝x，则，
∴＝，
令，，则＝．
由题意知，∴＝，
令t＝x﹣10，则x＝t+10，
∴，当且仅当t＝﹣8等号成立；
∴＝≤，
∴＝．
故选：A．
【知识点】直线和圆的方程的应用

6.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2＝6，点M（1，0），动点A，B分别在圆C1和圆C2上，且MA⊥MB，N为线段AB的中点，则MN的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则|AB|2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2＝10﹣2（x1x2+y1y2）．
∵﹣2≤x1≤2，MA⊥MB，
∴（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）＝0，即 （x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝0，
∴x1x2+y1y2＝x1+x2﹣1，
∴|AB|2＝10﹣2（x1+x2﹣1）＝12﹣2（x1+x2）．
设AB中点N（x0，y0），则|AB|2＝12﹣4x0，
∵，
∴4（x02+y02）＝10+2（x1x2+y1y2）＝10+2（x1+x2﹣1）＝8+4x0，
即（x0﹣）2+y02＝，
∴点N（x0，y0）的轨迹是以（，0）为圆心、半径等于的圆，
∴x0的取值范围是[，2]，∴4≤|AB|2≤20，
∴|AB|的范围为[2，2]，则|MN|＝|AB|的最小值为1．
故选：A．

【知识点】直线与圆的位置关系

7.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|≤t，则t的最小值为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
渐近线方程为y＝±x，
令x＝c，解得y＝±，
可得|AB|＝，
|AB|＝3，
即有＝3，由a＝2，c2＝a2+b2，
解得b＝，c＝3，
即有双曲线的方程为，
由题意可知若P在左支上，由双曲线的定义可得|PF2|＝2a+|PF1|，
|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+4＝+4＝5+4，
当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值4+5；
若P在右支上，由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|﹣2a，
|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|﹣2a≥|MF1|﹣4＝5﹣4，
当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值5﹣4．
综上可得，所求最小值为5﹣4．
故选：D．

【知识点】双曲线的性质

8.点A、B为椭圆长轴的端点，C、D为椭圆E短轴的端点，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线Γ，若曲线Γ上两点M1、M2满足△M1AB面积的最大值为8，△M2CD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，﹣b），设M（x，y），
由，得，
整理可得，，
即（x﹣，是以E（，0）为圆心，以为半径的圆，
结合图象可知，当M（，±）时，△MAB面积取得最大值×2a×＝8，
∴a＝；
当M位于如图M1（a，0）时，△MCD面积取最小值×2b×a＝1，
∴b＝，
∴c＝＝，
∴e＝＝．
故选：C．

【知识点】椭圆的性质

9.用数学归纳法证明不等式“1+++…+＞（n≥2，n∈N+）的过程中，由n＝k推导n＝k+1时，不等式的左边增加的式子是（　　）
A．
B．
C．++…+
D．++…+

【解答】解：当n＝k时，左边＝1，
当n＝k+1时，左边＝1，
两式相减得：．
故选：D．
【知识点】数学归纳法

10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（　　）
A．a6＞0
B．
C．Sn＜0时，n的最小值为13
D．数列中最小项为第7项

【解答】解：∵S12＞0，a7＜0，
∴＞0，a1+6d＜0．
∴a6+a7＞0，a6＞0．
∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，
又∵a3＝a1+2d＝12，
∴＜d＜﹣3．a1＞0．
S13＝＝13a7＜0．
∴Sn＜0时，n的最小值为13．
数列中，n≤6时，＞0，7≤n≤12时，＜0，n≥13时，＞0．
对于：7≤n≤12时，＜0．Sn＞0，但是随着n的增大而减小；an＜0，
但是随着n的增大而减小，可得：＜0，但是随着n的增大而增大．
∴n＝7时，取得最小值．
综上可得：ABCD都正确．
故选：ABCD．
【知识点】等差数列的性质

11.已知函数f（x）＝ex+asinx，则（　　）
A．当a＝﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．当a＝﹣1时，f（x）在（0，f（0））处的切线为x轴
C．当a＝1时，f（x）在（﹣π，0）存在唯一极小值点x0，且﹣1＜f（x0）＜0
D．对任意a＞0，f（x）在（﹣π，+∞）上均存在零点

【解答】解：当a＝﹣1时，f（x）＝ex﹣sinx，f′（x）＝ex﹣cosx．
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，故A正确；
f′（0）＝e0﹣cos0＝1﹣1＝0，而f（0）＝e0﹣sin0＝1，
f（x）在（0，f（0））处的切线为y＝1，故B错误；
当a＝1时，f（x）＝ex+sinx（﹣π＜x＜0），f′（x）＝ex+cosx，f″（x）＝ex﹣sinx＞0恒成立，则f′（x）单调递增，
又f′（﹣）＝+cos（﹣）＜0，f′（﹣）＝＞0，故f（x）存在唯一极值点，
不妨设为x0∈（﹣，﹣），则f′（x0）＝0，即，
f（x0）＝+sinx0＝sinx0﹣cosx0＝sin（x0﹣）∈（﹣1，0），故C正确；
对于选项D，f（x）＝ex+asinx，x∈（﹣π，+∞），令f（x）＝0，即ex+asinx＝0，
当x＝kπ，k＞﹣1且k∈Z时，显然没有零点；
∴a＝，令F（x）＝，F′（x）＝，令F′（x）＝0，解得x＝，k≥﹣3，k∈Z，
∴x∈（﹣π+kπ，﹣）时，F（x）单调递减，x∈（，kπ）时，F（x）单调递增，
F（x）有极小值f（）＝．
x∈（kπ，+kπ）时，F（x）单调递增，x∈（，π+kπ）时，f（x）单调单调递减，
F（x）有极大值f（）＝﹣，故选项D错误．
故选：AC．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值

12.已知函数f（x）＝ex，的图象与直线y＝m分别交于A、B两点，则（　　）
A．|AB|的最小值为2+ln2
B．∃m使得曲线f（x）在A处的切线平行于曲线g（x）在B处的切线
C．函数f（x）﹣g（x）+m至少存在一个零点
D．∃m使得曲线f（x）在点A处的切线也是曲线g（x）的切线

【解答】解：令f（x）＝ex＝m，得x＝lnm，令，得，
则点A（lnm，m）、，如下图所示：

由图象可知，，其中m＞0，
令，则，
则函数y＝h'（m）单调递增，且，
当时，h'（m）＜0，当时，h'（m）＞0．
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，A选项正确；
∵f（x）＝ex，，则f'（x）＝ex，，
曲线y＝f（x）在点A处的切线斜率为f'（lnm）＝m，
曲线y＝g（x）在点B处的切线斜率为，
令，即，即，则满足方程，
∴∃m使得曲线y＝f（x）在A处的切线平行于曲线y＝g（x）在B处的切线，B选项正确；
构造函数，可得，
函数在（0，+∞）上为增函数，由于，F'（1）＝e﹣1＞0，
则存在，使得，可得t＝﹣lnt，
当0＜x＜t时，F'（x）＜0；当x＞t时，F'（x）＞0．
∴＝
＝，
∴函数F（x）＝f（x）﹣g（x）+m没有零点，C选项错误；
设曲线y＝f（x）在点A处的切线与曲线y＝g（x）相切于点C（n，g（n）），
则曲线y＝f（x）在点A处的切线方程为y﹣m＝elnm（x﹣lnm），即y＝mx+m（1﹣lnm），
同理可得曲线y＝g（x）在点C处的切线方程为，
∴，消去n得，
令，则，
函数y＝G'（x）在（0，+∞）上为减函数，∵G'（1）＝1＞0，，
则存在s∈（1，2），使得，且．
当0＜x＜s时，G′（x）＞0，当x＞s时，G′（x）＜0．
∴函数y＝G（x）在（2，+∞）上为减函数，∵，，
由零点存 定理知，函数y＝G（x）在（2，+∞）上有零点，
即方程有解．
∴∃m使得曲线y＝f（x）在点A处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．
故选：ABD．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点C在平面α上，若A1B和A1D与平面α都成60°角，则A1C与平面α所成角的余弦值为　　　　　　．


【解答】解：设直线l过点A1且垂直于α，则A1B与A1D都与直线l夹角为30°，
连结BD，由题意得△A1BD是等边三角形，
取BD中点E，由题意得A1E可以承担直线l的角色，
但同时与直线A1B、A1D夹角为相等的直线，最小也要30°，
∴此时直线l是唯一的，
由题意知A1C与直线l（直线A1E）的余弦值恰为A1C与平面α所成角的正弦，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则A1C＝＝2，CE＝＝，A1E＝＝，
∴设A1C与平面α所成角为θ，
则sinθ＝＝＝，
∴A1C与平面α所成角的余弦值为：cosθ＝＝．
故答案为：．

【知识点】直线与平面所成的角

14.若函数有且只有一个零点，A，B是⊙O：x2+y2＝﹣2m上两个动点（O为坐标原点），且，若A，B两点到直线l：3x+4y﹣10＝0的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最大值为　　　　　　

【解答】解：函数，f（﹣x）＝f（x），
可得f（x）为偶函数，
f（x）有且只有一个零点，可得f（0）＝0，
即为1+m＝0，即m＝﹣1，
则⊙O：x2+y2＝2，可设A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），
由•＝2cosαcosβ+2sinαsinβ＝2cos（α﹣β）＝﹣1，
即cos（α﹣β）＝﹣，即2cos2﹣1＝﹣，
可取cos＝，
可得d1+d2＝+
＝﹣+4＝4﹣
＝4﹣＝4﹣sin（+），
当sin（+）＝﹣1时，d1+d2取得最大值4+．
故答案为：4+．

【知识点】点到直线的距离公式

15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，且A，B，C成等差数列，则ac最小值为　　．

【解答】解：∵A、B、C成等差数列，
∴2B＝A+C，
又∵A+B+C＝π，
∴B＝，
∴，
∴ac＝2b，
由余弦定理有：
b2＝a2+c2﹣2accosB，
∴，
∴ac≥4，
故填4．
【知识点】等比数列的通项公式

16.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2﹣1，则关于x的不等式f（2x﹣1）•f（x2+1）＞0的解集为　　　　　　　　　　　　　　　

【解答】解：函数f（x）是定义域为R的奇函数，
①当x＞0时，f（x）＝lnx+x2﹣1，f′（x）＝+2x＞0．
可得函数f（x）单调递增．
由f（1）＝0，∴x＞1时，f（x）＞0；0＜x＜1时，f（x）＜0．
②函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）＝0．
x＜0时，有以下结论：
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞0．f（﹣1）＝0，当x＜﹣1时，f（x）＜0．
可得：x≠0时，f（x2+1）＞0恒成立．
关于x的不等式f（2x﹣1）•f（x2+1）＞0．
x＝0时，不等式化为：f（﹣1）f（1）＝0＞0，不等式不成立，舍去．
x≠0时，不等式f（2x﹣1）•f（x2+1）＞0⇔f（2x﹣1）＞0．
∴﹣1＜2x﹣1＜0，或2x﹣1＞1，
解得：0＜x＜，或x＞1．
综上可得：关于x的不等式f（2x﹣1）•f（x2+1）＞0的解集为：（0，）∪（1，+∞）．
故答案为：（0，）∪（1，+∞）．

【知识点】利用导数研究函数的单调性


三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA＝AB＝2，求点A到平面SBD的距离；
（3）在（2）的条件下，若BE⊥SC，求BE与平面SAC所成角．


【解答】解：（1）证明：∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵AC∩AS＝A，∴BD⊥平面SAC，
∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC．
（2）设AC∩BD＝F，连结SF，则SF⊥BD，
∵AB＝2，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝，
∴AC＝2，BD＝2，∴AF＝1，
∵SA＝2，∴SF＝＝，
∴＝＝，
∴点A到平面SBD的距离为．
（3）由（1）得BD⊥平面SAC，∴∠BEF为BE与平面SAC所成角，
∴BD⊥SC，∵BE⊥SC，∴SC⊥平面BED，
∴SC⊥EF，∴EF＝，
∵BF＝，∴tan∠BEF＝，
∴BE与平面SAC所成角为arctan．

【知识点】点、线、面间的距离计算、直线与平面所成的角、平面与平面垂直

18.如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，∠AEB＝90°，
∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．
（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；
（2）求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．


【解答】解：（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，
过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．
∴BE＝，C（0，，3），D（0，﹣，3），A（0，﹣，0），E（，，0），
＝（0，），＝（，，﹣3），
设异面直线OC与DE所成角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴异面直线OC与DE所成角的余弦值为．
（2）∵＝（0，0，3），＝（），＝（0，2，0），
设平面ADE的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（﹣，1，0），
设平面DEC的法向量＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝（2，0，1），
设二面角A﹣DE﹣C的平面角为θ，
则|cosθ|＝＝＝，
∴sinθ＝＝，
∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值为．

【知识点】异面直线及其所成的角、二面角的平面角及求法

19.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y+4＝0和圆O：x2+y2＝4，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N．
（1）若PM⊥PN，求点P坐标；
（2）若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，求点P的横坐标的取值范围；
（3）设线段MN的中点为Q，l与x轴的交点为T，求线段TQ长的最大值．

【解答】解：（1）若PM⊥PN，则四边形PMON为正方形，
则P到圆心的距离为，
∵P在直线x﹣y+4＝0上，设P（x，x+4）
故|OP|＝，解得x＝﹣2，
故P（﹣2，2）；
（2）设P（x，x+4），若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，
过P作圆的切线PC，PD，∴∠CPD≥600，∴∠CPO≥300，
在直角三角形△CPO中，∵300≤∠CPO＜900，∴sin∠CPO＜1，
即＜1，∴2＜OP≤4，
∴2＜≤4，解得﹣4≤x≤0，
∴点P的横坐标的取值范围为：[﹣4，0]；
（3）设P（x0，x0+4），则以OP为直径的圆的方程为，
化简得，与x2+y2＝4联立，
可得MN所在直线方程：x0x+（x0+4）y＝4，
联立，得，
∴Q的坐标为（，），
可得：Q点的轨迹为：+＝，圆心C（﹣，），半径R＝．其中原点（0，0）为极限点（也可以去掉）．
由题可知T（﹣4，0），∴|TC|＝＝．
∴|TQ|≤|TC|+R＝3．
∴线段TQ长的最大值为3．

【知识点】直线与圆的位置关系

20.已知△ABC的三个顶点A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆H．
（1）求圆H的方程；
（2）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程．
（3）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），∴AB的垂直平分线是x＝0，
∵BC：y＝x﹣1，BC中点是（2，1），
∴BC的垂直平分线是y＝﹣x+3，
由，得到圆心是（0，3），∴r＝，
∴圆H的方程是x2+（y﹣3）2＝10；
（2）∵弦长为2，∴圆心到l的距离d＝3．
设l：y＝k（x﹣3）+2，则d＝＝3，∴k＝，∴l的方程y＝x﹣2；
当直线的斜率不存在时，x＝3，也满足题意．
综上，直线l的方程是x＝3或y＝x﹣2；
（3）直线BH的方程为3x+y﹣3＝0，设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．
因为点M是点P，N的中点，所以M（，），
又M，N都在半径为r的圆C上，所以，
即，
因为该关于x，y的方程组有解，
即以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6﹣m，4﹣n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，
所以（2r﹣r）2≤（3﹣6+m）2+（2﹣4+n）2≤（r+2r）2，
又3m+n﹣3＝0，
所以r2≤10m2﹣12m+10≤9r2对任意m∈[0，1]成立．
而f（m）＝10m2﹣12m+10在[0，1]上的值域为[，10]，
又线段BH与圆C无公共点，所以（m﹣3）2+（3﹣3m﹣2）2＞r2对任意m∈[0，1]成立，即r2＜．
故圆C的半径r的取值范围为[，）．
【知识点】圆的标准方程

21.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．
（1）求C的方程；
（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．

【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，
由抛物线的定义可知3+＝5，解得p＝4，
∴C的方程为y2＝8x；
（2）由（1）得抛物线C的方程为y2＝8x，焦点F（2，0），
设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则，则两式相减．整理得＝，
∵线段AB中点的纵坐标为﹣1，则y1+y2＝﹣2
∴直线l的斜率kAB＝＝＝﹣4，
直线l的方程为y﹣0＝﹣4（x﹣2）即4x+y﹣8＝0．
【知识点】抛物线的性质

22.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝7，a2+a12＝8．
（1）求an；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．

【解答】解：（1）a2+a12＝8⇒a7＝4∵
∴a1＝﹣2∴
∴an＝﹣2+n﹣1＝n﹣3；
（2）∵an＝n﹣3，
∴bn＝2n﹣3
则．
【知识点】等差数列的前n项和、等比数列的前n项和、等差数列的通项公式

23.已知函数f（x）＝（x+2a）2+blnx，其中a，b∈R．
（1）当a＝b＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当b＝2时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）当b＝1时，若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求的取值范围．
（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

【解答】解：（1）f（x）＝（x+2）2+lnx的导数为f′（x）＝x+2+，
曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4，
切点为（1，），可得切线方程为y﹣＝4（x﹣1），
即为y＝4x+；
（2）函数f（x）＝（x+2a）2+2lnx的导数为f′（x）＝x+2a+，
由x+≥2，可得
①当2a≥﹣2即a≥﹣时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；
②当a＜﹣，a2﹣2＞0，由f′（x）＝0，可得x1＝﹣a+或x2＝﹣a﹣，且x1＞x2＞0，
即有f（x）在（﹣a﹣，﹣a+）递减；在（0，﹣a﹣），（﹣a+，+∞）递增；
（3）当b＝1时，f′（x）＝x+2a+，
所以x1，x2是方程x2+2ax+1＝0的两根，从而x1+x2＝﹣2a，x1x2＝1，
因为x1＜x2且x1＞0，x2＞0，
所以x2＞1，2a＝﹣x2﹣，＝＝+x2lnx2，
记g（x）＝+xlnx，g′（x）＝﹣+1+lnx，x＞1，
可得g′（x）在（1，+∞）单调递增，
所以g′（x）＞g′（1）＝＞0，
从而g（x）在（1，+∞）单调递增，
所以g（x）＞g（1）＝，
所以的取值范围为（，+∞）．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值