必刷卷05 2020-2021学年高二年级数学上学期期末仿真必刷模拟卷（人教A版2019）（解析版）

2020-2021学年高二上学期数学期末仿真必刷模拟卷【人教A版2019】
期末检测卷05
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则平面POC与平面ABM所成二面角的正弦值是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：取BC的中点E，连结OE，则OA⊥OE，
又PA=PD，O是AD的中点，∴PO⊥AD，
∵平面ABCD⊥平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OE，
以O为原点，OA，OE，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），P（0，0，2），C（﹣1，2，0），B（1，2，0），
∴M（﹣），=（﹣，﹣1，1），=（0，2，0），
设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），
则，取x=2，得=（2，0，3），
设平面POC的一个法向量=（x，y，z），
=（0，0，2），=（﹣1，2，0），
则，取y=1，得=（2，1，0），
设平面POC与平面ABM所成二面角为θ，
则cosθ==，
∴sinθ==．
∴平面POC与平面ABM所成二面角的正弦值是．
故选：D．

【知识点】二面角的平面角及求法

2.在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝1，AB＝，将△ABC绕BC旋转，使得点A转到点P，如图，若D为BC的中点，E为PC的中点，AE＝，则AB与平面ADE所成角的正弦值是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：如图，由题意可知，CE＝，
又AE＝，AC＝1，∴CE2+AE2＝AC2，
即AE⊥PC，
∵D，E分别为BC，PC的中点，∴DE∥PB，
∵BP⊥PC，∴PC⊥DE，而AE∩DE＝E，
∴PC⊥平面ADE，
延长ED至F，使ED＝DF，连接BF，
则△CED≌△BFD，可得BF⊥平面AED，
∴∠BAF为AB与平面ADE所成角，
在Rt△AFB中，由BF＝CE＝，AB＝，
可得sin∠BAF＝．
∴AB与平面ADE所成角的正弦值是．
故选：B．

【知识点】直线与平面所成的角

3.如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（　　）

A．CC1与B1E是异面直线
B．直线AC⊥平面ABB1A1
C．直线A1C1与平面AB1E不相交
D．∠B1EB是二面角B1﹣AE﹣B的平面角

【解答】解：A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；
B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；
C不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故不正确；
D正确，因为AE⊥侧面B1C1CB，故∠B1EB是二面角B1﹣AE﹣B的平面角正确．
故选：D．
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理、空间中直线与平面之间的位置关系

4.在平面直角坐标系xOy中，点P在圆C：（x﹣8）2+y2＝16上运动，A（6，0），B（6，1），则PB+2PA的最小值为（　　）
A． B．6 C．4+ D．

【解答】解：由圆C：（x﹣8）2+y2＝16，得x2+y2﹣16x+48＝0，
得x2+y2＝4x2+4y2﹣48x+144，得＝2，
∴|PO|＝2|PA|，即圆C上的动点P到原点O的距离是动点P到A的距离的2倍，
∴|PB|+2|PA|＝|PB|+|PO|≥|BO|＝＝．
当且仅当P在线段OB上取等号．
故选：A．

【知识点】直线与圆的位置关系、两点间的距离公式

5.已知直线y＝2x+m与圆C相切于点（﹣2，﹣1），且圆C的圆心在y轴上，则圆C的标准方程为（　　）
A．（x﹣2）2+y2＝17 B．x2+（y﹣2）2＝13
C．x2+（y+2）2＝5 D．（x+2）2+y2＝1

【解答】解：将切点（﹣2，﹣1）代入切线方程可得：﹣1＝2×（﹣2）+m，解得m＝3，
设圆心为（0，b），所以＝﹣，解得b＝﹣2，
所以圆C的半径r＝＝，
所以圆C的标准方程为x2+（y+2）2＝5．
故选：C．
【知识点】直线与圆的位置关系

6.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2过F2作C的一条渐近线l的垂线，垂足为M，若三角形MF1F2的面积为2a2，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．

【解答】解：由题得F2（c，0），不妨设l：bx﹣ay＝0，则（也可记住结论），
，∵∴，
∴b＝2a，∴c2＝a2+b2＝5a2，∴，∴．
故选：D．

【知识点】双曲线的性质

7.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得＝e，则该离心率e的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：依题意，得使得+1＝＝e+1，
∴PF2＝，
又a﹣c≤PF2≤a+c，
∴a﹣c≤≤a+c，
不等号两端同除以a得，1﹣e≤≤1+e，
解得e≥﹣1，
又0＜e＜1，
∴．
故选：A．
【知识点】椭圆的性质

8.已知等比数列{an}满足a2=3，a2+a4+a6=21，则a4+a6+a8=（　　）
A．21 B．42 C．63 D．84

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2=3，a2+a4+a6=21，
∴3（1+q2+q4）=21，可得q4+q2﹣6=0，
解得q2=2．
则a4+a6+a8=q2（a2+a4+a6）=2×21=42．
故选：B．
【知识点】等比数列的性质

9.已知数列{an}的任意连续三项的和是18，并且a5=5，a13=9，那么a2019=（　　）
A．10 B．9 C．5 D．4

【解答】解：∵数列{an}的任意连续三项的和是18，
∴an+an+1+an+2=18
∵a5=5，a13=9，
∴a8+a9+a10=18
∵5+3=8，2019=670×3+9，
∴a5+a9+a2019=18
∴a2019=4，
故选：D．
【知识点】数列的概念及简单表示法

10.在等差数列{an}中，Sn表示{an}的前n项和，若a3+a6＝3，则S8的值为（　　）
A．3 B．8 C．12 D．24

【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a1+a8＝a3+a6＝3，
则S8＝＝4×3＝12．
故选：C．
【知识点】等差数列的前n项和

11.若函数在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，0] B．[0，1） C．（﹣1，1） D．[﹣1，1]

【解答】解：f′（x）＝2﹣cos2x+acosx，依题意，2﹣cos2x+acosx≥0对任意x∈R恒成立，
∴2cos2x﹣acosx﹣3≤0对任意x∈R都成立，
令t＝cosx，t∈[﹣1，1]，则2t2﹣at﹣3≤0对t∈[﹣1，1]恒成立，
∴，解得﹣1≤a≤1．
故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的单调性

12.函数f（x）＝（x2﹣3x+1）ex的极大值是（　　）
A．﹣3e B．﹣e2 C．2e2 D．

【解答】解：f（x）＝（x2﹣3x+1）ex，x∈R．
f′（x）＝（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+1）ex＝（x2﹣x﹣2）ex＝（x﹣2）（x+1）ex．
令f′（x）＝0，解得x＝﹣1，2．
令f′（x）＞0，解得x＞2，或x＜﹣1．
令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2．
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减．
∴x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，f（﹣1）＝．
故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的极值

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.在三棱锥PABC中，G为△ABC的重心，设＝a，＝b，＝c，则＝　　　　　　　　　　　　（用a，b，c表示）．


【解答】解：如图，取BC的中点D，
∵G为△ABC的重心，
则在△ABC中，＝＝＝（+）．
∴﹣＝（﹣+﹣）
∴＝++
＝（）．
故答案为：（）．
【知识点】空间向量及其线性运算

14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+（y﹣t）2＝4圆C2：（x﹣2）2+y2＝14．若圆C1上存在点P，过点P作圆C2的切线，切点为Q，且PO＝PQ，则实数t的取值范围为　　﹣　　　　　　　　　　　．

【解答】解：设P（m，n），由，由PO＝PQ，
可得PO2＝2PQ2，即m2+n2＝2[（m﹣2）2+n2﹣14]，
化为m2+n2﹣8m﹣20＝0，
可得P在圆C1：x2+（y﹣t）2＝4上，也在圆（x﹣4）2+y2＝36上，
即有6﹣2≤≤6+2，解得﹣4≤t≤4．
故答案为：[﹣4，4]．
【知识点】直线和圆的方程的应用

15.已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，其前n项和为Sn，下列命题中正确的是　　　　　　　　（写出全部正确命题的序号）
（1）等比数列{an}单调递增的充要条件是a1＞0且q＞1；
（2）数列：S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，S4n﹣S3n，……，也是等比数列；
（3）Sn＝qSn﹣1+a1（n∈N*，n≥2）；
（4）点（n，Sn）在函数f（x）＝c﹣dx（c，d为常数，且d＞0，d≠1）的图象上．

【解答】解：对于（1），等比数列满足a1＜0，0＜q＜1时，数列为单调递增数列，故（1）错误；
对于（2），等比数列的首项为a1，等比为q，
则Sn＝，S2n﹣Sn＝＝，
同理S3n﹣S2n＝，S4n﹣S3n＝，
（S3n﹣S2n）2＝（S2n﹣Sn）（S4n﹣S3n），得到此数列为等比数列，故（2）正确；
对于（3），Sn＝，qSn﹣1+a1＝，
∴Sn＝qSn﹣1+a1（n∈N*，n≥2），故（3）正确；
对于（4），Sn＝＝，若点（n，Sn）在函数f（x）＝c﹣dx（c，d为常数，且d＞0，d≠1）的图象上，
则，当公比q＜0时不成立，故（4）错误．
∴正确命题的序号是（2），（3）．
故答案为：（2），（3）．
【知识点】等比数列的性质

16.y＝x3在点P处切线的斜率为3，则点P的坐标为　　﹣　﹣　　　　　　　．

【解答】解：由题意可知，y＝x3
则 y′＝3x2
曲线y＝x3在点P（x，y）处的切线斜率k＝y′（x）＝3，
∴3x2＝3，x＝±1，
∴P点坐标为（1，1）或（﹣1，﹣1）
故答案为：（﹣1，﹣1），（1，1）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF∥DC，FD＝FB．
（1）若DC＝2EF，求证：OE∥平面ADF；
（2）求证：平面AFC⊥平面ABCD；
（3）若AB＝FB＝2，AF＝3，∠BCD＝60°，求直线AF与平面ABCD所成角的余弦值．


【解答】（1）证明：取AD的中点G，连接OG，FG．
因为O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，
所以OG∥DC，且OG＝DC．
又因为EF∥DC，且DC＝2EF，所以OG∥EF，且OG＝EF，
从而OGEF为平行四边形，
所以OE∥FG．
又FG⊂平面ADF，OE⊄平面ADF，
∴OE∥平面ADF．
（2）因为四边形ABCD为菱形，所以OC⊥BD，
因为FD＝FB，O是DB的中点，所以OF⊥BD，
又OF∩OC＝O，所以BD⊥平面AFC．
又DB⊂平面ABCD，所以平面AFC⊥平面ABCD．
（3）作FH⊥AC于H，因为平面AFC⊥平面ABCD，
所以FH⊥平面ABCD．
则∠FAH为AF与平面ABCD所成角．
由∠BCD＝60°及四边形ABCD为菱形，得△BCD为正三角形，
则QA＝，BD＝AB＝2，FD＝FB＝2，
所以△FBD为正三角形，从而OF＝，
在△AOF中，由余弦定理，
得cos∠FAH＝cos＝＝．
所以AF与平面ABCD所成角的余弦值为．

【知识点】直线与平面所成的角、平面与平面垂直、直线与平面平行

18.在直角坐标系xOy中，已知以点M为圆心的圆M：（x﹣5）2+（y﹣7）2＝25及其上一点A（1，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝5上，求圆N的标准方程．
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝4，求直线l的方程．

【解答】解：（1）∵圆M：（x﹣5）2+（y﹣7）2＝25，
∴圆心M的坐标为（5，7），半径r＝5，
根据题意，设圆N的方程为（x﹣5）2+（y﹣b）2＝b2（b＞0），
又∵圆N与圆M外切，∴，解得b＝1．
∴圆N的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣1）2＝1；
（2）由题意可知，kOA＝4，∴可设直线l的方程为y＝4x+m，
又|BC|＝4，∴圆心M（5，7）到直线l的距离d＝．
即，解得m＝4或m＝﹣30．
∴直线l的方程为y＝4x+4或y＝4x﹣30．
【知识点】直线与圆的位置关系

19.在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．
最小覆盖圆满足以下性质：
（1）线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；
（2）锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．
已知曲线W：x2+y4＝16，A（0，t），B（4，0），C（0，2），D（﹣4，0）为曲线W上不同的四点．
（Ⅰ）求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；
（Ⅱ）求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
（Ⅲ）求曲线W的最小覆盖圆的方程．

【解答】解：（I）由题意，t＝﹣2，
由于△ABC为锐角三角形，外接圆就是△ABC的最小覆盖圆．
设△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则，解得．
∴△ABC的最小覆盖圆的方程为 x2+y2﹣3x﹣4＝0；
（ II）∵DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
∴DB的最小覆盖圆的方程为x2+y2＝16．
又∵|OA|＝|OC|＝2＜4，∴点A，C都在圆内．
∴四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2+y2＝16；
（III）由题意，曲线W为中心对称图形．
设P（x0，y0），则．
∴，且﹣2≤y0≤2．
故 ，
∴当时，，
∴曲线W的最小覆盖圆的方程为．
【知识点】圆的一般方程

20.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程及焦点到准线的距离；
（2）若直线y＝x+1与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求y1y2的值．

【解答】解：（1）椭圆的右焦点为（2，0），
则，得p＝4．
∴抛物线C的方程为y2＝8x，
焦点到准线的距离为4；
（2）联立，得y2﹣16y+16＝0．
∵△＝162﹣4×16＞0，
∴y1y2＝16．
【知识点】抛物线的性质、抛物线的标准方程

21.已知椭圆C：x2+2y2＝2b2（b＞0）．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若b＝1，斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，且|AB|＝，求△AOB的面积．

【解答】解：（1）由椭圆C：x2+2y2＝2b2（b＞0），得（b＞0）．
∴a2＝2b2，则c2＝a2﹣b2＝b2，
∴；
（2）由b＝1，可得椭圆方程为．
设直线方程为y＝x+m．
联立，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0．
△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＝﹣8m2+24＞0，即﹣＜m＜．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，．
由|AB|＝＝＝，
解得：m＝∈[﹣，]．
则O到AB的距离d＝．
∴△AOB的面积S＝．
【知识点】椭圆的性质

22.将正整数排成如图的三角形数阵，记第n行的n个数之和为an．
（1）设Sn＝a1+a3+a5+…+a2n﹣1（n∈N*），计算S2，S3，S4的值，并猜想Sn的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想．


【解答】解：（1）S1＝a1＝1，S2＝a1+a3＝1+4+5+6＝16，
S3＝S2+a5＝16+11+12+13+14+15＝81，
S4＝S3+a7＝81+22+23+…+28＝256，
猜想Sn＝n4，
证明（2）：①当n＝1时，猜想成立，
②假设当n＝k时，（k∈N*）时成立，即Sk＝k4，
由题意可得an＝[+1]+＝[+2]+…+[+n]＝n•+＝，
∴a2k+1＝＝（2k+1）（2k2+2k+1）＝4k3+6k2+4k+1，
∴Sk+1＝Sk+a2k+1＝k4+4k3+6k2+4k+1＝（k+1）4，
∴即n＝k+1时猜想成立，
由①②可知，猜想对任意n∈N*都成立．
【知识点】数学归纳法

23.已知函数f（x）＝lnx+mx2+1，m∈R．
（1）当m＝﹣2时，求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）讨论函数f（x）的零点个数．

【解答】解：函数的定义域（0，+∞），f′（x）＝+2mx，
（1）当m＝﹣2时，f′（x）＝﹣4x＝，
当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故x＝时，函数取得极大值f（）＝﹣ln2+，
（2）f′（x）＝+2mx＝，
①若m≥0，则f′（x）＝＞0恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→+∞，故函数只有1个零点，
②当m＜0时，f′（x）＝＝0可得x＝，x＝﹣（舍），
易得函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
故函数在x＝时，函数取得极大值f（）＝ln+
又x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→﹣∞，
（i）若f（）＝ln+＝0即m＝﹣时，函数有1个零点，
（ii）若f（）＝ln+＜0即m＜﹣时，函数无零点，
（iii）若f（）＝ln+＞0即0＞m＞﹣时，函数有2个零点，
综上可得，若m＝﹣或m≥0时，函数有1个零点，若m＜﹣时，函数无零点，若0＞m＞﹣时，函数有2个零点，
【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的零点与方程根的关系