必刷卷04 2020-2021学年高二年级数学上学期期末仿真必刷模拟卷（人教A版2019）（解析版）

2020-2021学年高二上学期数学期末仿真必刷模拟卷【人教A版2019】
期末检测卷04
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
＝（0，﹣1，﹣2），＝（1，﹣1，0），＝（0，0，2），
设平面ABB1A1的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，0），
设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，
则sinθ＝＝＝，
∴cosθ＝＝．
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．
故选：A．

【知识点】直线与平面所成的角

2.如图，M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心，若（x、y、x∈R），则x+y+z的值为（　　）

A． B． C． D．1

【解答】解：如图，连结PM，
∵M是三棱锥P﹣ABC的底面△ABC的重心，
∴＝，
∴＝＝﹣++，
∵（x、y、x∈R），
∴x＝﹣1，y＝z＝，
∴x+y+z＝﹣．
故选：A．

【知识点】空间向量及其线性运算

3.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，
由，可得P（，，），
A（0，0，0），B（0，1，0），
则＝（，，），＝（1，0，0），
设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），
由•＝0，且•＝0，可得x+y+z＝0，且x＝0，
可取＝（0，﹣3，2），
而平面ABCD的法向量为＝（0，0，1），
则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为＝＝．
故选：B．

【知识点】二面角的平面角及求法

4.已知点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣4x＝0上，那么P，Q两点的距离的最大值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为C1（0，0），半径r1＝1，
圆C2：x2+y2﹣4x＝0的圆心坐标为C2（2，0），半径r2＝2．
作出两圆图象如图：

P，Q两点的距离的最大值是5．
故选：C．
【知识点】直线与圆的位置关系

5.已知M，N分别是曲线C1：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，C2：x2+y2﹣2x＝0上的两个动点，P为直线x+y+1＝0上的一个动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．3

【解答】解：曲线C1：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，为以C1（2，2），半径为1的圆，
C2：x2+y2﹣2x＝0为C2（1，0），半径为1的圆，
由圆的对称性可得|PM|的最小值为|PC1|﹣1，
|PN|的最小值为|PC2|﹣1，
过C2作直线x+y+1＝0的对称点B，设坐标为（m，n），
可得＝1，+＝1＝0，
解得m＝﹣1，n＝﹣2，即B（﹣1，﹣2），
连接BC1，交直线于P，连接PC2，
可得|PC1|+|PC2|＝|PC1|+|PB|≥|BC1|＝＝5．
当且仅当B，P，C1三点共线可得|PC1|+|PC2|的最小值为5，
则则|PM|+|PN|的最小值为5﹣2＝3．
故选：D．

【知识点】两点间的距离公式

6.如果平面直角坐标系内的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线l对称，那么直线l的方程为（　　）
A．x﹣y+1＝0 B．x+y+1＝0 C．x﹣y﹣1＝0 D．x+y﹣1＝0

【解答】解：∵kAB＝＝﹣1，线段AB的中点为（，），
两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，
∴kL＝1，其准线方程为：y﹣＝x﹣，
化为：x﹣y+1＝0．
故选：A．
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程

7.已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使得，则这椭圆的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理知＝，
∵，∴＝＝，即|PF1|＝e|PF2|，①
又∵P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|＝2a，
将①代入得|PF2|＝∈（a﹣c，a+c），
同除以a得，1﹣e＜＜1+e，
解得＜e＜1，
故选：D．
【知识点】椭圆的性质

8.设P是双曲线上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2＝90°，△F1PF2的面积是7，则a+b是（　　）
A． B． C．10 D．16

【解答】解：由题意，不妨设点P是右支上的一点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则
，
∴a＝3，c＝4
∴b＝＝
∴a+b＝3+
故选：A．
【知识点】双曲线的性质

9.已知{an}为等差数列，若，为方程x2﹣10x+16＝0的两根，则a2+a1010+a2018的值为（　　）
A． B． C．15 D．30

【解答】解：∵{an}为等差数列，若，为方程x2﹣10x+16＝0的两根，
∴＝10，＝16，
∴＝＝16（a1+a2019）＝10，
∴a1+a2019＝2a1010＝，
∴a1010＝，
∴a2+a1010+a2018＝3a1010＝．
故选：B．
【知识点】等差数列的性质

10.在等差数列{an}中，若a2+a9＝10，则3a4+a10＝（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+a9＝10，
∴2a1+9d＝10．
∴3a4+a10＝4a1+18d＝2×10＝20．
故选：C．
【知识点】等差数列的通项公式

11.已知函数，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，e] C． D．

【解答】解：，
若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则f（x）min≥g（x）max（x∈（0，+∞））．
，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的最小值为．
又g（x）max＝a，
所以a≤．
故实数a的取值范围为．
故选：C．
【知识点】利用导数研究函数的最值

12.已知定义在上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（0）＝0，f'（x）cosx+f（x）sinx＜0，则下列判断中正确的是（　　）
A． B．
C． D．

【解答】解：令g（x）＝，x，
因为f'（x）cosx+f（x）sinx＜0，
则g′（x）＝＜0，
故g（x）在[0，）上单调递减，
因为f（0）＝0，则f（x）≤0，
结合选项可知，g（）＞g（），从而有，即f（）＞f（），故A错误，
因为ln＞0，结合g（x）在在[0，）上单调递减可知g（ln）＜0，从而有＜0，
由cosln＞0可得f（ln）＜0，故B错误；
g（）＞g（），从而有，且f（）＜0，即f（）．故C正确；
g（）＞g（），从而有即f（）．故D正确．
故选：CD．
【知识点】利用导数研究函数的单调性

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.在三棱锥PABC中，G为△ABC的重心，设＝a，＝b，＝c，则＝　　　　　　　　　　　　（用a，b，c表示）．


【解答】解：如图，取BC的中点D，
∵G为△ABC的重心，
则在△ABC中，＝＝＝（+）．
∴﹣＝（﹣+﹣）
∴＝++
＝（）．
故答案为：（）．
【知识点】空间向量及其线性运算

14.已知P为直线l：x+3y﹣12＝0上一点，过P作圆C：（x﹣2）2+y2＝1的切线，则切线长最短时的切线方程为　　　　﹣﹣　　　．

【解答】解：圆心C（2，0），半径R＝1，
过P作圆的切线PA，
∵|PA|＝，
∴要使切线长PA最短，即CP最短，
当CP垂直直线l时，CP最短，
l的斜率为k＝﹣，则CP的斜率k＝3，
则此时CP的方程为y＝3（x﹣2）＝3x﹣6，
由得，即点P的坐标（3，3），①当直线方程为x＝3时，圆心C到直线的距离为1，所以直线x＝3与圆C相切，满足条件，
②当过P的切线斜率存在时，设切线方程为y﹣3＝k（x﹣3），即kx﹣y+3﹣3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝＝＝1，即|k﹣3|＝，解得k＝，
切线方程为x﹣y+3﹣3×＝0，即4x﹣3y﹣3＝0，
综上，切线长最短时，切线方程为x＝3或4x﹣3y﹣3＝0．
故答案为：x＝3或4x﹣3y﹣3＝0

【知识点】圆的切线方程

15.已知△ABC的一内角为120°，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC的面积为　　　　　　．

【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣2，x，x+2，
则cos120°＝＝﹣，
解得x＝5，
所以三角形的三边分别为：3，5，7
则△ABC的面积S＝×3×5sin120°＝．
故答案为：．
【知识点】三角形的面积公式、等差数列的通项公式

16.设函数，对于任意的x1，x2∈（0，+∞），不等式kf（x1）≥（k+1）g（x2）恒成立，则正实数k的取值范围　　　　　　　　　　　

【解答】解：x＞0时，∵f（x）＝，
∴g′（x）＝，
∴函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）max＝g（1）＝e．
∵对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式kf（x1）≤（k+1）g（x2）恒成立，
∴正实数k满足k•4e≥（k+1）•e．
∴，则正实数k的取值范围[），
故答案为：[，+∞）
【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的单调性

三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和侧棱长都为2，D是AC的中点．
（1）在线段A1C1上是否存在一点E，使得平面EB1C∥平面A1BD，若存在指出点E在线段A1C1上的位置，若不存在，请说明理由；
（2）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．


【解答】解：（1）设A1C1的中点为D1，连结DD1，
以D为坐标原点，分别以DA、DB、DD1，为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
在△ABC中，，
∴．
设为平面A1BD的一个法向量，，
由，得，取z＝﹣1，得．
，，∴，
若线段A1C1上存在点E，使得平面EB1C∥平面A1BD，
设点E坐标为（a，0，2），则，
∵平面EB1C∥平面A1BD，∴也为平面EB1C的法向量，
∴，，得a＝0，
∴点E为线段A1C1的中点；
（2）解：由（1）得为平面A1BD的一个法向量，．
∵．
∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为．

【知识点】直线与平面所成的角、平面与平面平行

18.己知点O（0，0），直线l与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相交于A，B两点，且OA⊥OB．
（1）若直线OA的方程为y＝﹣3x，求直线OB被圆C截得的弦长；
（2）若直线l过点（0，2），求l的方程．


【解答】解：（1）因为直线OA的方程为y＝﹣3x，OA⊥OB，所以直线OB的方程为y＝，
从而圆心C（1，2）到直线OB的距离为：＝．
所以直线OB被圆C截得的弦长为：2＝．
（2）依题意，直线l的斜率必存在，不妨设其为k，则l的方程为y＝kx+2，
又设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（k2+1）x2﹣2x﹣3＝0，
所以x1+x2＝，x1x2＝﹣，
从而x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＝（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4＝+1，
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2＝0，即+1＝0，解得k＝﹣2±，
所以l的方程为y＝（﹣2±）x+2．

【知识点】直线与圆的位置关系、直线与圆相交的性质

19.已知圆O：x2+y2＝4，直线l过点M（3，3），且l⊥OM．
（1）若点N（x0，y0）上直线l的动点，在圆O上是否存在一点E，使得∠ONE＝30°，若现在，求y0的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2）过点F（1，0）作两条互相垂直的直线，分别交圆O于A，C和B，D，设线段AC，DB的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．

【解答】解：（1）由题得kOM＝1，所以kl＝﹣1，
则直线l的方程为x+y﹣6＝0，所以x＝6﹣y，
如图可知，
对每个给定的点N，当NE为圆O的切线时，∠ONE最大，此时OE⊥EN，
若∠ONE＝30°，则ON＝2OE＝4，即＝4，又因为x0＝6﹣y0，
代入整理得，
则△＝36﹣40＝﹣4＜0即该方程无解，
故不存在这样的点E．
（2）当直线AC，BD斜率存在时，
设直线AC的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），联立，整理得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝，△＝4k4﹣4（1+k2）（k2﹣4）＝16+12k2＞0，
＝＝＝，
所以P（，），
同理得Q（，），即Q（，），
kPQ＝＝，
所以直线PQ方程为y﹣＝，
y＝，恒过定点（﹣，0），
当AC斜率为0，直线BD斜率不存在时，
直线AC方程y＝0，此时A（﹣2，0），C（2，0），P（0，0）
直线BD方程x＝1，此时B（1，﹣），D（1，），Q（1，0），
直线PQ为y＝0，经过点（﹣，0）．
综上所述，恒过定点（﹣，0）．

【知识点】直线和圆的方程的应用

20.已如椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；
（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＝，则C2：y2＝4ax，
代入x＝c，得y2＝4ax，即y＝±2，所以4＝4，
则有ac＝2，＝，a2﹣b2＝c2⇒a＝2，b＝，c＝1，p＝4，
所以椭圆C1的方程为+＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x；
（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l设为y＝k（x+4），联立椭圆方程3x2+4y2＝12，
消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），E（x1，﹣y1），
可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，
直线EN的方程为y+y1＝（x﹣x1），
即为y+k（x1+4）＝（x﹣x1），
即y＝•x﹣，
代入韦达定理可得y＝•（x+1），
则直线EN过定点（﹣1，0）．
【知识点】圆锥曲线的综合

21.在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝32，
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）设bn＝an+1，求数列{bn}的前n项和Sn．

【解答】解：（1）等比数列{an}的公比设为q，
a2＝4，a5＝32，可得q3＝＝8，
解得q＝2，
可得an＝a2qn﹣2＝2n；
（2）bn＝an+1＝2n+1，
则前n项和Sn＝（2+4+…+2n）+n
＝+n＝2n+1+n﹣2．
【知识点】等比数列的通项公式、数列的求和

22.设函数．
（1）若x＝﹣1是函数f（x）的一个极值点，试用a表示b，并求函数f（x）的减区间；
（2）若a＝1，b＝﹣1，证明：当x＞0时，．

【解答】解：（1）函数．
由，
有f'（﹣1）＝（﹣1+a﹣2+a﹣b）e＝0，
得：b＝2a﹣3，
此时有＝，
由x＝﹣1是函数f（x）的一个极值点，可知3﹣a≠﹣1，得：a≠4；
①当3﹣a＞﹣1，即a＜4时，
令f'（x）＜0，得：x＞3﹣a或x＜﹣1，函数f（x）的减区间为：（﹣∞，﹣1），（3﹣a，+∞）；
②当a＞4时，函数f（x）的减区间为：（﹣∞，3﹣a），（﹣1，+∞）；
（2）若a＝1，b＝﹣1，由题意有：，要证：，
只要证：（2x﹣1）ex﹣e（x2+x﹣1）≥0（x＞0），
令g（x）＝（2x﹣1）ex﹣e（x2+x﹣1）（x＞0），
有g'（x）＝（2x+1）ex﹣e（2x+1）＝（2x+1）（ex﹣e），
则函数g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），
则g（x）min＝g（1）＝0；
故不等式成立．得证．
【知识点】利用导数研究函数的极值

23.已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有极值点x0，有两个零点x1，x2，且x1x2+mx0（x1+x2）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞）且，
①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＞0时，令f'（x）＝0，则，
当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，
所以f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，（a＞0），
∵x1，x2为f（x）的两个零点，
∴，∵x1x2+mx0（x1+x2）＜0恒成立，
∴恒成立，
∴ax1x2+m（x1+x2）＜0恒成立，∴恒成立，
不妨设x1＜x2，∴恒成立，∴恒成立，
令（t＞1），∴在t∈（1，+∞）上恒成立，
因为lnt＞0，，
所以m≥0时，在t∈（1，+∞）上不成立．
令，
则g（1）＝0，＝，
①当时，m（1+t2）+t＝＝，
从而g'（t）＜0，所以g（t）在区间（1，+∞）上单调递减，
所以当t＞1时，g（t）＜g（1）＝0恒成立；
②当时，对于方程mt2+t+m＝0，
因为△＝1﹣4m2＞0，
所以方程mt2+t+m＝0有两根t1，t2且t1t2＝1，，
不妨设0＜t1＜1＜t2，
则当t∈（1，t2）时，mt2+t+m＞0，即g'（t）＞0，
所以g（t）在区间（1，t2）上单调递增，此时g（t）＞g（1）＝0，
即在t∈（1，+∞）上不恒成立，
综上所述，m的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值