北师大版九年级下册8 圆内接正多边形教学设计

这是一份北师大版九年级下册8 圆内接正多边形教学设计，共26页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第16讲


讲














切线长定理及圆内接正多边形


























概述





【教学建议】


切线长定理在中考数学中考察的频次较高，与圆内接多边形相关的计算问题常在小题中单独考察。教师在教学中要把主要精力放在切线长定理上，帮助学生多总结，多反思。


学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难：


1. 切线长定理的应用问题。


2. 与圆内接多边形相关的计算。


【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


切线长定理在中考数学中考察的频次较高，多以综合题的形式出现，而且难度不低，教师在教学中要给予重视，加大训练的力度。与圆内接多边形相关的计算问题常在小题中单独考察，知识点较单一，属于容易题，教师在教学中不必在这个知识点上深挖。





二、知识讲解








知识点1 切线长定理








切线长与切线长定理








知识点2 圆内接正多边形





把圆分成n(n≥3)等份：


(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；


(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．





三、例题精析








例题1





【题干】1.下列说法正确的是（ ）


过任意一点总可以作圆的两条切线


圆的切线长就是圆的切线的长度


过圆外一点所画的圆的两条切线长相等


过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径


【答案】C


【解析】根据切线长定理即可得。





例题2





【题干】如图，⊙I为的内切圆，点分别为边上的点，且为⊙I的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（ ）．





A．15 B．8 C．9 D．7．5


【答案】C


【解析】根据切线长定理即可得。





例题3





【题干】已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E. 如图，求证：EB=EC=ED；











【答案】见解析


【解析】证明：连接BD.


由于ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得


ED=EB，∠DEO=∠BEO，


∴OE垂直平分BD.


又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD.∴AD∥OE.即OE∥AC.


又O为AB的中点，


∴OE为△ABC的中位线，∴BE=EC，


∴EB=EC=ED.











例题4





【题干】如图,在正五边形ABCDE中,对角线AD CE相交于F,求证


（1）三角形AEF是等腰三角形


（2）四边形ABCE是等腰梯形


（3）四边形ABCF 是菱形








【答案】见解析


【解析】证明：（1）∵AE = DE = CD


∴△EAD、△DCE都是等腰三角形,且顶角都是108°,所以每个底角都是36°,即∠EAF = ∠CED = 36°


∴∠AEF = ∠AED - CED = 180 - 36 = 72°


∠AFE = 180° - ∠EAF - ∠AEF = 180 - 36 - 72 = 72°


即∠AEF = ∠AFE,


∴△AEF是等腰三角形


（2）∠BAD = ∠BAE - ∠EAF = 108 - 36 = 72°


∠B + ∠BAD = 180°,


∴BC∥AD,


又∵AB = CD,


∴四边形ABCE是等腰梯形


（3）根据1,可知AF = AE,


∴AF = BC,


∴四边形ABCF是平行四边形（一对边平行且相等）


又∵临边AB = BC,


∴四边形ABCF是菱形。








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习。





基础





1.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，连接OP，AB，下列结论不一定正确的是（ ）


PA=PB B.OP垂直平分AB C.∠OPA=∠OPB D.PA =AB








【答案】D


【解析】根据切线长定理即可得。





2.如图,PA,PB是⊙O的切线,切点为AB,BC是⊙O的直径,连接AB,AC,OP





（1）∠APB＝2∠ABC


（2）AC∥OP


【答案】见解析


【解析】 (1)连接AO.易知∠APB+∠AOB=180°


∵∠AOC+∠AOB=180°


∴∠APB=∠AOC,∵∠AOC=2∠ABC(圆心角与圆周角)


∴∠APB＝2∠ABC


（2）证明：连接OA,OB ,AB


∵PA,PB是⊙O的切线


∴∠OAP=∠OBP=90°


∵OA=OB,OP=OP


∴△OAP≌△OBP


∴PA=PB,∠APO=∠BPO


∴AB⊥PO


∵BC是直径


∴∠BAC=90°


即AB⊥AC∴AC‖∥PO





3.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的圆心O到BC的距离OM和弧BC的长分别为（ ）





、 B．、 C．、 D．、





【答案】B


【解析】正六边形的中心角是60°，解直角三角形即可得。





4.已知：如图,△ABC是⊙O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.


求证：五边形AEBCD是正五边形。








【答案】见解析


【解析】证明：∵AB=AC，


∴∠ABC=∠ACB，


又∵∠BAC=36∘，


∴∠ABC=∠ACB=72∘.


又∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB.


∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°


∴AE=BE=BC=CD=DA


易证五边形AEBCD为正五边形





巩固





1.如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于点D、E，直径FG在AB上，若BG= EQ \R(,2)-1，则△ABC的周长是 ．





【答案】4+2


【解析】提示：切线长定理。





2.如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ）





A. 3 B.23 C.2 D.33


【答案】B


【解析】根据圆内接多边形的中心角度数，结合解直角三角形即可得。





3.如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为 ．








【答案】52


【解析】根据切线长定理即可得。





4.如图，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是 .





【答案】8


【解析】根据切线长定理，构造直角三角形，解之即可。





拔高





1.如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40∘，则∠ACB的大小是（ ）。





A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°





【答案】C


【解析】可根据切线长定理一步步推导出来；因为是选择题也可直接根据弦切角定理直接写出答案。





2.△ABC外切于⊙O，切点分别为点D、E、F，∠A=60°，BC=7，⊙O的半径为．





（1）求BF+CE的值； （2）求△ABC的周长．


【答案】见解析


【解析】（1）∵△ABC外切于⊙O，切点分别为点D、E、F，


∴BF=BD，CE=CD，


∴BF+CE=BD+CD=BC=7，


答：BF+CE的值是7．


（2）连接OE、OF、OA，


∵△ABC外切于⊙O，切点分别为点D、E、F，


∴∠OEA=90°，∠OAE=∠BAC=30°，


∴OA=2OE=2，


由勾股定理得：AE=AF===3，


∴△ABC的周长是AB+BC+AC=AF+AE+CE+BF+BC=7+7+3+3=20，


答：△ABC的周长是20．











3.如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．


（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；


（2）求BC的长；


（3）求⊙O的半径OF的长．





【答案】见解析


【解析】（1）答：△OBC是直角三角形．


证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，


∴∠OBE=∠OBF=∠EBF，∠OCG=∠OCF=∠GCF，


∵AB∥CD，


∴∠EBF+∠GCF=180°，


∴∠OBF+∠OCF=90°，


∴∠BOC=90°，


∴△OBC是直角三角形；


（2）∵在Rt△BOC中，BO=6，CO=8，


∴BC==10；


（3）∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，


∴OF⊥BC，


∴OF===4.8．





4.如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．





（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；


（2）写出图②中∠APN的度数和图 ③中∠APN的度数


（ 3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）


【答案】见解析


【解析】(1）∠APN = 60°.


因为∠APN=∠ABP+∠BAP


有因为点M、N以相同的速度中⊙O上逆时针运动．


所以弧AN=弧CM ∠ABN=∠MAC


所以∠APN=∠BAP+∠MAC


即∠APN=∠BAC=60°


(2）按(1）的思路可得：图2中，∠APN的度数为90°；图3中，∠APN的度数为108°．


(3）则∠APN的度数=所在多边形的内角度数=(n-2）*180/n°











课堂小结





1.切线长定理


2.圆内接正多边形








拓展延伸








基础





1. 既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是（ ）


A．矩形 B.菱形 C.正方形 D.矩形或菱形





【答案】C


【解析】根据外接圆和内切圆的相关要求易得。





2. 如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，，，那么⊙O的半径长是 ．





【答案】3


【解析】容易题


3.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ）


正六边形B.正八边形C.正十边形D.正十二边形


【答案】B


【解析】根据多边形的外交和是360°即可求。





4.如图（1），PT与⊙O1相切于点T，PAB与⊙O1相交于A、B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT2=PA•PB．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与⊙O2相交于A、B、C、D四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，则CD= ．





【答案】


【解析】如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T．





∵PT2=PA•PB=PC•PD，


∵PA=2，PB=7，PC=3，


∴2×7=3×PD，


∴PD=


∴CD=PD﹣PC=﹣3=．








巩固





1.对于以下说法：


①各角相等的多边形是正多边形；


②各边相等的三角形是正三角形；


③各角相等的圆内接多边形是正多边形；


④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．你认为正确的命题有（ ）．


A.1个 B.2个 C.3个 D.4个


【答案】B


【解析】根据相关定义易得。


2.圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）


A．36° B．60° C．72° D．108°


【答案】C


【解析】容易题


3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ）





A．30° B．35° C．45° D．60°


【答案】A


【解析】根据切线的性质和正六边形的中心角为60°易得。





4.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（ ）





A．15° B．20° C．25° D．30°


【答案】C


【解析】如图，由四边形的内角和定理，得


∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，


由=，得


∠AOC=∠BOC=50°．


由圆周角定理，得


∠ADC=∠AOC=25°，


故选：C．





拔高





1.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相较于A（0,2），B（0,8）．则圆心P的坐标是（ ）


A．(5,3) B．(5,4) C．（3,5） D．（4,5）





【答案】D


【解析】过点P作PC⊥AB于点C，过点P作PD⊥x轴于点D，则由垂径定理可得BC=AC.





∵A（0,2），B（0,8），∴OA＝2，OB＝8．∴AB＝8－2＝6.∴BC＝AC＝3.∴OC＝OA＋AC＝2＋3＝5.∴PD＝PB＝OC＝5.


在Rt△PBC中，由勾股定理,得PC＝ EQ \r(,PB2－BC2)＝ EQ \r(,52－32)＝4.


∵PC＝4,PD＝5,∴圆心P的坐标是（4,5）.


故选择D.





2.如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．


求证：


（1）FC=FG；


（2）AB2=BC•BG．








【答案】见解析


【解析】证明：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，


∴EF⊥AD，


∵E是AD的中点，


∴FA=FD，


∴∠FAD=∠D，


∵GB⊥AB，


∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，


∴∠DCB=∠G，


∵∠DCB=∠GCF，


∴∠GCF=∠G


，∴FC=FG；


（2）连接AC，如图所示：


∵AB⊥BG，


∴AC是⊙O的直径，


∵FD是⊙O的切线，切点为C，


∴∠DCB=∠CAB，


∵∠DCB=∠G，


∴∠CAB=∠G，


∵∠CBA=∠GBA=90°，


∴△ABC∽△GBA，


∴=，


∴AB2=BC•BG．








3.如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．


（1）求证：ED是⊙O的切线；


（2）当OE=10时，求BC的长．








【答案】见解析


【解析】（1）证明：如图，连接OD．


∵AC⊥AB，


∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．


在△AOE与△DOE中，


，


∴△AOE≌△DOE（SSS），


∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．


又∵OD是⊙O的半径，


∴ED是⊙O的切线；


（2）解：如图，∵OE=10．


∵AB是直径，


∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．


又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，


∴∠AEO=∠DEO，


又∵AE=DE，


∴OE⊥AD，


∴OE∥BC，


∴=，


∴BC=2OE=20，即BC的长是20．








4.如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．


（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；


（2）求CD的长．





【答案】见解析


【解析】（1）①证明：连接OC．


∵OA=OB，AC=CB，


∴OC⊥AB，


∵点C在⊙O上，


∴AB是⊙O切线．


②证明：∵OA=OB，AC=CB，


∴∠AOC=∠BOC，


∵OD=OF，


∴∠ODF=∠OFD，


∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，


∴∠BOC=∠OFD，


∴OC∥DF，


∴∠CDF=∠OCD，


∵OD=OC，


∴∠ODC=∠OCD，


∴∠ADC=∠CDF．


（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．


∵ON⊥DF，


∴DN=NF=3，


在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，


∴ON==4，


∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，


∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，


∴四边形OCMN是矩形，


∴ON=CM=4，MN=OC=5，


在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，


∴CD===4．














教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.切线长定理


2.圆内接正多边形
教学目标
1.掌握切线长定理的内容


2.掌握圆内接正多边形的画法及相关的性质
教学重点
能熟练掌握切线长定理
教学难点
能熟练掌握切线长定理
切线长与切线长定理
经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段长叫做点到圆的切线长．如图,PA是⊙O的切线,切点为A,则PA是点P到⊙O的切线长．


切线长定理:从圆外一点可引圆的两条切线,他们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
示意图
切线长定理的证明
如图,连接OA和OB．


∵PA和PB是⊙O的两条切线,


∴OA⊥AP,OB⊥BP．


又OA＝OB,OP＝OP,


∴Rt△AOP≌Rt△BOP．


∴PA＝PB,∠APO＝∠BPO．