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    专题3.8 圆内接正多边形(能力提升)-2023-2024学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》(北师大版)
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    九年级下册8 圆内接正多边形精品同步练习题

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    这是一份九年级下册8 圆内接正多边形精品同步练习题,共32页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    专题3.8 圆内接正多边形(能力提升)
    一、选择题。
    1.(2022秋•工业园区校级期中)半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比(  )
    A.1:: B.::1 C.3:2:1 D.1:2:3
    2.(2021秋•黔西南州期末)已知一个正多边形的每个外角的度数都是60°,则该多边形的对角线条数为(  )
    A.6 B.9 C.12 D.18
    3.(2021秋•黔东南州期末)半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于(  )
    A.4 B.5 C. D.6
    4.(2021秋•顺平县期末)如图,有一个直径为4cm的圆形纸片,若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片,则这个正六边形纸片的边心距是(  )

    A.1 B. C.2 D.4
    5.(2021秋•凤山县期末)如图,将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若AB=2,则点D的坐标是(  )

    A.(1,0) B.(2,0) C. D.(3,0)
    6.(2021秋•大城县期末)如图,边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形,该菱形其中一个内角为60°,则=(  )

    A.3 B.4 C.2 D.1
    7.(2022秋•吴兴区期中)如图,已知正五边形ABCDE,AB=BC=CD=DE=AE,A、B、C、D、E均在⊙O上,连接AC,则∠ACD的度数是(  )

    A.72° B.70° C.60° D.45°
    8.(2021秋•上虞区期末)如图,连结正五边形ABCDE的各条对角线,就得到一个五角星图案.若EH=4,则正五边形ABCDE的周长为(  )

    A. B. C. D.
    9.(2022秋•仪征市期中)如图,点O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的中心,连接AD、CD'交于点P,则∠APD'=(  )

    A.72° B.81° C.76° D.80°
    10.(2022秋•鹿城区校级期中)由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形(如图3),则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为(  )

    A. B. C. D.
    二、填空题。
    11.(2021秋•双滦区期末)正n边形的中心角为72°,则n=   .
    12.(2022秋•朝阳区校级期中)如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,边心距OH=3,则AB的长为    .

    13.(2022秋•宿豫区校级月考)如图,等边△ABC内接于⊙O,BD为⊙O内接正十二边形的一边,CD=10,则图中阴影部分的面积等于    .

    14.(2021秋•北辰区期末)如图,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=40mm,则边长a为    mm.


    15.(2022•雨花台区校级模拟)如图,A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点,AE与CF交于点G,若∠EGF=30°,则n=   .

    16.(2022秋•龙湾区期中)如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,E是的中点,AE交BC于点F,则∠1=   度.

    17.(2022秋•玄武区期中)如图,正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O,则的度数为    °.

    18.(2022秋•下城区校级期中)如图,边长为6的正方形ABCD内接于⊙O,点E是上的一动点(不与A,B重合,点F是上的一点,连接OE,OF,分别与AB,BC交于点G,H,且∠EOF=90°,有以下终论:
    ①OG=OH;
    ②△GBH周长的最小值为;
    ③随着点E位置的变化,四边形OGBH的面积始终为9.
    其中正确的是    .(填序号)

    三、解答题。
    19.(2022•安徽二模)如图,正方形ABCD内接于⊙O,E是的中点,连接AE,DE,CE.
    (1)求证:AE=DE;
    (2)若CE=1,求四边形AECD的面积.






    20.(2022春•思明区校级期中)如图,等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O,点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动,点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动,当点P,O,Q三点处于同一条直线时,停止运动.
    (1)求点Q的运动总长度;
    (2)若M为弦PB的中点,求运动过程中CM的最大值.






    21.(2022•金华)如图1,正五边形ABCDE内接于⊙O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:
    作法 如图2.
    1.作直径AF.
    2.以F为圆心,FO为半径作圆弧,与⊙O交于点M,N.
    3.连结AM,MN,NA.
    (1)求∠ABC的度数.
    (2)△AMN是正三角形吗?请说明理由.
    (3)从点A开始,以DN长为半径,在⊙O上依次截取点,再依次连结这些分点,得到正n边形,求n的值.





    22.(2021秋•信都区期末)已知正六边形ABCDEF的中心为O,半径OA=6.
    (1)求正六边形的边长;
    (2)以A为圆心,AF为半径画弧BF,求.



    23.(2021秋•大洼区期末)如图,⊙O的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型,其中整钟点为An(n为1~12的整数),过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P.
    (1)相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于    度;
    (2)通过计算比较直径和劣弧A7A11长度哪个更长;
    (3)连接A7A11,则A7A11和PA1有什么特殊位关系?请说明理由.
    (4)求切线长PA7的值.






    24.(2022秋•郧阳区期中)如图,在正五边形ABCDE中,DF⊥AB.
    (1)求∠CDF的度数;
    (2)求证:AF=BF.






    25.(2022秋•长沙期中)明达中学在校园里建了一个读书亭.它的地基是半径为4米的正六边形.
    (1)求地基的周长是多少?
    (2)求地基的面积是多少?





    26.(2022秋•建湖县校级月考)(回味03第22题)在正五边形ABCD中,∠EAB=∠B=108°,EA=AB=BC,M、N分别是AB和BC的中点,连接AN、EM,相交于点O.
    (1)求证:AN=EM;
    (2)求∠EON.






    专题3.8 圆内接正多边形(能力提升)
    一、选择题。
    1.(2022秋•工业园区校级期中)半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比(  )
    A.1:: B.::1 C.3:2:1 D.1:2:3
    【答案】B。
    【解答】解:设圆的半径是r,
    则多边形的半径是r,
    则内接正三角形的边长是2rsin60°=r,
    内接正方形的边长是2rsin45°=r,
    正六边形的边长是r,
    因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为::1.
    故选:B.
    2.(2021秋•黔西南州期末)已知一个正多边形的每个外角的度数都是60°,则该多边形的对角线条数为(  )
    A.6 B.9 C.12 D.18
    【答案】B。
    【解答】解:∵正多边形的每个外角都等于60°,
    ∴360÷6=6,
    ∴这个正多边形是正6边形,
    ∴(条),
    ∴这个正多边形的对角线是9条.
    故选:B.
    3.(2021秋•黔东南州期末)半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于(  )
    A.4 B.5 C. D.6
    【答案】C。
    【解答】解:如图所示:
    设O是正六边形的中心,AB是正六边形的一边,OC是边心距,
    ∠AOB=60°,OA=OB=2cm,
    则△OAB是正三角形,
    ∴AB=OA=2cm,
    ∴OC=OA•sinA=2×=(cm),
    ∴S△OAB=AB•OC=×2×=(cm2),
    ∴正六边形的面积=6×=6(cm2).
    故选:C.

    4.(2021秋•顺平县期末)如图,有一个直径为4cm的圆形纸片,若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片,则这个正六边形纸片的边心距是(  )

    A.1 B. C.2 D.4
    【答案】B。
    【解答】解:如图所示,连接OB、OA,过点O作OH⊥AB于点H,
    ∵⊙O的直径为4cm,
    ∴OB=OA=2cm,
    ∵多边形ABCDEF是正六边形,
    ∴∠AOB=60°,
    ∴△AOB是等边三角形,
    ∴AB=OA=2cm,

    ∵六边形ABCDEF是正六边形
    ∴∠AOB=360°÷6=60°,
    ∵OB=OA,
    ∴△AOB是等边三角形,
    ∴AB=OA=2cm,
    ∵OH⊥AB,
    ∴BH=AB=×2=1(cm),
    ∴OH==(cm),
    ∴正六边形纸片的边心距是cm,
    故选:B.
    5.(2021秋•凤山县期末)如图,将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若AB=2,则点D的坐标是(  )

    A.(1,0) B.(2,0) C. D.(3,0)
    【答案】B。
    【解答】解:连接OB,如图所示:

    ∵正六边形是轴对称图形,中心与坐标原点重合,
    ∴△AOB是等边三角形,AO=BO=DO,
    ∵AB=2,
    ∴AO=AB=2,
    ∴DO=2,
    ∴点D的坐标为:(2,0),
    故选:B.
    6.(2021秋•大城县期末)如图,边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形,该菱形其中一个内角为60°,则=(  )

    A.3 B.4 C.2 D.1
    【答案】D。
    【解答】解:连接AC,

    ∵边长为a的菱形,∠ABC=∠ADC=60°,
    ∴△ABC和△ADC都是正三角形且全等,
    ∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍,
    ∴边长为a的正六边形的面积是边长是a的菱形的面积的3倍,
    ∴设S空白=x,则S阴影=3x﹣2x=x,
    ∴=1.
    故选:D.
    7.(2022秋•吴兴区期中)如图,已知正五边形ABCDE,AB=BC=CD=DE=AE,A、B、C、D、E均在⊙O上,连接AC,则∠ACD的度数是(  )

    A.72° B.70° C.60° D.45°
    【答案】A。
    【解答】解:∵正五边形ABCDE,AB=BC=CD=DE=AE,
    ∴∠BCD=∠B==108°,
    ∴∠BAC=∠BCA=×(180°﹣∠B)﹣×(180°﹣108°)=36°,
    ∴∠ACD=∠BCD﹣∠BCA=108°﹣36°=72°,
    故选:A.
    8.(2021秋•上虞区期末)如图,连结正五边形ABCDE的各条对角线,就得到一个五角星图案.若EH=4,则正五边形ABCDE的周长为(  )

    A. B. C. D.
    【答案】B。
    【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,
    ∴AE=DE=DC=BC,∠AED=∠EDC=∠DCB=180°﹣=108°,
    ∴∠EDA=∠EAD=∠DEC=∠DCE=∠CDB=∠CBD=36°,
    ∴∠HDL=36°,∠DHL=∠DEC+∠EDA=72°,∠DLH=∠DCE+∠CDB=72°,
    ∴∠DHL=∠DLH,∠EDL=∠ELD=72°,
    ∴DH=DL=EH=4,EL=ED,
    设EL=ED=x,则HL=x﹣4,
    ∵∠HDL=∠DEL,∠HLD=∠DLE,
    ∴△HDL∽△DEL,
    ∴=,
    ∴EL•HL=DL2,=42=16,
    ∴x(x﹣4)=16,
    解得x1=2+2,x2=2﹣2(不符合题意,舍去),
    5ED=5(2+2)=10(+1),
    ∴正五边形ABCDE的周长为10(+1),
    故选:B.
    9.(2022秋•仪征市期中)如图,点O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的中心,连接AD、CD'交于点P,则∠APD'=(  )

    A.72° B.81° C.76° D.80°
    【答案】B。
    【解答】解:如图,连接AC、OA、OC、OD、OD′,⊙O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的外接圆,
    ∵正方形AB'C'D'内接于⊙O,
    ∴∠ACD′=∠AOD′=×=45°,
    又∵正五边形ABCDE内接于⊙O,
    ∴∠CAD=∠COD=×=36°,
    ∴∠APD′=∠CAD+∠ACD′
    =36°+45°
    =81°,
    故选:B.

    10.(2022秋•鹿城区校级期中)由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形(如图3),则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为(  )

    A. B. C. D.
    【答案】B。
    【解答】解:过图2中菱形的顶点B作BE⊥AD于E,设图3中正八边形的中心点为点O,一边为MN,连接OM、ON,过M点作MP⊥ON于P,

    设正八边形的边长为a,则AB=AD=MN=a,
    由正八边形的性质可得,∠ABC==135°,∠MON==45°,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠BAE=45°,
    ∴BE=AB=a,
    ∴S菱形ABCD=AD•BE=a2,
    ∴空白部分面积的面积为4×a2=2a2,
    ∵∠MON=45°,
    ∴OP=PM,
    设OP=PM=x,则OM=ON=x,
    ∴PN=(﹣1)x,
    ∵PM2+PN2=MN2,
    ∴x2+(﹣1)2x2=a2,
    ∴x2=a2,
    ∴S△OMN=ON•PM=x2=a2,
    ∴正八边形的面积为:8×a2=2(+1)a2,
    ∴阴影部分的面积为:2(+1)a2﹣2a2=2a2,
    ∴阴影部分面积与空白部分面积之比为=.
    故选:B.
    二、填空题。
    11.(2021秋•双滦区期末)正n边形的中心角为72°,则n= 5 .
    【答案】5。
    【解答】解:n==5,
    故答案为:5.
    12.(2022秋•朝阳区校级期中)如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,边心距OH=3,则AB的长为  2 .

    【答案】2。
    【解答】解:如图,连接OB、OA.
    ∵六边形ABCDEF是正六边形,
    ∴∠BOA=60°,OB=OA,
    ∵OH⊥AB,
    ∴AH=BH,∠AOH=AOB=30°,
    ∵OH=3,
    ∴AH=OH=,
    ∴AB=2,
    故答案为:2.

    13.(2022秋•宿豫区校级月考)如图,等边△ABC内接于⊙O,BD为⊙O内接正十二边形的一边,CD=10,则图中阴影部分的面积等于  25π﹣50 .

    【答案】25π﹣50。
    【解答】解:连接OB,OC,OD,

    ∵等边△ABC内接于⊙O,BD为内接正十二边形的一边,
    ∴∠BOC=×360°=120°,∠BOD=×360°=30°,
    ∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°,
    ∵OC=OD,
    ∴∠OCD=45°,
    ∴OC=CD•cos45°=10=10(cm).
    ∴阴影部分的面积=﹣×10×10=25π﹣50.
    故答案为:25π﹣50.
    14.(2021秋•北辰区期末)如图,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=40mm,则边长a为   mm.

    【答案】。
    【解答】解:如图,连接OC、OD,过O作OH⊥CD于H.

    ∵∠COD==60°,OC=OD,
    ∴△COD是等边三角形,
    ∴∠COH=90°﹣60°=30°,
    ∵OH⊥CD,
    ∴CH=DH=CD,OH=b=20(mm),
    ∴CH=20×tan30°=(mm),
    ∴a=2CH=(mm),
    故答案为:.
    15.(2022•雨花台区校级模拟)如图,A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点,AE与CF交于点G,若∠EGF=30°,则n= 18 .

    【答案】18。
    【解答】解:连接CE,
    正n边形的中心角的度数为:,
    则∠ECF=×,∠AEC=,
    ∵∠EGF=30°,
    ∴∠ECF+∠AEC=30°,
    ∴×+=30°,
    解得:n=18,
    故答案为:18.

    16.(2022秋•龙湾区期中)如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,E是的中点,AE交BC于点F,则∠1= 67.5 度.

    【答案】67.5。
    【解答】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形,
    ∴∠BAC=45°,∠B=90°,
    ∵E是的中点,
    ∴=,
    ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=22.5°,
    ∴∠1=90°﹣22.5°=67.5°.
    故答案为:67.5.
    17.(2022秋•玄武区期中)如图,正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O,则的度数为  24 °.

    【答案】24。
    【解答】解:如图,连接OA,OB,OC.

    ∵正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O,
    ∴∠AOP==120°,∠AOB=∠BOC==72°,
    ∴∠POC=72°﹣(120°﹣72°)=24°,
    ∴的度数为24°.
    故答案为:24.
    18.(2022秋•下城区校级期中)如图,边长为6的正方形ABCD内接于⊙O,点E是上的一动点(不与A,B重合,点F是上的一点,连接OE,OF,分别与AB,BC交于点G,H,且∠EOF=90°,有以下终论:
    ①OG=OH;
    ②△GBH周长的最小值为;
    ③随着点E位置的变化,四边形OGBH的面积始终为9.
    其中正确的是  ①③ .(填序号)

    【答案】①③。
    【解答】解:①如图所示,连接OC,OB,
    ∵∠BOG+∠BOH=90°,∠COF+∠BOF=90°,
    ∴∠BOE=∠COF,
    ∵四边形ABCD是正方形,点O是它的中心,
    ∴∠OBG=∠OCH=45°,
    在△BOG与△COH中,

    ∴△OBG≌△OCH(ASA),
    ∴OG=OH,
    因此①正确;
    ②由①中△BOG≌△COH,可得BG=CH,
    ∴BH+BG=BH+CH=BC=6,
    △GBH周长为BH+BG+HG,而BH+BG=6,
    当HG最小时,OH、OG最小,
    所以当OH⊥BC,OG⊥AB时,△GBH周长的最小,
    如图,过点O作OM⊥BC于M,ON⊥AB于N,
    则OM=ON=3=BM=BN,
    ∴HG==3,
    ∴△GBH周长的最小值为6+3,
    故②不正确;
    ③∵OG=OH,OM=OM,
    ∴△HOM≌△GON(HL),
    ∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积,
    而正方形ONBM的面积,总等于正方形ABCD面积的四分之一,
    因此③正确;
    综上所述,正确的结论有:①③,
    故答案为:①③.

    三、解答题。
    19.(2022•安徽二模)如图,正方形ABCD内接于⊙O,E是的中点,连接AE,DE,CE.
    (1)求证:AE=DE;
    (2)若CE=1,求四边形AECD的面积.

    【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AB=CD,
    ∴=,
    ∵E是的中点,
    ∴=,
    ∴+=+,即=,
    ∴AE=DE.

    (2)解:连接BD,AO,过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠DBC=∠DEC=45°,DA=DC,
    ∵∠EDF=90°,
    ∴∠F=∠EDF﹣∠DEF=90°﹣45°=45°,
    ∴DE=DF,
    ∵∠AED=∠AOD=45°,
    ∴∠AED=∠F=45°,
    ∵∠ADC=∠EDF=90°,
    ∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°,
    ∴∠ADE=∠CDF
    在△ADE和△CDF中,

    ∴△ADE≌△CDF(AAS),
    ∴AE=CF,
    ∴S△ADE=S△CDF,
    ∴S四边形AECD=S△DEF,
    ∵EF=DE=EC+DE,EC=1,
    ∴1+DE=DE,
    ∴DE=+1,
    ∴S四边形AECD=S△DEF=DE2=+.

    20.(2022春•思明区校级期中)如图,等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O,点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动,点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动,当点P,O,Q三点处于同一条直线时,停止运动.
    (1)求点Q的运动总长度;
    (2)若M为弦PB的中点,求运动过程中CM的最大值.

    【解答】解:(1)∵点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动,点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动,
    ∴可以假设∠COQ=n,∠BOP=2n,
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠A=60°,
    ∴∠BCO=2∠A=120°,
    ∵P,O,Q共线,
    ∴120°﹣n+2n=180°,
    ∴n=60°,
    ∴点Q的运动总长度==;

    (2)如图,取OB的中点J,连接JM,JC,过点J作JH⊥BC于点H.

    ∵OB=OC=2,∠BOC=120°,
    ∴BC=OB=2,∠OBC=∠OCB=30°,
    ∵BJ=OJ=1,
    ∴JH=BJ=,BH=,
    ∴CH=,
    ∴CJ===,
    ∵BM=MP.BJ=OJ,
    ∴JM=OP=1,
    ∴CM≤JM+CJ=1+,
    ∴CM的最大值为1+.
    21.(2022•金华)如图1,正五边形ABCDE内接于⊙O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:
    作法 如图2.
    1.作直径AF.
    2.以F为圆心,FO为半径作圆弧,与⊙O交于点M,N.
    3.连结AM,MN,NA.
    (1)求∠ABC的度数.
    (2)△AMN是正三角形吗?请说明理由.
    (3)从点A开始,以DN长为半径,在⊙O上依次截取点,再依次连结这些分点,得到正n边形,求n的值.

    【解答】解:(1)∵五边形ABCDE是正五边形,
    ∴∠ABC==108°,
    即∠ABC=108°;
    (2)△AMN是正三角形,
    理由:连接ON,NF,如图,
    由题意可得:FN=ON=OF,
    ∴△FON是等边三角形,
    ∴∠NFA=60°,
    ∴∠NMA=60°,
    同理可得:∠ANM=60°,
    ∴∠MAN=60°,
    ∴△MAN是正三角形;
    (3)连接OD,如图,
    ∵∠AMN=60°,
    ∴∠AON=120°,
    ∵∠AOD==144°,
    ∴∠NOD=∠AOD﹣∠AON=144°﹣120°=24°,
    ∵360°÷24°=15,
    ∴n的值是15.

    22.(2021秋•信都区期末)已知正六边形ABCDEF的中心为O,半径OA=6.
    (1)求正六边形的边长;
    (2)以A为圆心,AF为半径画弧BF,求.

    【解答】解:(1)∵六边形ABCDEF是正六边形,
    ∴正六边形的边长=半径OA=6;
    (2)∵六边形ABCDEF是正六边形,
    ∴∠BCF=120°,
    ∴弧BF的长为==4π.
    23.(2021秋•大洼区期末)如图,⊙O的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型,其中整钟点为An(n为1~12的整数),过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P.
    (1)相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于  30 度;
    (2)通过计算比较直径和劣弧A7A11长度哪个更长;
    (3)连接A7A11,则A7A11和PA1有什么特殊位关系?请说明理由.
    (4)求切线长PA7的值.

    【解答】解:(1)=30°,
    故答案为:30;

    (2)如图,连接,OA7,OA11由(1)得:劣弧A7A11所对应的圆心角∠A7OA11=30°×4=120°,
    ∴劣弧A7A11的长l==4π,
    ∵4π>12,
    ∴劣弧A7A11的长度更长.

    (3)垂直.理由如下:
    连接,A1A7,A7A11,
    ∵∠A1OA7=30°×6=180°,
    ∴A1A7是⊙O的直径,
    ∴∠A1A11A7=90°,即A1A11⊥A11A7,
    ∴A7A11和PA1相互垂直.

    (4)如图,∵PA7是⊙O的切线,
    ∴∠PA7O=90°,
    由(1)知,∠A7OA11=120°,
    ∴∠A11A7O=∠A7A11O=30°,
    ∴∠PA7A1=60°(或∠A11OA1=∠A11A1A7=60°),
    ∴∠P=30°,
    在Rt△PA7A11中,PA1=2A1A7=24.
    PA7===12.

    24.(2022秋•郧阳区期中)如图,在正五边形ABCDE中,DF⊥AB.
    (1)求∠CDF的度数;
    (2)求证:AF=BF.

    【解答】(1)解:在正五边形中,∠ABC=∠C=540°÷5=108°,
    ∵DF⊥AB,
    ∴∠DFB=90°,
    在四边形BCDF中,
    ∵∠ABC+∠C+∠DFB+∠CDF=360°,
    ∴∠CDF=360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠DFB=360°﹣108°﹣108°﹣90°=54°;
    (2)证明:如图,连接DB、AD,


    ∵五边形ABCDE是正五边形,
    ∴∠E=∠C,DE=AE=DC=BC,
    在△AED和△BCD中,

    ∴△AED≌△BCD(SAS),
    ∴AD=BD,
    ∵DF⊥AB,
    ∴∠DFA=∠DFB=90°,
    Rt△DAF和Rt△DFB,

    ∴Rt△DAF≌Rt△DFB(HL),
    ∴AF=BF.
    25.(2022秋•长沙期中)明达中学在校园里建了一个读书亭.它的地基是半径为4米的正六边形.
    (1)求地基的周长是多少?
    (2)求地基的面积是多少?


    【解答】解:(1)连接OB、OC;
    ∵六边形ABCDEF是正六边形,
    ∴∠BOC==60°,
    ∴△OBC是等边三角形,
    ∴BC=OB=4m,
    ∴正六边形ABCDEF的周长=6×4=24(m).
    (2)过O作OG⊥BC于G,
    ∵△OBC是等边三角形,OB=4m,
    ∴∠OBC=60°,
    ∴OG=OB•sin∠OBC=4×=2(m),
    ∴S△OBC=BC•OG=×4×2=4(m2),
    ∴S六边形ABCDEF=6S△OBC=6×4=24(m2).

    26.(2022秋•建湖县校级月考)(回味03第22题)在正五边形ABCD中,∠EAB=∠B=108°,EA=AB=BC,M、N分别是AB和BC的中点,连接AN、EM,相交于点O.
    (1)求证:AN=EM;
    (2)求∠EON.

    【解答】(1)证明:∵M、N分别是AB和BC的中点,
    ∴AM=AB,BN=BC,
    ∵AB=BC,
    ∴AM=BN,
    在△AEM与△BAN中,

    ∴△AEM≌△BAN(SAS),
    ∴AN=EM;
    (2)解:∵△AEM≌△BAN,
    ∴∠AEM=∠BAN,
    ∵∠EON=∠OAE+∠AEO=∠BAN+∠EAO=∠BAE=108°.


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