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九年级下册8 圆内接正多边形精品同步练习题
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这是一份九年级下册8 圆内接正多边形精品同步练习题，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.8 圆内接正多边形（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•工业园区校级期中）半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比（ ）
A．1：： B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3
2．（2021秋•黔西南州期末）已知一个正多边形的每个外角的度数都是60°，则该多边形的对角线条数为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
3．（2021秋•黔东南州期末）半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于（ ）
A．4 B．5 C． D．6
4．（2021秋•顺平县期末）如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．（2021秋•凤山县期末）如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若AB＝2，则点D的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C． D．（3，0）
6．（2021秋•大城县期末）如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为60°，则＝（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
7．（2022秋•吴兴区期中）如图，已知正五边形ABCDE，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
8．（2021秋•上虞区期末）如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线，就得到一个五角星图案．若EH＝4，则正五边形ABCDE的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋•仪征市期中）如图，点O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的中心，连接AD、CD'交于点P，则∠APD'＝（ ）
A．72° B．81° C．76° D．80°
10．（2022秋•鹿城区校级期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题。
11．（2021秋•双滦区期末）正n边形的中心角为72°，则n＝ ．
12．（2022秋•朝阳区校级期中）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝3，则AB的长为 ．
13．（2022秋•宿豫区校级月考）如图，等边△ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD＝10，则图中阴影部分的面积等于 ．
14．（2021秋•北辰区期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝40mm，则边长a为 mm．
15．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝ ．
16．（2022秋•龙湾区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，E是的中点，AE交BC于点F，则∠1＝ 度．
17．（2022秋•玄武区期中）如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，则的度数为 °．
18．（2022秋•下城区校级期中）如图，边长为6的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下终论：
①OG＝OH；
②△GBH周长的最小值为；
③随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积始终为9．
其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题。
19．（2022•安徽二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
20．（2022春•思明区校级期中）如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
（1）求点Q的运动总长度；
（2）若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
21．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连结AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．
22．（2021秋•信都区期末）已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6．
（1）求正六边形的边长；
（2）以A为圆心，AF为半径画弧BF，求．
23．（2021秋•大洼区期末）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 度；
（2）通过计算比较直径和劣弧A7A11长度哪个更长；
（3）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位关系？请说明理由．
（4）求切线长PA7的值．
24．（2022秋•郧阳区期中）如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．
（1）求∠CDF的度数；
（2）求证：AF＝BF．
25．（2022秋•长沙期中）明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边形．
（1）求地基的周长是多少？
（2）求地基的面积是多少？
26．（2022秋•建湖县校级月考）（回味03第22题）在正五边形ABCD中，∠EAB＝∠B＝108°，EA＝AB＝BC，M、N分别是AB和BC的中点，连接AN、EM，相交于点O．
（1）求证：AN＝EM；
（2）求∠EON．
专题3.8 圆内接正多边形（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•工业园区校级期中）半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比（ ）
A．1：： B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3
【答案】B。
【解答】解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
则内接正三角形的边长是2rsin60°＝r，
内接正方形的边长是2rsin45°＝r，
正六边形的边长是r，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为：：1．
故选：B．
2．（2021秋•黔西南州期末）已知一个正多边形的每个外角的度数都是60°，则该多边形的对角线条数为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B。
【解答】解：∵正多边形的每个外角都等于60°，
∴360÷6＝6，
∴这个正多边形是正6边形，
∴（条），
∴这个正多边形的对角线是9条．
故选：B．
3．（2021秋•黔东南州期末）半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于（ ）
A．4 B．5 C． D．6
【答案】C。
【解答】解：如图所示：
设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
∠AOB＝60°，OA＝OB＝2cm，
则△OAB是正三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∴OC＝OA•sinA＝2×＝（cm），
∴S△OAB＝AB•OC＝×2×＝（cm2），
∴正六边形的面积＝6×＝6（cm2）．
故选：C．
4．（2021秋•顺平县期末）如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B。
【解答】解：如图所示，连接OB、OA，过点O作OH⊥AB于点H，
∵⊙O的直径为4cm，
∴OB＝OA＝2cm，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∵OH⊥AB，
∴BH＝AB＝×2＝1（cm），
∴OH＝＝（cm），
∴正六边形纸片的边心距是cm，
故选：B．
5．（2021秋•凤山县期末）如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若AB＝2，则点D的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C． D．（3，0）
【答案】B。
【解答】解：连接OB，如图所示：
∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，
∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝DO，
∵AB＝2，
∴AO＝AB＝2，
∴DO＝2，
∴点D的坐标为：（2，0），
故选：B．
6．（2021秋•大城县期末）如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为60°，则＝（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】D。
【解答】解：连接AC，
∵边长为a的菱形，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC和△ADC都是正三角形且全等，
∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，
∴边长为a的正六边形的面积是边长是a的菱形的面积的3倍，
∴设S空白＝x，则S阴影＝3x﹣2x＝x，
∴＝1．
故选：D．
7．（2022秋•吴兴区期中）如图，已知正五边形ABCDE，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
【答案】A。
【解答】解：∵正五边形ABCDE，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠BCD＝∠B＝＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣∠B）﹣×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°，
故选：A．
8．（2021秋•上虞区期末）如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线，就得到一个五角星图案．若EH＝4，则正五边形ABCDE的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B。
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AE＝DE＝DC＝BC，∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝180°﹣＝108°，
∴∠EDA＝∠EAD＝∠DEC＝∠DCE＝∠CDB＝∠CBD＝36°，
∴∠HDL＝36°，∠DHL＝∠DEC+∠EDA＝72°，∠DLH＝∠DCE+∠CDB＝72°，
∴∠DHL＝∠DLH，∠EDL＝∠ELD＝72°，
∴DH＝DL＝EH＝4，EL＝ED，
设EL＝ED＝x，则HL＝x﹣4，
∵∠HDL＝∠DEL，∠HLD＝∠DLE，
∴△HDL∽△DEL，
∴＝，
∴EL•HL＝DL2，＝42＝16，
∴x（x﹣4）＝16，
解得x1＝2+2，x2＝2﹣2（不符合题意，舍去），
5ED＝5（2+2）＝10（+1），
∴正五边形ABCDE的周长为10（+1），
故选：B．
9．（2022秋•仪征市期中）如图，点O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的中心，连接AD、CD'交于点P，则∠APD'＝（ ）
A．72° B．81° C．76° D．80°
【答案】B。
【解答】解：如图，连接AC、OA、OC、OD、OD′，⊙O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的外接圆，
∵正方形AB'C'D'内接于⊙O，
∴∠ACD′＝∠AOD′＝×＝45°，
又∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠CAD＝∠COD＝×＝36°，
∴∠APD′＝∠CAD+∠ACD′
＝36°+45°
＝81°，
故选：B．
10．（2022秋•鹿城区校级期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B。
【解答】解：过图2中菱形的顶点B作BE⊥AD于E，设图3中正八边形的中心点为点O，一边为MN，连接OM、ON，过M点作MP⊥ON于P，
设正八边形的边长为a，则AB＝AD＝MN＝a，
由正八边形的性质可得，∠ABC＝＝135°，∠MON＝＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝a，
∴S菱形ABCD＝AD•BE＝a2，
∴空白部分面积的面积为4×a2＝2a2，
∵∠MON＝45°，
∴OP＝PM，
设OP＝PM＝x，则OM＝ON＝x，
∴PN＝（﹣1）x，
∵PM2+PN2＝MN2，
∴x2+（﹣1）2x2＝a2，
∴x2＝a2，
∴S△OMN＝ON•PM＝x2＝a2，
∴正八边形的面积为：8×a2＝2（+1）a2，
∴阴影部分的面积为：2（+1）a2﹣2a2＝2a2，
∴阴影部分面积与空白部分面积之比为＝．
故选：B．
二、填空题。
11．（2021秋•双滦区期末）正n边形的中心角为72°，则n＝ 5 ．
【答案】5。
【解答】解：n＝＝5，
故答案为：5．
12．（2022秋•朝阳区校级期中）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝3，则AB的长为 2 ．
【答案】2。
【解答】解：如图，连接OB、OA．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOA＝60°，OB＝OA，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，∠AOH＝AOB＝30°，
∵OH＝3，
∴AH＝OH＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
13．（2022秋•宿豫区校级月考）如图，等边△ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD＝10，则图中阴影部分的面积等于 25π﹣50 ．
【答案】25π﹣50。
【解答】解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴OC＝CD•cos45°＝10＝10（cm）．
∴阴影部分的面积＝﹣×10×10＝25π﹣50．
故答案为：25π﹣50．
14．（2021秋•北辰区期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝40mm，则边长a为 mm．
【答案】。
【解答】解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．
∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝20（mm），
∴CH＝20×tan30°＝（mm），
∴a＝2CH＝（mm），
故答案为：．
15．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝ 18 ．
【答案】18。
【解答】解：连接CE，
正n边形的中心角的度数为：，
则∠ECF＝×，∠AEC＝，
∵∠EGF＝30°，
∴∠ECF+∠AEC＝30°，
∴×+＝30°，
解得：n＝18，
故答案为：18．
16．（2022秋•龙湾区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，E是的中点，AE交BC于点F，则∠1＝ 67.5 度．
【答案】67.5。
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠BAC＝45°，∠B＝90°，
∵E是的中点，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝22.5°，
∴∠1＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故答案为：67.5．
17．（2022秋•玄武区期中）如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，则的度数为 24 °．
【答案】24。
【解答】解：如图，连接OA，OB，OC．
∵正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，
∴∠AOP＝＝120°，∠AOB＝∠BOC＝＝72°，
∴∠POC＝72°﹣（120°﹣72°）＝24°，
∴的度数为24°．
故答案为：24．
18．（2022秋•下城区校级期中）如图，边长为6的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下终论：
①OG＝OH；
②△GBH周长的最小值为；
③随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积始终为9．
其中正确的是 ①③ ．（填序号）
【答案】①③。
【解答】解：①如图所示，连接OC，OB，
∵∠BOG+∠BOH＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∵四边形ABCD是正方形，点O是它的中心，
∴∠OBG＝∠OCH＝45°，
在△BOG与△COH中，
，
∴△OBG≌△OCH（ASA），
∴OG＝OH，
因此①正确；
②由①中△BOG≌△COH，可得BG＝CH，
∴BH+BG＝BH+CH＝BC＝6，
△GBH周长为BH+BG+HG，而BH+BG＝6，
当HG最小时，OH、OG最小，
所以当OH⊥BC，OG⊥AB时，△GBH周长的最小，
如图，过点O作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N，
则OM＝ON＝3＝BM＝BN，
∴HG＝＝3，
∴△GBH周长的最小值为6+3，
故②不正确；
③∵OG＝OH，OM＝OM，
∴△HOM≌△GON（HL），
∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，
而正方形ONBM的面积，总等于正方形ABCD面积的四分之一，
因此③正确；
综上所述，正确的结论有：①③，
故答案为：①③．
三、解答题。
19．（2022•安徽二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵E是的中点，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AE＝DE．
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝DE，
∴DE＝+1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝DE2＝+．
20．（2022春•思明区校级期中）如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
（1）求点Q的运动总长度；
（2）若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
【解答】解：（1）∵点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，
∴可以假设∠COQ＝n，∠BOP＝2n，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BCO＝2∠A＝120°，
∵P，O，Q共线，
∴120°﹣n+2n＝180°，
∴n＝60°，
∴点Q的运动总长度＝＝；
（2）如图，取OB的中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H．
∵OB＝OC＝2，∠BOC＝120°，
∴BC＝OB＝2，∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵BJ＝OJ＝1，
∴JH＝BJ＝，BH＝，
∴CH＝，
∴CJ＝＝＝，
∵BM＝MP．BJ＝OJ，
∴JM＝OP＝1，
∴CM≤JM+CJ＝1+，
∴CM的最大值为1+．
21．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连结AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．
【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝＝108°，
即∠ABC＝108°；
（2）△AMN是正三角形，
理由：连接ON，NF，如图，
由题意可得：FN＝ON＝OF，
∴△FON是等边三角形，
∴∠NFA＝60°，
∴∠NMA＝60°，
同理可得：∠ANM＝60°，
∴∠MAN＝60°，
∴△MAN是正三角形；
（3）连接OD，如图，
∵∠AMN＝60°，
∴∠AON＝120°，
∵∠AOD＝＝144°，
∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，
∵360°÷24°＝15，
∴n的值是15．
22．（2021秋•信都区期末）已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6．
（1）求正六边形的边长；
（2）以A为圆心，AF为半径画弧BF，求．
【解答】解：（1）∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形的边长＝半径OA＝6；
（2）∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCF＝120°，
∴弧BF的长为＝＝4π．
23．（2021秋•大洼区期末）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 30 度；
（2）通过计算比较直径和劣弧A7A11长度哪个更长；
（3）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位关系？请说明理由．
（4）求切线长PA7的值．
【解答】解：（1）＝30°，
故答案为：30；
（2）如图，连接，OA7，OA11由（1）得：劣弧A7A11所对应的圆心角∠A7OA11＝30°×4＝120°，
∴劣弧A7A11的长l＝＝4π，
∵4π＞12，
∴劣弧A7A11的长度更长．
（3）垂直．理由如下：
连接，A1A7，A7A11，
∵∠A1OA7＝30°×6＝180°，
∴A1A7是⊙O的直径，
∴∠A1A11A7＝90°，即A1A11⊥A11A7，
∴A7A11和PA1相互垂直．
（4）如图，∵PA7是⊙O的切线，
∴∠PA7O＝90°，
由（1）知，∠A7OA11＝120°，
∴∠A11A7O＝∠A7A11O＝30°，
∴∠PA7A1＝60°（或∠A11OA1＝∠A11A1A7＝60°），
∴∠P＝30°，
在Rt△PA7A11中，PA1＝2A1A7＝24．
PA7＝＝＝12．
24．（2022秋•郧阳区期中）如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．
（1）求∠CDF的度数；
（2）求证：AF＝BF．
【解答】（1）解：在正五边形中，∠ABC＝∠C＝540°÷5＝108°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
在四边形BCDF中，
∵∠ABC+∠C+∠DFB+∠CDF＝360°，
∴∠CDF＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠DFB＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°；
（2）证明：如图，连接DB、AD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠C，DE＝AE＝DC＝BC，
在△AED和△BCD中，
，
∴△AED≌△BCD（SAS），
∴AD＝BD，
∵DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠DFB＝90°，
Rt△DAF和Rt△DFB，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DFB（HL），
∴AF＝BF．
25．（2022秋•长沙期中）明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边形．
（1）求地基的周长是多少？
（2）求地基的面积是多少？
【解答】解：（1）连接OB、OC；
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝4m，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6×4＝24（m）．
（2）过O作OG⊥BC于G，
∵△OBC是等边三角形，OB＝4m，
∴∠OBC＝60°，
∴OG＝OB•sin∠OBC＝4×＝2（m），
∴S△OBC＝BC•OG＝×4×2＝4（m2），
∴S六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×4＝24（m2）．
26．（2022秋•建湖县校级月考）（回味03第22题）在正五边形ABCD中，∠EAB＝∠B＝108°，EA＝AB＝BC，M、N分别是AB和BC的中点，连接AN、EM，相交于点O．
（1）求证：AN＝EM；
（2）求∠EON．
【解答】（1）证明：∵M、N分别是AB和BC的中点，
∴AM＝AB，BN＝BC，
∵AB＝BC，
∴AM＝BN，
在△AEM与△BAN中，
，
∴△AEM≌△BAN（SAS），
∴AN＝EM；
（2）解：∵△AEM≌△BAN，
∴∠AEM＝∠BAN，
∵∠EON＝∠OAE+∠AEO＝∠BAN+∠EAO＝∠BAE＝108°．
专题3.8 圆内接正多边形（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•工业园区校级期中）半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比（ ）
A．1：： B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3
2．（2021秋•黔西南州期末）已知一个正多边形的每个外角的度数都是60°，则该多边形的对角线条数为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
3．（2021秋•黔东南州期末）半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于（ ）
A．4 B．5 C． D．6
4．（2021秋•顺平县期末）如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．（2021秋•凤山县期末）如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若AB＝2，则点D的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C． D．（3，0）
6．（2021秋•大城县期末）如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为60°，则＝（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
7．（2022秋•吴兴区期中）如图，已知正五边形ABCDE，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
8．（2021秋•上虞区期末）如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线，就得到一个五角星图案．若EH＝4，则正五边形ABCDE的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋•仪征市期中）如图，点O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的中心，连接AD、CD'交于点P，则∠APD'＝（ ）
A．72° B．81° C．76° D．80°
10．（2022秋•鹿城区校级期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题。
11．（2021秋•双滦区期末）正n边形的中心角为72°，则n＝ ．
12．（2022秋•朝阳区校级期中）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝3，则AB的长为 ．
13．（2022秋•宿豫区校级月考）如图，等边△ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD＝10，则图中阴影部分的面积等于 ．
14．（2021秋•北辰区期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝40mm，则边长a为 mm．
15．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝ ．
16．（2022秋•龙湾区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，E是的中点，AE交BC于点F，则∠1＝ 度．
17．（2022秋•玄武区期中）如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，则的度数为 °．
18．（2022秋•下城区校级期中）如图，边长为6的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下终论：
①OG＝OH；
②△GBH周长的最小值为；
③随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积始终为9．
其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题。
19．（2022•安徽二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
20．（2022春•思明区校级期中）如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
（1）求点Q的运动总长度；
（2）若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
21．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连结AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．
22．（2021秋•信都区期末）已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6．
（1）求正六边形的边长；
（2）以A为圆心，AF为半径画弧BF，求．
23．（2021秋•大洼区期末）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 度；
（2）通过计算比较直径和劣弧A7A11长度哪个更长；
（3）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位关系？请说明理由．
（4）求切线长PA7的值．
24．（2022秋•郧阳区期中）如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．
（1）求∠CDF的度数；
（2）求证：AF＝BF．
25．（2022秋•长沙期中）明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边形．
（1）求地基的周长是多少？
（2）求地基的面积是多少？
26．（2022秋•建湖县校级月考）（回味03第22题）在正五边形ABCD中，∠EAB＝∠B＝108°，EA＝AB＝BC，M、N分别是AB和BC的中点，连接AN、EM，相交于点O．
（1）求证：AN＝EM；
（2）求∠EON．
专题3.8 圆内接正多边形（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•工业园区校级期中）半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比（ ）
A．1：： B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3
【答案】B。
【解答】解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
则内接正三角形的边长是2rsin60°＝r，
内接正方形的边长是2rsin45°＝r，
正六边形的边长是r，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为：：1．
故选：B．
2．（2021秋•黔西南州期末）已知一个正多边形的每个外角的度数都是60°，则该多边形的对角线条数为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B。
【解答】解：∵正多边形的每个外角都等于60°，
∴360÷6＝6，
∴这个正多边形是正6边形，
∴（条），
∴这个正多边形的对角线是9条．
故选：B．
3．（2021秋•黔东南州期末）半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于（ ）
A．4 B．5 C． D．6
【答案】C。
【解答】解：如图所示：
设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
∠AOB＝60°，OA＝OB＝2cm，
则△OAB是正三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∴OC＝OA•sinA＝2×＝（cm），
∴S△OAB＝AB•OC＝×2×＝（cm2），
∴正六边形的面积＝6×＝6（cm2）．
故选：C．
4．（2021秋•顺平县期末）如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B。
【解答】解：如图所示，连接OB、OA，过点O作OH⊥AB于点H，
∵⊙O的直径为4cm，
∴OB＝OA＝2cm，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∵OH⊥AB，
∴BH＝AB＝×2＝1（cm），
∴OH＝＝（cm），
∴正六边形纸片的边心距是cm，
故选：B．
5．（2021秋•凤山县期末）如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若AB＝2，则点D的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C． D．（3，0）
【答案】B。
【解答】解：连接OB，如图所示：
∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，
∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝DO，
∵AB＝2，
∴AO＝AB＝2，
∴DO＝2，
∴点D的坐标为：（2，0），
故选：B．
6．（2021秋•大城县期末）如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为60°，则＝（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】D。
【解答】解：连接AC，
∵边长为a的菱形，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC和△ADC都是正三角形且全等，
∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，
∴边长为a的正六边形的面积是边长是a的菱形的面积的3倍，
∴设S空白＝x，则S阴影＝3x﹣2x＝x，
∴＝1．
故选：D．
7．（2022秋•吴兴区期中）如图，已知正五边形ABCDE，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
【答案】A。
【解答】解：∵正五边形ABCDE，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠BCD＝∠B＝＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣∠B）﹣×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°，
故选：A．
8．（2021秋•上虞区期末）如图，连结正五边形ABCDE的各条对角线，就得到一个五角星图案．若EH＝4，则正五边形ABCDE的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B。
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AE＝DE＝DC＝BC，∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝180°﹣＝108°，
∴∠EDA＝∠EAD＝∠DEC＝∠DCE＝∠CDB＝∠CBD＝36°，
∴∠HDL＝36°，∠DHL＝∠DEC+∠EDA＝72°，∠DLH＝∠DCE+∠CDB＝72°，
∴∠DHL＝∠DLH，∠EDL＝∠ELD＝72°，
∴DH＝DL＝EH＝4，EL＝ED，
设EL＝ED＝x，则HL＝x﹣4，
∵∠HDL＝∠DEL，∠HLD＝∠DLE，
∴△HDL∽△DEL，
∴＝，
∴EL•HL＝DL2，＝42＝16，
∴x（x﹣4）＝16，
解得x1＝2+2，x2＝2﹣2（不符合题意，舍去），
5ED＝5（2+2）＝10（+1），
∴正五边形ABCDE的周长为10（+1），
故选：B．
9．（2022秋•仪征市期中）如图，点O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的中心，连接AD、CD'交于点P，则∠APD'＝（ ）
A．72° B．81° C．76° D．80°
【答案】B。
【解答】解：如图，连接AC、OA、OC、OD、OD′，⊙O是正方形AB'C'D'和正五边形ABCDE的外接圆，
∵正方形AB'C'D'内接于⊙O，
∴∠ACD′＝∠AOD′＝×＝45°，
又∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠CAD＝∠COD＝×＝36°，
∴∠APD′＝∠CAD+∠ACD′
＝36°+45°
＝81°，
故选：B．
10．（2022秋•鹿城区校级期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B。
【解答】解：过图2中菱形的顶点B作BE⊥AD于E，设图3中正八边形的中心点为点O，一边为MN，连接OM、ON，过M点作MP⊥ON于P，
设正八边形的边长为a，则AB＝AD＝MN＝a，
由正八边形的性质可得，∠ABC＝＝135°，∠MON＝＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝a，
∴S菱形ABCD＝AD•BE＝a2，
∴空白部分面积的面积为4×a2＝2a2，
∵∠MON＝45°，
∴OP＝PM，
设OP＝PM＝x，则OM＝ON＝x，
∴PN＝（﹣1）x，
∵PM2+PN2＝MN2，
∴x2+（﹣1）2x2＝a2，
∴x2＝a2，
∴S△OMN＝ON•PM＝x2＝a2，
∴正八边形的面积为：8×a2＝2（+1）a2，
∴阴影部分的面积为：2（+1）a2﹣2a2＝2a2，
∴阴影部分面积与空白部分面积之比为＝．
故选：B．
二、填空题。
11．（2021秋•双滦区期末）正n边形的中心角为72°，则n＝ 5 ．
【答案】5。
【解答】解：n＝＝5，
故答案为：5．
12．（2022秋•朝阳区校级期中）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝3，则AB的长为 2 ．
【答案】2。
【解答】解：如图，连接OB、OA．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOA＝60°，OB＝OA，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，∠AOH＝AOB＝30°，
∵OH＝3，
∴AH＝OH＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
13．（2022秋•宿豫区校级月考）如图，等边△ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD＝10，则图中阴影部分的面积等于 25π﹣50 ．
【答案】25π﹣50。
【解答】解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴OC＝CD•cos45°＝10＝10（cm）．
∴阴影部分的面积＝﹣×10×10＝25π﹣50．
故答案为：25π﹣50．
14．（2021秋•北辰区期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝40mm，则边长a为 mm．
【答案】。
【解答】解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．
∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝20（mm），
∴CH＝20×tan30°＝（mm），
∴a＝2CH＝（mm），
故答案为：．
15．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝ 18 ．
【答案】18。
【解答】解：连接CE，
正n边形的中心角的度数为：，
则∠ECF＝×，∠AEC＝，
∵∠EGF＝30°，
∴∠ECF+∠AEC＝30°，
∴×+＝30°，
解得：n＝18，
故答案为：18．
16．（2022秋•龙湾区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，E是的中点，AE交BC于点F，则∠1＝ 67.5 度．
【答案】67.5。
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠BAC＝45°，∠B＝90°，
∵E是的中点，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝22.5°，
∴∠1＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故答案为：67.5．
17．（2022秋•玄武区期中）如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，则的度数为 24 °．
【答案】24。
【解答】解：如图，连接OA，OB，OC．
∵正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，
∴∠AOP＝＝120°，∠AOB＝∠BOC＝＝72°，
∴∠POC＝72°﹣（120°﹣72°）＝24°，
∴的度数为24°．
故答案为：24．
18．（2022秋•下城区校级期中）如图，边长为6的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与A，B重合，点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下终论：
①OG＝OH；
②△GBH周长的最小值为；
③随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积始终为9．
其中正确的是 ①③ ．（填序号）
【答案】①③。
【解答】解：①如图所示，连接OC，OB，
∵∠BOG+∠BOH＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∵四边形ABCD是正方形，点O是它的中心，
∴∠OBG＝∠OCH＝45°，
在△BOG与△COH中，
，
∴△OBG≌△OCH（ASA），
∴OG＝OH，
因此①正确；
②由①中△BOG≌△COH，可得BG＝CH，
∴BH+BG＝BH+CH＝BC＝6，
△GBH周长为BH+BG+HG，而BH+BG＝6，
当HG最小时，OH、OG最小，
所以当OH⊥BC，OG⊥AB时，△GBH周长的最小，
如图，过点O作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N，
则OM＝ON＝3＝BM＝BN，
∴HG＝＝3，
∴△GBH周长的最小值为6+3，
故②不正确；
③∵OG＝OH，OM＝OM，
∴△HOM≌△GON（HL），
∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，
而正方形ONBM的面积，总等于正方形ABCD面积的四分之一，
因此③正确；
综上所述，正确的结论有：①③，
故答案为：①③．
三、解答题。
19．（2022•安徽二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵E是的中点，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AE＝DE．
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝DE，
∴DE＝+1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝DE2＝+．
20．（2022春•思明区校级期中）如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
（1）求点Q的运动总长度；
（2）若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
【解答】解：（1）∵点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，
∴可以假设∠COQ＝n，∠BOP＝2n，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BCO＝2∠A＝120°，
∵P，O，Q共线，
∴120°﹣n+2n＝180°，
∴n＝60°，
∴点Q的运动总长度＝＝；
（2）如图，取OB的中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H．
∵OB＝OC＝2，∠BOC＝120°，
∴BC＝OB＝2，∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵BJ＝OJ＝1，
∴JH＝BJ＝，BH＝，
∴CH＝，
∴CJ＝＝＝，
∵BM＝MP．BJ＝OJ，
∴JM＝OP＝1，
∴CM≤JM+CJ＝1+，
∴CM的最大值为1+．
21．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连结AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．
【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝＝108°，
即∠ABC＝108°；
（2）△AMN是正三角形，
理由：连接ON，NF，如图，
由题意可得：FN＝ON＝OF，
∴△FON是等边三角形，
∴∠NFA＝60°，
∴∠NMA＝60°，
同理可得：∠ANM＝60°，
∴∠MAN＝60°，
∴△MAN是正三角形；
（3）连接OD，如图，
∵∠AMN＝60°，
∴∠AON＝120°，
∵∠AOD＝＝144°，
∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，
∵360°÷24°＝15，
∴n的值是15．
22．（2021秋•信都区期末）已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6．
（1）求正六边形的边长；
（2）以A为圆心，AF为半径画弧BF，求．
【解答】解：（1）∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形的边长＝半径OA＝6；
（2）∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCF＝120°，
∴弧BF的长为＝＝4π．
23．（2021秋•大洼区期末）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 30 度；
（2）通过计算比较直径和劣弧A7A11长度哪个更长；
（3）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位关系？请说明理由．
（4）求切线长PA7的值．
【解答】解：（1）＝30°，
故答案为：30；
（2）如图，连接，OA7，OA11由（1）得：劣弧A7A11所对应的圆心角∠A7OA11＝30°×4＝120°，
∴劣弧A7A11的长l＝＝4π，
∵4π＞12，
∴劣弧A7A11的长度更长．
（3）垂直．理由如下：
连接，A1A7，A7A11，
∵∠A1OA7＝30°×6＝180°，
∴A1A7是⊙O的直径，
∴∠A1A11A7＝90°，即A1A11⊥A11A7，
∴A7A11和PA1相互垂直．
（4）如图，∵PA7是⊙O的切线，
∴∠PA7O＝90°，
由（1）知，∠A7OA11＝120°，
∴∠A11A7O＝∠A7A11O＝30°，
∴∠PA7A1＝60°（或∠A11OA1＝∠A11A1A7＝60°），
∴∠P＝30°，
在Rt△PA7A11中，PA1＝2A1A7＝24．
PA7＝＝＝12．
24．（2022秋•郧阳区期中）如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．
（1）求∠CDF的度数；
（2）求证：AF＝BF．
【解答】（1）解：在正五边形中，∠ABC＝∠C＝540°÷5＝108°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
在四边形BCDF中，
∵∠ABC+∠C+∠DFB+∠CDF＝360°，
∴∠CDF＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠DFB＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°；
（2）证明：如图，连接DB、AD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠C，DE＝AE＝DC＝BC，
在△AED和△BCD中，
，
∴△AED≌△BCD（SAS），
∴AD＝BD，
∵DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠DFB＝90°，
Rt△DAF和Rt△DFB，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DFB（HL），
∴AF＝BF．
25．（2022秋•长沙期中）明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边形．
（1）求地基的周长是多少？
（2）求地基的面积是多少？
【解答】解：（1）连接OB、OC；
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝4m，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6×4＝24（m）．
（2）过O作OG⊥BC于G，
∵△OBC是等边三角形，OB＝4m，
∴∠OBC＝60°，
∴OG＝OB•sin∠OBC＝4×＝2（m），
∴S△OBC＝BC•OG＝×4×2＝4（m2），
∴S六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×4＝24（m2）．
26．（2022秋•建湖县校级月考）（回味03第22题）在正五边形ABCD中，∠EAB＝∠B＝108°，EA＝AB＝BC，M、N分别是AB和BC的中点，连接AN、EM，相交于点O．
（1）求证：AN＝EM；
（2）求∠EON．
【解答】（1）证明：∵M、N分别是AB和BC的中点，
∴AM＝AB，BN＝BC，
∵AB＝BC，
∴AM＝BN，
在△AEM与△BAN中，
，
∴△AEM≌△BAN（SAS），
∴AN＝EM；
（2）解：∵△AEM≌△BAN，
∴∠AEM＝∠BAN，
∵∠EON＝∠OAE+∠AEO＝∠BAN+∠EAO＝∠BAE＝108°．
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