初中数学北师大版九年级下册1 二次函数教学设计及反思

这是一份初中数学北师大版九年级下册1 二次函数教学设计及反思，共43页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第12讲


讲














二次函数综合


























概述





【教学建议】


本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整理、归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策略。


学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1. 二次函数中平行四边形的存在性问题；


2. 二次函数中等腰三角形的存在性问题；


3.二次函数中相似三角形的存在性问题。


【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函数可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在中考数学试卷中，二次函数试题往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要，在教学中，教师要帮助学生形成正确地处理这三种类型试题的策略。





二、知识讲解








知识点1 二次函数与平行四边形








平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距离公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。





知识点2 二次函数与等腰三角形








处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点间距离公式硬算）





知识点3 二次函数与相似三角形





常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种：


1.导边处理（“SAS”法）


第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；


第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程.


2.导角处理（“AA”法）


第一步:先找到一组关键的等角；


第二步,另两个内角分两类对应相等.





三、例题精析








例题1





【题干】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．


（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；


（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 EQ \F(5, 4 ) ，求a的值；


（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．





图1 备用图





【答案】见解析


【解析】（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．


由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4, 5a)．


由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．


（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．


设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．


由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝


＝＝＝，


得△ACE的面积的最大值为．解方程，得．


（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：


①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．


由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．


当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4, 21a)．


由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1, 26a)．


由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．


整理，得7a2＝1．所以．此时P．


②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．


由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．


由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1, 8a)．


由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．


整理，得4a2＝1．所以．此时P．





图1 图2 图3








例题2





【题干】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．


（1）求a、b、c的值；


（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；


（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．





图1





【答案】见解析


【解析】（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．


将代入y＝ax2，得．解得（舍去了负值）．


（2）抛物线的解析式为，设点P的坐标为．


已知A(0, 2)，所以＞．


而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．


所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．


（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．


在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．


所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．


等腰△AMN存在三种情况：


①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．





图2 图3


②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2．


此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．


③如图5，当NA＝NM时，点P的纵坐标为也为．





图4 图5








例题3





【题干】如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．


（1）求k与m的值；


（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；


（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．





图1


【答案】见解析


【解析】（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．


将点A(2, 4)代入，得k＝8．


（2）将点B(n, 2)，代入，得n＝4．


所以点B的坐标为(4, 2)．


设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．


所以点C的坐标为(0,－2)．


由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．


所以AB＝，BC＝，∠ABC＝90°．


所以S△ABC＝＝＝8．


（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝，AC＝．


由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．


所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：


①如图3，当时，CE＝AD＝．


此时△ACD≌△CAE，相似比为1．


②如图4，当时，．解得CE＝．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，和学生一起归纳总结处理方法，再给学生做针对性的练习。





基础





1.如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．


（1）求抛物线的解析式；


（2）求tan∠ABO的值；


（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．





图1


【答案】见解析


【解析】（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得


解得，c＝1．


所以抛物线的解析式是．


（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．


如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．


在Rt△AOH中，OA＝1，，


所以． 图2


所以，．


在Rt△ABH中，．


（3）直线AB的解析式为．


设点M的坐标为，点N的坐标为，


那么．


当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．


解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．


因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）．





图3 图4


2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．


（1）求抛物线的函数关系式；


（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；


（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．





图1





【答案】见解析


【解析】（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，


代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．


所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．


（2）如右图，抛物线的对称轴是直线x＝1．


当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．


设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．


由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．


所以点P的坐标为(1, 2)．





3.如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．


（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；


（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；


（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．





图1





【答案】见解析


【解析】（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )．


（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．


因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)．


如图3，联结OP．


所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．


解得．所以点P的坐标为()．





图2 图3


（3）由，得A(1, 0)，OA＝1．


①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．


当，即时，△BQA∽△QOA．


所以．解得．所以符合题意的点Q为()．


②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。


因此△OCQ∽△QOA．


当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．


所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q(1,4)．





图4 图5





巩固





1.如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．


（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；


（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？


（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．





图1





【答案】见解析


【解析】（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，


代入点C(3, 0)，可得a＝－1．


所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．


（2）因为PE//BC，所以．因此．


所以点E的横坐标为．


将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．


所以点G的纵坐标为．于是得到．


因此．


所以当t=1时，△ACG面积的最大值为1．


（3）或．





2.如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．


（1）求点B的坐标；


（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；


（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．





图1





【答案】见解析


【解析】（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．


在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．


所以点B的坐标为．


（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，


代入点B，．解得．


所以抛物线的解析式为．


（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．


①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．


当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．


②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．


③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．


综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．





图2 图3


3.如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．


（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；


（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；


（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；


（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．





图1


【答案】见解析


【解析】（1）将M(2, 2)代入，得．解得m＝4．


（2）当m＝4时，．所以C(4, 0)，E(0, 2)．


所以S△BCE＝．


（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．


设对称轴与x轴的交点为P，那么．


因此．解得．所以点H的坐标为．


（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．


由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．


设点F的坐标为，由，得．


解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．


由，得．所以．


由，得．


整理，得0＝16．此方程无解．





图2 图3 图4


②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，


由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．


在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．


解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．


由，得．解得．


综合①、②，符合题意的m为．





拔高





1.将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．


（1）请直接写出抛物线c2的表达式；


（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．


①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；


②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．








图1





【答案】见解析


【解析】（1）抛物线c2的表达式为．


（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为．


抛物线c2：与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为．


抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB＝2．


抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．


①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：


情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．


情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．











图2 图3 图4


②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．





2.如下图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A（-1,0）,C(0,2).


（1）求抛物线的表达式；


（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形.如果存在,直接写出P点的坐标；如果不存在,请说明理由；





【答案】见解析


【解析】解:（1）.


(2)如图,在抛物线的对称轴上存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形.


∴.








3.如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．


（1）求此抛物线的解析式；


（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；


（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．


,


图1


【答案】见解析


【解析】（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．


（2）设点P的坐标为．


①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．


如果，那么．解得不合题意．


如果，那么．解得．


此时点P的坐标为（2，1）．


②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．


解方程，得．此时点P的坐标为．


解方程，得不合题意．


③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．


解方程，得．此时点P的坐标为．


解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．


综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或．





图2 图3 图4


（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．


设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．


因此．


当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．





图5 图6











课堂小结





1.二次函数与平行四边形的处理方法


2.二次函数与等腰三角形的处理方法


3.二次函数与相似三角形的处理方法








拓展延伸








基础





1. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过点A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点.


（1）求直线AD及抛物线的解析式；


（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？


（3）在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使以P、Q、D、R四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由.








【答案】见解析


【解析】（1）由于抛物线经过x轴上的点A(1，0)，B(－3，0)，


所以抛物线解析式 ＝，∴a＝1，b＝2，


∴抛物线的解析式为：.


当x＝－2时，y＝－3，∴D点的坐标为(－2，－3)


设直线AD的解析式为：y＝kx＋c，


代入点A(1，0)，D(－2，－3)，有解得：k＝1，c＝－1，


∴直线AD的解析式为：y＝x－1.


（2）由于P(m，n)的直线AD上，∴n＝m－1，


∴P点的坐标为(m，m－1)，


∴Q点的坐标为(m，)，


∴l＝m－1－()＝，


∵－1<0，∴当x＝－，l有最大值，最大值为：


（3）点D 确定的，P、Q是有限制条件的不定点，点R是自由的整点，因此P、Q、D、R四点为顶点的四边形要是平行四边形，可从P、Q、D三点入手，画图尝试寻找！当PQ为整数1时，有R点的坐标为(－2，－2)，(－2，－4)，如图1，图2，





图1 图2


当PQ＝2时，如图3和图4，利用平移的知识可得R点的坐标为：(－2，－1)，(－2，－5)，(0，－3).(2，－1)





图3 图4








2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．


（1）求二次函数的表达式；


（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；


（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．





【答案】见解析


【解析】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），


∴，解得，，


所以二次函数的解析式为：y=；


（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，


过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图





设D（m，），则点F（m，），


∴DF=﹣（）=，


∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH


=×DF×AG+×DF×EH


=×4×DF


=2×（）


=，


∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．


（3）y=的对称轴为x=﹣1，


设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），


可求PA=，PE=，AE=，


当PA=PE时，=，


解得，n=1，此时P（﹣1，1）；


当PA=AE时，=，


解得，n=，此时点P坐标为（﹣1，）；


当PE=AE时，=，


解得，n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．


综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．





3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=－ EQ \f(1,4)x2+bx+c 经过点A(－2，0)，B(8，0)．


⑴求抛物线的解析式；


⑵点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．


= 1 \* GB3 ①是否存在点P ，使线段PD的长度最大，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；


②当△PDC与 △COA相似时，求点P 的坐标．














【答案】见解析


【解析】(1) 将A(－2，0)，B(8，0) 代入y=－ EQ \f(1,4)x2+bx+c，得


EQ \B\lc\{(\a\al(-1-2b+c=0,-16+8b+c=0))，解得 EQ \B\lc\{(\a\al(b= EQ \f(3,2),c=4))


∴抛物线解析式为：y=－ EQ \f(1,4)x2+ EQ \f(3,2)x+4


⑵由⑴知C(0，4)，又∵ B(8，0) ，易知直线BC的方程为y=－ EQ \f(1,2)x+4


= 1 \* GB3 ①如图，过点P作PG⊥ x轴于点G ，PG 交CB于点E，


在Rt PDE中，PD=PE×sin∠PED=PE×sin∠OCB= EQ \f(2 EQ \R(,5),5)PE


∴当线段PE最长时，PD的长度最大．设P(t，－ EQ \f(1,4)t2+ EQ \f(3,2)t+4) ，则E(t，－ EQ \f(1,2)t+4) ，


PE=(－ EQ \f(1,4)t2+ EQ \f(3,2)t+4) －(－ EQ \f(1,2)t+4)= － EQ \f(1,4)t2+2t=－ EQ \f(1,4)(t－4)2+4，（0

当t=4时，PE有最大值4，此时P点坐标为(4，6)，


即当P点坐标为(4，6)，PD的长度最大，最大值为 EQ \f(8 EQ \R(,5),5)





②由 A(－2，0)，B(8，0) ，C(0，4) ，易知 ∠ACB=90°，


∴ △COA∽△BOC，当Rt △PDC与Rt △COA相似时，就有Rt △PDC 与Rt△BOC 相似，


∵相似三角形对应角相等，∴∠PCD=∠CBO，或∠PCD =∠BCO


（Ⅰ）若∠PCD=∠CBO（Rt △PDC∽Rt△ COB），此时有CP∥OB


∵C(0，4) ，∴－ EQ \f(1,4)x2+ EQ \f(3,2)x+4=4，解得x= 6，或x= 0 （舍）


即 Rt △PDC∽Rt△ COB时， P(6，4)





（Ⅱ）若∠PCD =∠BCO（Rt△PDC∽Rt △BOC），


过点P作x轴的垂线，与直线BC交于F ，∴PF ∥OC ，∴∠PFC=∠BCO ，


∴ ∠PCD=∠PFC，∴PF= PC


设P(n，－ EQ \f(1,4)n2+ EQ \f(3,2)n+4) ，依题意，易知 n≠0，同⑴，可知 PF=－ EQ \f(1,4)n2+2n，


过点P作 y 轴的垂线，垂足为N ，在Rt△PNC中，


PC2=PN2+NC2=n2+[(－ EQ \f(1,4)n2+ EQ \f(3,2)n+4)-4]2= EQ \f(1,16)n4－ EQ \f(3,4)n3+ EQ \f(13,4)n2





∵PF= PC，∴ PF2= PC2 ，可解得 n=3，


即Rt△PDC∽Rt △BOC时，P(3， EQ \f(25,4))


∴当△PDC与 △COA相似时，点P 的坐标为 (6，4) ，或(3， EQ \f(25,4))





巩固





1.如图，已知抛物线y=x2-x-n(n＞0)与x轴交于点A,B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C.


（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值；


（2）如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；





【答案】见解析


【解析】（1）设点A坐标为（x1,0）,设点B坐标为（x2,0）,则x1,x2是一元二次方程x2-x-n=0的两根，∴x1·x2=-2n.当x=0时，y=-n,∴点C坐标为（0，-n），∵△ABC为直角三角形，CO⊥AB,∴△AOC∽△COB,∴OC2=OA·OB,∴n2=-x1·x2=-(-2n)，解得n=0(舍去）或n=2；


（2）由（1）得y=x2-x-2，该抛物线的对称轴为直线x=,x=0时，y=-2,点C坐标为（0，-2）.y=0时，x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=4,∴点B坐标为（4，0）.分两种情况： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如答案图1，设点P坐标为（a,a2-a-2）,过点P作PM⊥对称轴于点M,∵四边形BCPQ是平行四边形，∴PM=OB,-a+=4,a=-,a2-a-2=,点P坐标为（-，）； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②如答案图2，设点P坐标为（b,b2-b-2）,过点P作PN⊥对称轴于点N,∵四边形BCPQ是平行四边形，∴PN=OB,b-=4,b=,b2-b-2=,点P坐标为（，）；


综上所述：点P坐标为（-，）或（，）.





图1 图2





2.如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，.点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点.





（1）求，，三点的坐标；


（2）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；


（3）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值.





【答案】见解析


【解析】（1）由，得.


解得，.


∴点，的坐标分别为，.


由，得.∴点的坐标为.


（2）答：，.


（3）解：过点作于点，


则轴.由，，得为等腰直角三角形.


∴.∴.


∵，∴.


∵轴，∴.∴.


∵，∴.


∴，即.


∴.


∴.∴.


∵轴，点的横坐标为，，


∴，.


∴.


∴.


∵，∴有最大值.∴当时，有最大值.


解法二：提示，先分别求出和关于的代数式，再由得到关于的代数式.





3.如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．


（1）求抛物线的解析式；


（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；





【答案】见解析


【解析】（1）把A（，﹣3）和点B（3，0）代入抛物线得：，


解得：a=，b=﹣，


则抛物线解析式为y=x2﹣x；


（2）设P坐标为（x，x2﹣x），则有AD=x﹣，PD=x2﹣x+3，


当△OCA∽△ADP时，=，即=，


整理得：3x2﹣9x+18=2x﹣6，即3x2﹣11x+24=0，


解得：x=，即x=或x=（舍去）


此时P（，﹣）；


当△OCA∽△PDA时，=，即=，


整理得：x2﹣9x+6=6x﹣6，即x2﹣5x+12=0，


解得：x=，即x=4或（舍去），


此时P（4，6）．


综上，P的坐标为（，﹣）或（4，6）；





拔高





1.如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C．


（1）求抛物线的解析式；


（2）过点A的直线交直线BC于点M．


①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；


②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．





【答案】见解析


【解析】（1）∵直线交轴于点B，交轴于点C，∴ B(5，0)，C(0，－5)．


∵抛物线过点B，C，∴，∴，


∴抛物线的解析式为：．


（2）∵OB＝OC＝5，∠BOC＝90°，∴∠ABC＝45°，


∵抛物线交轴于A，B两点，


∴A(1，0)，∴AB＝4，


∵AM⊥BC，∴AM＝，


∵PQ∥AM，∴PQ⊥BC，


若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则PQ＝AM＝，


过点P作PD⊥轴交直线BC于点D，则∠PDQ＝45°，∴PD＝PQ＝4．


设P(，)，则D(，)．


分两种情况讨论如下：


(ⅰ)当点P在直线BC上方时，


PD＝，


∴(舍去)，


(ⅱ)当点P在直线BC下方时，


PD＝，


∴，．


综上，点P的横坐标为4或或．


②M(，)或(，)．





2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(－4，0)、B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE．


（1）求二次函数的表达式；


（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；


（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．


A


B


C


D


E


O


x


y





【答案】见解析


【解析】（1）由题意可得


解得所以二次函数的解析式为y=x2－x+6．


（2由A(－4，0)，E(0，－2)，可求得AE所在直线解析式为y=x－2．


过点D作DF与y轴平行，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H．设D点坐标为(x0，－x0+6)，则F点坐标为(x0，x0－2)，则DF=－x0+6－(x0－2)=－x0+8．


又S△ADE=S△ADF+S△EDF，∴S△ADE=·DF·AG+DF·EH=×4×DF=2×(－x0+8)= (x0+)2+，∴当x0=－时，△ADE的面积取得最大值．


G


H


A


B


C


D


E


O


x


y


F





（3）设P(－1，a)，当PA=PE时，利用勾股定理，得a2+32=(a+2)2+12，解得a=1，∴P(－1，1)；


当PA=AE时，有a2+32=42+22，解得a=±，∴P(－1，±)；


当PE=AE时，有(a+2)2+12=42+22，解得a=－2±，∴P(－1，－2±)．


综上所述：P点的坐标为(－1,1)，(－1，±)，(－1，－2±)．





3.如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．


（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．


①求点M、N的坐标；


②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；


（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．








【答案】见解析


【解析】（1）①如图1，∵y=﹣2x2+2x+4=﹣2（x﹣）2+，


∴顶点为M的坐标为（，），当x=时，y=﹣2×+4=3，则点N坐标为（，3）；


②不存在．


理由如下：


MN=﹣3=，设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），


∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，


∵PD∥MN，当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m=，解得m1=（舍去），m2=，此时P点坐标为（，1），


∵PN==，


∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不为菱形，∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；


（2）存在．


如图2，OB=4，OA=2，则AB==2，


当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P（1，2），


∴PB==，


设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，


把A（2，0）代入得4a+2b+4=0，解得b=﹣2a﹣2，


∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2（a+1）x+4，


当x=1时，y=ax2﹣2（a+1）x+4=a﹣2a﹣2+4=2﹣a，则D（1，2﹣a），


∴PD=2﹣a﹣2=﹣a，


∵DC∥OB，


∴∠DPB=∠OBA，


∴当=时，△PDB∽△BOA，即=，解得a=﹣2，此时抛物线解析式为y=﹣2x2+2x+4；


当=时，△PDB∽△BAO，即=，解得a=﹣，此时抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；


综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4或y=﹣x2+3x+4．























教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.二次函数与平行四边形


2.二次函数与等腰三角形


3.二次函数与相似三角形
教学目标
1.掌握二次函数综合


2.掌握二次函数中的数学模型
教学重点
能熟练掌握二次函数综合问题
教学难点
能熟练掌握二次函数综合问题
图2
图3 图4