初中北师大版1 二次函数教案及反思

这是一份初中北师大版1 二次函数教案及反思，共10页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第5讲


讲














二次函数


























概述





【教学建议】


本节是二次函数的概念课，要让学生经历把实际生活中的问题抽象成二次函数的过程，知道二次函数是为了解决生活中的一些问题而产生的。知道实际问题中的二次函数的自变量一般是有取值范围的以及如何确定实际问题中自变量的取值范围。


学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难：


1. 二次函数表达式的判定。


2. 实际问题中自变量的取值范围。


【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


虽然本节是一节概念课，但鉴于二次函数在实际生活中的重要应用，应让学生充分体会如何从实际问题情境中抽象出二次函数的模型，并知道如何根据实际问题的情境确定自变量的取值范围。





二、知识讲解








知识点1 二次函数的概念





1.一般地，表达式形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量；


2.表达式y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项；


3.二次函数的3种特殊形式


（1）y=ax²(a,b,c是常数，且a≠0，b，c=0）；


（2）y=ax²+bx(a,b,c是常数，且a≠0,b≠0,c=0)；


（3）y=ax²+c(a,b,c是常数，且a≠0，c≠0,b=0)





知识点2 二次函数的简单应用








如何从实际问题中抽象出二次函数以及自变量的取值范围





三、例题精析








例题1





【题干】对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ ）


A. B.


C. D.


【答案】D


【解析】根据二次函数的概念即可判别








例题2





【题干】下列函数关系中，不是二次函数的是（ ）


A.边长为x的正方形的面积y与边长x的函数关系


B.一个直角三角形两条直角边长的和是6，则这个直角三角形的面积y与一条直角边x的函数关系


C.在边长为5的正方形内挖去一个边长为t的小正方形，剩余面积S与t的函数关系


D.多边形的内角和m与边数n的函数关系


【答案】D


【解析】先列出函数关系式，然后根据二次函数的概念即可判别





例题3





【题干】二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是（ ）


A.1 B.-1 C.2 D.-2


【答案】D


【解析】先化成一般式，即可判别








四 、课堂运用





【教学建议】


本节内容在中考中一般不单独设题，但是处理二次函数问题的基础，特别是实际问题中自变量的取值范围问题，应引起重视。





基础





1. 二次函数中，______，______，______。


【答案】-1,,0


【解析】根据达式y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项来判定





2.已知函数，若这个函数是二次函数，求的取值范围。


【答案】m≠0或1


【解析】紧扣二次函数的定义，二次项系数不为零即可。





巩固





1.若函数 是二次函数，则k的值为（ ）


A.0 B.0或3 C.3 D.不确定


【答案】A


【解析】紧扣二次函数的定义，二次项系数不为零且自变量的次数最多是二次即可。





2.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A——B ——C和A ——D——C的路径向点C运动，设运动时间为x,s,由点P，B，D，Q确定的图形的面积为ycm2,求y与x （0≤x≤8）之间的函数关系式。


,


【答案】当0≤x≤4时，y=；当4≤x≤8时，


【解析】根据图形易得相关的关系式








拔高





已知是关于x的二次函数，求a，b的值。


【答案】a=b=1


【解析】紧扣二次函数的定义，二次项系数不为零、自变量的次数最多是二次的整式即可得到一个关于a，b的二元一次方程组，解之即可。





2.如图,直线l与x轴、y轴分别交于点M(8,0),点N(0,6).点P从点N出发,以每秒1个单位长度的速度沿N⇒O方向运动,点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动。已知点P、Q同时出发,当点Q达点M时,P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒。设四边形MNPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围。











【答案】见解析


【解析】依题意,运动总时间为t=82=4秒,要形成四边形MNPQ,则运动时间为0

当P点在线段NO上运动t秒时，


OP=6−t，OQ=2t


∴S△POQ=12OP⋅OQ=−t2+6t


此时四边形MNPQ的面积


S=S△MON−S△POQ=12×8×6−(−t2+6t)=t2−6t+24，


∴S关于t的函数关系式为S=t2−6t+24.(0










课堂小结





二次函数的概念；


2.实际问题中，二次函数自变量范围的确定。











拓展延伸








基础





1. 下列表达式中，x为自变量，其中为二次函数的是（ ）


y=3(x-1)²-3；y=(x+3)²-x²；y=10πx²； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④


 B.  C.  D.  = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④





【答案】B


【解析】读题可知，所给函数，并不完全符合y=ax²+bx+c形式，所以要先化简整理后再根据“必须抓住的3个关键”来判断”，可化为：y=3x2-6x，符合二次函数的定义，故正确；等式右边去括号合并同类项可得：y=6x+9，是一次函数，故错误；由于π为无理数，故为二次函数； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④由于函数表达式右边含有分式的形式，不是整式，故错误，因此只有属于二次函数。





2.圆环的内圆半径是x，外圆半径是R，圆环的面积是y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。


【答案】0

【解析】圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积，整理即可得到函数关系式．


解：根据圆的面积公式s=πr2（r为圆的半径），则外圆的面积为πR2，内圆的面积为πx2，则圆环的面积为y=πR2-πr2=π（R2-x2），自变量x的取值范围为0




巩固





1.判断下列所给函数表达式中是二次函数的有 .


①y=x2+ EQ \F(1,2) ；② y= EQ \F(1,x2) +x；③y=(x+1)3-x2； ④y=4(x-1)2；


⑤y=-（x-3）2+x2 ；⑥y=(x+2)(x-2)+2x+4.


【答案】①②⑥


【解析】①是二次函数;② EQ \F(1,x2) 是分式，不是二次函数；③x的最高次数是3，不是二次函数；④化简后为y=4x2-8x+4,是二次函数;⑤化简后为y=6x-9是一次函数，⑥化简后为y=x2+2x,是二次函数.因此二次函数有①②⑥。





2.某种品牌服装的进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件，在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，请列出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.


【答案】见解析


【解析】根据题意可得：y=（210-150-x）（20+）=x2+10x+1200.由于该服装每件成本为150元，其标价为210元，因此它的降价范围最大为60元.故自变量x的取值范围为0≤x≤60.





拔高





1.正方形的边长为5，如果边长减小a，那么面积减小b.请根据条件回答问题：


（1）求b与a之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；


（2）判断（1）所列函数表达式是二次函数吗，如果是，写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.


【答案】见解析


【解析】（1）由正方形的边长为5，如果边长减小a可得，减小后边长为(5-a)；


又∵面积减小b，∴减小后面积用b表示为52-b，即25-b，


∴b与a之间的函数表达式为25-b=(5-a) 2，整理得b=-a2+10a.


又∵正方形的边长为5，故边长最多减小5，∴自变量的取值范围为0≤a≤5.


故有b=-a2+10a（0≤a≤5）.


（2）∵b=-a2+10a中，等式右边为整式，最高次数为2，二次项系数为-1≠0，


∴b=-a2+10a是二次函数，∴二次项系数为-1，一次项系数为10，常数项为0.





2.某商场今年一月份销售额为50万元，二、三月份平均每月增长率为，第一季度销售额与之间


的函数表达式为 ，若第一季度销售额为84.5元，则此时的增长率x为 .





【答案】 （x>0） 0.3


【解析】由读题可知二、三月份的销售额分别为万元、万元，故第一季度销售额与之间的关系式为：.当y= 84.5 时，相当于解关于x的一元二次方程.











教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.二次函数的概念


2.二次函数的应用
教学目标
1.掌握二次函数的概念


2.掌握二次函数的实际应用
教学重点
能熟练掌握二次函数的概念及应用
教学难点
能熟练掌握二次函数的概念及应用