数学九年级下册第二章 二次函数1 二次函数教学设计及反思

这是一份数学九年级下册第二章 二次函数1 二次函数教学设计及反思，共44页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第11讲


讲














二次函数综合


























概述





【教学建议】


本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整理、归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策略。


学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1. 非特殊三角形的面积问题；


2. 非竖直型线段的最值；


3.抛物线中直角三角形的存在性问题。


【知识导图】























教学过程








一、导入





【教学建议】


本节所讲的三个问题：1.二次函数与三角形的面积；2.二次函数与线段和差；3.二次函数与直角三角形。是二次函数考题中常出现的题型，而且常常是在二次函数的压轴题中出现。建议教师在教学中，可以采取一题多解的方式，从多个角度切入问题，以期帮助孩子形成有效地解题策略，要把典例讲透，要让学生有自己的反思，自己的总结，自己的收获。





二、知识讲解








知识点1 二次函数与三角形的面积








1.常用面积的处理方法：





2.坐标系中的铅锤法模型








知识点2 二次函数与线段和差





二次函数中的线段线段和差问题，常通过三角函数转移到竖直方向的和差或水平方向的和差，其中竖直方向的和差最重要，可以用上面点的纵坐标减去下面的点的纵坐标，极易出现二次式，也就是二次函数模型。为了便于学生记忆：我给它起了一个名字叫“定海神针”。





知识点3 二次函数与直角三角形





抛物线中出现直角三角形常见的处理方法：


已知:定点A(2, 1) 、B(6, 4)和动点M（m, 0）, 存在直角三角形ABM,求点M的坐标.


1.两线一圆


在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题后,通常是以顶点作为分类标准,比如:当以点A为直角顶点时,过点A作AB的垂线交x轴的点即为所求；当以点B为直角顶点时,过点B作AB的垂线交x轴的点即为所求；当以点M为直角顶点时,只需要以AB为直径作辅助圆与x轴的交点即为所求.


提示:两直线垂直,则其K值得乘积为-1,通过求垂线的解析式再求其与x轴的交点即可.（请学生完成做题过程）


2.“K型相似”


提示:竖直型,上减下；水平型,右减左.遇直角,构矩形,得相似,求结果.（请学生完成做题过程）


3.暴力法（两点间距离公式）


利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解.其基本解题思路是列点.列线.列式.


第一步,列出构建所求直角三角形的三个点,定点找到后,动点用参数表示其坐标；


第二步,采用分类讨论思想,列出构建所求直角三角形的三个边,并分类讨论两两垂直的三种可能性；


第三步,把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式,利用勾股定理的逆定理列出等式求解.注意:解出点的坐标应结合已知进行检验,若出现三点共线或出现不合题意得点均要舍去.（请学生完成做题过程）


注意:有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单,在一些综合题中一般要结合“K型相似”去做更简单一些.








三、例题精析








例题1





【题干】如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．


（1）求a、b及sin∠ACP的值；


（2）设点P的横坐标为m．


①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；


②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．














B


C


D


X


O


P


A


Y









































【答案】见解析


【解析】











②存在满足条件的m值．





第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．


而，BM＝4－m．


①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得．


②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．











例题2





【题干】已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．


（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；


（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；


（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．





【答案】见解析


【解析】（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于A(－1, 0)、B(4, 0)两点，


所以y＝a(x＋1)(x－4)＝ax2－3ax－4a．


所以－4a＝－2，b＝－3a．所以，．


所以。


顶点为．


（2）如图1，设抛物线与y轴的交点为D．


由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，可知．


所以△AOD∽△DOB．因此∠ADO＝∠DBO．


由于∠DBO与∠BDO互余，所以∠ADO与∠BDO也互余． 图1


于是可得∠ADB＝90°．因此以AB为直径的圆经过点D．


当点P在x轴下方圆的内部时，∠APB为钝角，此时－1＜m＜0，或3＜m＜4．


（3）若m＞，当∠APB为直角时，点P与点D关于抛物线的对称轴对称，因此点P的坐标为(3,－2)．


如图2，由于点A、B、P、C是确定的，BB′、P′C′、PC平行且相等，所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中，AB和P′C′的长是确定的．


如图3，以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′，以直线为对称轴作点B′的对称点B′′，联结AB′′，那么AC′＋P′B的长最小值就是线段AB′′。


如图4，线段AB′′与直线的交点，就是四边形周长最小时点C′的位置．


如图2，点P(3,－2)先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，


如图3，点B(4, 0) 先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点．


所以点B′′的坐标为．


如图4，由，得．解得．


由于，所以抛物线向左平移了个单位．





图2 图3 图4








例题3





【题干】如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．


（1）用含m的式子表示a；


（2）求证：为定值；


（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．





【答案】见解析


【解析】（1）将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此．


（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4，


得A(－m, 0)，B(3m, 0)，F(m, －4)，对称轴为直线x＝m．


所以点D的坐标为(2m,－3)．


设点E的坐标为(x, a(x＋m)(x－3m))．


如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．


由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．


所以am(x－3m)＝1．结合，于是得到x＝4m．


当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以点E的坐标为(4m, 5)．


所以．





图2 图3


（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，


可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．


那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．


证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么．


因此．所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形．


此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为(－3m, 0)．








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，注意总结相应测处理方法，形成有用的解题模型，再给学生做针对性的练习。





基础





1.如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．


（1）直接写出抛物线的解析式；


（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；


（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．


请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．





【答案】见解析


【解析】（1）抛物线的解析式为．


（2）小明的判断正确，对于任意一点P，PD－PF＝2．说理如下：


设点P的坐标为，那么PF＝yF－yP＝．


而FD2＝，所以FD＝．


因此PD－PF＝2为定值．


（3）“好点”共有11个．


在△PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD＋PE的最小值．


而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此当P、E、F三点共线时，△PDE的周长最小（如图2）．


此时EF⊥x轴，点P的横坐标为－4．


所以△PDE周长最小时，“好点”P的坐标为(－4, 6)．





图2 图3


2.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、


B(2, 0)三点．


（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；


（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．





图1





【答案】（1）。 （2）AM＋OM的最小值为．


【解析】根据下面的图2与图3提示，易得（1）； （2）AM＋OM的最小值为．





3.如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．


（1）求点A、B、C的坐标；


（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；


（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．





图1





【答案】见解析


【解析】（1）由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．


（2）直线DB的解析式为．


由点P的坐标为(m, 0)，可得，．


所以MQ＝．


当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．


解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）．


此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．


所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．


所以四边形CQBM是平行四边形．





图2 图3


（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．





巩固





1.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．


（1）求抛物线的解析式；


（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？


（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．





图1





【答案】见解析


【解析】（1）因为抛物线与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，所以y＝a(x＋2)(x－4)．


所以－8a＝－3．解得．


所以抛物线的解析式为．


（2）如图2，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H．


在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5，sinB＝．


在Rt△BQH中，BQ＝t，所以QH＝BQsinB＝t．


所以S△PBQ＝．


因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是。


（3）当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，P(1, 0)，BQ＝1。


如图3，因为△PBC与△PBQ是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。


当S△CBK∶S△PBQ＝5∶2时，S△PBC∶S△CBK＝2∶1。


因为△PBC与△CBK是同底三角形，所以对应高的比为2∶1。


如图4，过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K，那么PB∶DB＝2∶1。


因为点K在BC的下方，所以点D在点B的右侧，点D的坐标为．


过点K作KE⊥x轴于E．设点K的坐标为．


由，得．整理，得x2－4x＋3＝0．


解得x＝1，或x＝3．所以点K的坐标为或．





图2 图3 图4





2.已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．


（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；


（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；


（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．





【答案】见解析


【解析】（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于A(－1, 0)、B(4, 0)两点，


所以y＝a(x＋1)(x－4)＝ax2－3ax－4a．


所以－4a＝－2，b＝－3a．所以，．


所以。


顶点为．


（2）如图1，设抛物线与y轴的交点为D．


由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，可知．


所以△AOD∽△DOB．因此∠ADO＝∠DBO．


由于∠DBO与∠BDO互余，所以∠ADO与∠BDO也互余． 图1


于是可得∠ADB＝90°．因此以AB为直径的圆经过点D．


当点P在x轴下方圆的内部时，∠APB为钝角，此时－1＜m＜0，或3＜m＜4．


（3）若m＞，当∠APB为直角时，点P与点D关于抛物线的对称轴对称，因此点P的坐标为(3,－2)．


如图2，由于点A、B、P、C是确定的，BB′、P′C′、PC平行且相等，所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中，AB和P′C′的长是确定的．


如图3，以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′，以直线为对称轴作点B′的对称点B′′，联结AB′′，那么AC′＋P′B的长最小值就是线段AB′′。


如图4，线段AB′′与直线的交点，就是四边形周长最小时点C′的位置．


如图2，点P(3,－2)先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，


如图3，点B(4, 0) 先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点．


所以点B′′的坐标为．


如图4，由，得．解得．


由于，所以抛物线向左平移了个单位．





图2 图3 图4





3.如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．


（1）求点A、B的坐标；


（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；


（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．





图1





【答案】见解析


【解析】（1）由，


得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．


（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．


过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．


设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．


由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．


所以，点D的坐标为．


因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．


而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为．





图2 图3


（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．


以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．


联结GM，那么GM⊥l．


在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．


在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．


所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为．


根据对称性，直线l还可以是．





拔高





1.如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．


（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；


（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；


（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．


①求S的取值范围；


②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．





图1





【答案】见解析


【解析】（1）b＝，点B的横坐标为－2c．


（2）由，设E．


过点E作EH⊥x轴于H．


由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．


所以．因此．所以．


当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．


整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．


所以抛物线的解析式为．








（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．


直线BC的解析式为．


设，那么，．


所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．


因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．


当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．


综上所述，0＜S＜5．


②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．





2.如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．


（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；


（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；


（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．





【答案】见解析


【解析】解：（1）把点A（1，），点B（3，﹣）分别代入y=ax2+bx得





解得


∴y=﹣


（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=


当x＞时，y随x的增大而减小


∴当t＞4时，n＜m．


（3）如图，设抛物线交x轴于点F


分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E





∵AC≥AD，BC≥BE


∴AD+BE≥AC+BE=AB


∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．


∵A（1，），点B（3，﹣）


∴∠AOF=60°，∠BOF=30°


∴∠AOB=90°


∴∠ABO=30°


当OC⊥AB时，∠BOC=60°


点C坐标为（，）．





3.在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．


（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；


（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；


（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．








【答案】见解析


【解析】（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．


当k＝－2时，反比例函数的解析式是．


（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．


当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．


抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝的对称轴是直线． 图1


所以当k＜0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．


（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，


当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．


由OQ2＝OA2，得．


解得（如图2），（如图3）．





图2 图3























课堂小结





1.二次函数与三角形的面积的常见处理方法


2.二次函数与线段和差的常见处理方法


3.二次函数与直角三角形的常见处理方法








拓展延伸








基础





1. 如图，抛物线y＝ax2＋4x＋c(a≠0)经过点A(－1，0)，点E(4，5)，与y轴交于点B，连接AB．


（1）求该抛物线的解析式；


（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．


①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；


②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．





【答案】见解析


【解析】（1）把A(－1，0)，点E(4，5代入y＝ax2＋4x＋c


得解得


∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5．


（2） ①当点F落在直线AE上时，点F的坐标为(x，y)．


根据题意，得x2＋(x＋1)2＝25整理，得x2＋x－12＝0．解得x1＝3，x2＝－4．


∴点F1的坐标为(3，4) ，点F2的坐标为(－4， －3) ．


∴S△ABF1＝×4×5＝10．


∵直线y＝2x＋5与x轴的交点坐标是(－，0)，


∴S△ABF2＝××8＝6．





②符合题意的交点坐标为(，)；(，)；(，)；(，)．


理由：由题意得，直线AE的解析式y＝x＋1．当点F到直线AE的距离为时，则过点F与直线AE平行的直线有两条分别是y＝x＋3，y＝x－1．


把直线AE的解析式与抛物线联立，得


或


解得


∴交点坐标为(，)；(，)；(，)；(，)．








2. 如图,已知二次函数的图象过点,一次函数的图象经过点.


求值并写出二次函数表达式；


求值；


设直线与二次函数图象交于两点,过作垂直轴于点,


试证明:；


在（3）的条件下，请判断以线段为直径的圆与轴的位置关系,并说明理由.


























【答案】见解析


【解析】（1） ，


（2）





（3）过点M作轴于点E，


设




















相切


过点N作轴于D，取MN的中点为P，过点P作轴于点F,过点N作于点H，交PF于点P.


由（3）知





又

















以MN为直径的圆与轴相切





3.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值。





【答案】2


【解析】若△ABC为直角三角形，则OC2=OA·OB


由抛物线，可得OC=n，OA·OB=2n


∴n2=2n，解得：n1=2，n2=0（舍去）,∴n=2．








巩固





1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，过点作AD∥x轴交抛物线于点D.





（1）求此抛物线的表达式；


（2）点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，求的面积；


（3）若点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点的坐标和的最大面积．


【答案】见解析


【解析】（1）方法1：把和代入，得


解得


∴抛物线的表达式为y=x2+4x－5．


方法2：∵抛物线与x轴交于和，


∴设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x－1)，


又∵抛物线与y轴交于A点，∴A(0，－5)，


把A(0，－5)代入y=a(x+5)(x－1)，得


－5=－5a，


∴a=1，


∴抛物线的表达式为y=(x+5)(x－1)=x2+4x－5．


（2）∵A(0，－5)，AD∥x轴，点E关于x轴的对称点在直线AD上，


∴点E的纵坐标为5，∴点E到直线AD的距离为10．


把y=－5代入y=x2+4x－5，得


－5=x2+4x－5，


解得x1=－4，x2=0，


∴D(－4，－5)，AD=5．


∴S△EAD=×4×10=20．


（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，


把和A(0，－5)代入，得


解得


∴直线AB的表达式为y=－x－5．


设点P的坐标为(m，m2+4m－5)，


作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，∴Q(m，－m－5)．


∵点是直线下方的抛物线上一动点，


∴PQ=－m－5－(m2+4m－5)=－m2－5m．


设的面积为S，


∴S=S△APQ+S△BPQ=×(－m2－5m)×(－m)+×(－m2－5m)×(m+5)=－(m+)2+，


∴当m=－时，S最大，


即当点P(－，－)时，面积最大，最大面积为．








2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点。动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动。点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN。设运动时间为x秒。


(1) 当秒时，点Q的坐标是 ；


(2) 在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式；


(3) 若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出运动过程中OT+PT的最小值。





【答案】见解析


【解析】 (1)当 秒时，可得 AP=1，则点 P 坐标为（5,0），因点 A 坐标为（6,0），则点 Q 坐


标为（4,0）.


(2)由题意可知：重叠部分面积为正方形面积减去△CDN 的面积，因运动时间为 t，且点 A 关


于点 P 的对称点为点 Q，即 AP=PQ=3t，则可设点 P 坐标为（6-3t，0），则点 C 坐标为（6-3t，2t），则 CN=t,


则当 0≤ t≤1 时，





则当时，





则当 时，





综上：


（3）





3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：经过点A(－2，1)和点B(－1，－1)，抛物线C2：，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；








【答案】见解析


【解析】（1）由于抛物线C1：经过点A(－2，1)和点B(－1，－1)，所以得出，所以，所以抛物线C1的表达式是：．


（2）MN＝；


（3）共分两种情况：①当∠ANM＝90°，AN＝MN时，根据题意得出N(t，),A(－2，1)，所以AN＝t－(－2)＝t＋2，由（2）得出MN＝，所以，解得


，，因为t＝0时，∠AMN＝90°，不合题意，舍去，所以只取t＝1．


②当∠AMN＝90°，AM＝MN时，根据题意：M(t，)，A(－2，1)，


所以AM＝t－(－2)＝t＋2，由（2）得MN＝，所以，解得


，，因为t＝1时，∠ANM＝90°，不合题意，舍去，所以只取t＝0．











拔高





1.如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧），与y轴交于C点。


（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标


（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大，若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由





【答案】见解析


【解析】（1）∵抛物线的对称轴是直线x=3，


∴，解得a=-，


∴抛物线解析式为，


又抛物线与x轴交于点A，B两点，且B点在A点右侧，


令y=0，得，解得x1=-2，x2=8，


∴A(-2,0)，B（8,0）


（2）∵抛物线与y轴交与点C，


令x=0，得=4，


∴C(0，4).


设直线BC的解析式：yBC=kx+b(k≠0)，


把B，C两点坐标代入，可得


，解得，


∴,


假设存在，设P（x，y）（0＜x＜8）


连接PB，PC，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，


∴PD=yP-yD=（）-（）==


又∵S△PBC=PD·OB=×8×[]=


∴当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16，


又∵0＜x＜8，∴存在点P使△PBC的面积最大，最大面积是16.





2.如图，点P为抛物线y=x2上一动点．


（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2-1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；


（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，-1），过点P作PM⊥l于M．


①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．


②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．








【答案】见解析


【解析】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2-1的顶点为（-2，-1），


∴抛物线y=（x+2）2-1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．


（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．


如图一，过点P作PB⊥y轴于点B，





设点P坐标为（a，a2），∴PM=PF=a2+1，∵PB=a，∴点B的坐标为（0，a2），


∴Rt△PBF中，BF===a2-1，∵BO=a2，


∴OF=OB-BF=1，


∴点F坐标为（0，1）


②由①，PM=PF，


∴QP+PF的最小值为QP+QM的最小值，即当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标5．


∴QP+PF的最小值为5．





3.如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．


（1）求抛物线的表达式；


（2）求证：AB平分；


（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．





【答案】见解析


【解析】（1）将A，B两点的坐标分别代入，


得解得


故抛物线的表达式为y＝．


（2）证明：设直线AB的表达式为y＝kx＋b’，


则 解得


故直线AB的表达式为y＝．


设直线AB与y轴的交点为点D，则点D的坐标为（0，）．


易得点C的坐标为（0，－4），则由勾股定理，可得AC＝．


设点B到直线AC的距离为h，则,


解得h＝4．易得点B到x轴的距离为4，故AB平分∠CAO．


（3）存在．


易得抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为（）．


由勾股定理，得AB2＝[5－(－3)]2＋(－4－0)2＝80，AM2＝[－(－3)]2＋(m－0)2＝＋m2，BM2＝（－5）2＋[m－(－4)]2＝m2＋8m＋．


当AM为该直角三角形的斜边时，有AM2＝AB2＋BM2，即＋m2＝80＋m2＋8m＋，


解得m＝－9，


故此时点M的坐标为（，－9）．


当BM为该直角三角形的斜边时，有BM2＝AB2＋AM2，即m2＋8m＋＝80＋＋m2，


解得m＝11，故此时点M的坐标为（，11）．


综上所述，点M的坐标为（，－9）或（，11）．











教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.二次函数与三角形的面积


2.二次函数与线段和差


3.二次函数与直角三角形
教学目标
1.掌握解二次函数综合题的方法


2.掌握二次函数中的数学模型
教学重点
能熟练掌握二次函数综合问题
教学难点
能熟练掌握二次函数综合问题
解：（1）由


∵y=ax2+bx-3经过A、B两点，





设直线AB与y轴交于点E，则E（0,1）．


∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO．


∴sin∠ACP=sin∠AEO=





（2）①由（1）知，抛物线的解析式为








在Rt△PCD中，