数学九年级下册2 圆的对称性教案及反思

圆及圆的对称性

【教学建议】

本节的主要内容是圆及圆的对称性，主要是介绍圆的定义等一些相关概念，属于一节基本概念课。在中考试题中主要涉及到的是圆的对称性以及圆心角、弧、弦之间的关系定理。

学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难：

1. 圆的对称性的应用；

2. 圆心角、弧、弦之间的关系定理。

【知识导图】

【教学建议】

本节是一节概念课，只需要使学生对基本概念理解就行了。在中考试题中会涉及到本节的内容是圆的对称性以及圆心角、弧、弦之间的关系定理。教师在教学时要把握好考试要求，做必要的练习，由于考试涉及到本节的内容相对来说较简单，所以教师在教学时，不必深挖，做很多拓展，让学生掌握最根本的知识就行了。

1.（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.

注意：①在平面内，②圆是指圆周，而不是圆面，③圆的两要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，④线段OP的长也可以叫半径.

（2）圆的集合性定义：

圆心为O，半径为r的圆，可以看成所有到定点O，距离等于定长r的点的集合。

     注：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

         ②到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上。

[来源:

2.弦与直径、弧与半圆

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC，AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB；       

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

3.同心圆和等圆

同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。如图2所示：  

图2                             图3

等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。

注：同圆或等圆的半径相等。如图3.等圆与位置无关

等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合的弧叫做等弧。

   注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。

1.圆的对称性

（1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．

（2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

2.弧、弦、圆心角

（1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1o的圆心角，我们也称这样的弧为1o的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

【题干】如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是(           )

A．2πcm     B．4πcm     C．8πcm     D．16πcm

【答案】C 

【解析】根据圆的周长公式即可得.

【题干】“手牵手”艺术团到某地慰问演出，要搭建一个圆形旋转舞台．该地一工人发现周围有四根木柱，且这四根木柱恰好构成菱形，他找到这个菱形四条边的中点，然后他说这四个中点在同一圆形舞台上．请问：他的想法有道理吗？证明你的结论．

【答案】见解析 

【解析】证明：连接OE，OF，OG，OH.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD.

又∵E为AB的中点，∴OE＝AB.

同理OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，

∴OE＝OF＝OG＝OH，

∴点E，F，G，H四点在以O为圆心，OE长为半径的圆上．

【题干】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°.试求∠AOC的度数．

【答案】54°

【解析】连接OD， ∵AB＝2DE，AB＝2OD，

∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E， ∴∠ODC＝2∠E＝36°，

∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°， ∴∠AOC＝∠C－∠E＝54°

【题干】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点B为圆心，BC长为半径作⊙B，点A，C及AB，AC的中点D，E与⊙B有怎样的位置关系？

【答案】见解析

【解析】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，

∴AB＝＝5 cm.

∵⊙B的半径为3 cm，

而AB＝5 cm>3 cm，∴点A在⊙B外．

又∵BC＝3 cm＝r，∴点C在⊙B上．

∵D是AB的中点，

∴BD＝AB＝2.5 cm，

∴BD<3 cm，∴点D在⊙B内．

连接BE，∵BE>BC>3 cm，∴点E在⊙B外．

【题干】由于过度砍伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400 km的B处，正在向西北方向移动，若距沙尘暴中心300 km的范围内将受到影响，则A市是否会受到这次沙尘暴的影响？

【答案】见解析

【解析】如下图，过点A作AC⊥BD于点C.

由题意，得AB＝400 km，∠DBA＝45°.

在Rt△ACB中，∵sin∠DBA＝，∴AC＝AB·sin∠DBA＝400×＝200≈282.8(km)．

∵282.8＜300，

∴A市将会受到这次沙尘暴的影响．

【题干】如图所示，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论：①OE＝OF；②AC＝CD＝DB；③CD∥AB；④＝.其中正确的有(       )

A．4个      B．3个 

C．2个      D．1个

【答案】B

【解析】①③④正确

【教学建议】

在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数的平移上，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习，注意各个二次函数的图象的平移情况，它们之间是怎么样平移的，总结平移的规律，抓住抛物线性质的变与不变。

1.若点P到⊙O的最小距离为6 cm，最大距离为8 cm，则⊙O的半径是         。

【答案】1cm或7cm

【解析】考虑两种情况

2.设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为m，且关于x的方程2x2－2x＋m－1＝0有实数根，试确定点P与⊙O的位置关系．

【答案】点P在⊙O内或⊙O上

【解析】由题意知b2－4ac＝(－2)2－4×2×(m－1)≥0，即m≤2.

而⊙O的半径r＝2，∴m≤r.

∴点P在⊙O内或⊙O上．

3.下列说法中，正确的是(　　)

A．等弦所对的弧相等     B．等弧所对的弦相等

C．圆心角相等，所对的弦相等   D．弦相等，所对的圆心角相等

【答案】B

【解析】紧扣定义即可

4.如图，在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是多少？

【答案】125°

【解析】如图，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F.

由⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，

可以证明OD＝OE＝OF，

即∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，

所以∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)

＝180°－＝90°＋∠A＝125°.

1.如图所示，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由．

【答案】见解析

【解析】当点P与点O重合时，PA＝PB＝PC，

当点P在OA上时，PA＜PC＜PB.

理由：连接OC，

在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC，

∵OA＝OB＝OC，

∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴PA＜PC＜PB，

同理，当P点在OB上时，PB＜PC＜PA.

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4.如果以点A为圆心，AC长为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是(　　)

A．点D在⊙A外    B．点D在⊙A上

C．点D在⊙A内    D．无法确定

【答案】A

【解析】提示：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。

3.如图所示，在⊙O中，如果＝，那么AB＝________，∠AOB＝∠______；若OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE______OF.

【答案】CD　∠COD　＝

【解析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。

4.如图所示，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是________．

【答案】51°

【解析】根据弧相等则边相等，等边对等角，平角是180°等可求。

1.设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为OP，且OP的长是关于x的方程x2－3x＋2＝0的实数根，试确定点P与⊙O的位置关系．

【答案】见解析

【解析】解方程x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，∴当OP＝1时，点P在⊙O内；当OP＝2时，点P在⊙O上．故点P在⊙O内或⊙O上．

2.如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F.

求证：AE＝BF＝CD.

【答案】见解析

【解析】证明：如图所示，连接AC，

∵C，D是的三等分点．∴AC＝CD，

∴∠AOC＝∠DOB＝30°.

又∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴△AOE≌△BOF，

∴AE＝BF.

∵OA＝OC，∠AOC＝30°，∴∠ACO＝∠OAC＝75°.

又∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAE＝45°.

∵∠AEC＝∠AOC＋∠OAE＝30°＋45°＝75°，

∴∠ACE＝∠AEC，∴AE＝AC，∴AE＝BF＝CD.

3.如图，已知A，B，C是半径为2的⊙O上的三个点，其中A是的中点，连接AB，AC，点D，E分别在弦AB，AC上，且满足AD＝CE.

(1)求证：OD＝OE；

(2)连接BC，当BC＝2时，求∠DOE的度数．

【答案】见解析

【解析】(1)证明：连接OA，OB，OC，

∵A是的中点，

∴∠AOB＝∠AOC.

∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO＝∠ACO.

∵AD＝CE，

∴△AOD≌△COE，∴OD＝OE.

(2)连接BC交OA于点F，由条件可知AO是BC的垂直平分线，

∴OA⊥BC，BF＝CF＝.

在Rt△BFO中，OF＝＝，

∴BF＝OF，∴∠AOB＝45°.

∵△AOD≌△COE，

∴∠AOD＝∠COE，

∴∠BOD＝∠AOE，

∴∠DOE＝∠AOB＝45°.

1.掌握圆的定义及圆的性质.

2.掌握圆的对称性

1. 已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是(　　)

A．点A在⊙O上  B．点A在⊙O内

C．点A在⊙O外  D．点A与圆心O重合

【答案】 C

【解析】根据定义判断

2. 如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，CE∥AB，所对的圆心角的度数为75°，则∠BOC＝________．

【答案】127.5°

【解析】提示：连接OE，平行线转移角，圆中半径处处相等，等边对等角，三角形内角和180度。

3.如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M．则有AM=_____， _____= ， ____= ．

【答案】BM   

【解析】根据圆的对称性

1.如下图所示，在△ABC中，AB为的⊙O直径，∠B=60°，∠C=70°，则∠BOD的度数是（      ）

A．80°           B．90°            C．100°            D．120°

【答案】100°

【解析】根据三角形内角和，等边对等角，平角是180°可求得。

2.如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2.设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是(            )

【答案】A

【解析】做高，根据三角函数求高，然后根据三角形面积公式可得。

3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8 cm，AB＝10 cm，CD是斜边AB的中线，以AC为直径作⊙O，P为CD的中点，点C，P，D与⊙O有怎样的位置关系？

【答案】见解析

【解析】如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8 cm，AB＝10 cm，

∴AC＝＝6 cm.

∴OC＝AC＝×6＝3(cm)．

连接OP.∵P为CD的中点，

∴OP＝AD＝AB＝2.5(cm)．

∵⊙O的半径r＝OC＝AC＝3 cm，

∴点C在⊙O上，点P在⊙O内．

连接OD.∵D为AB的中点，∴OD＝BC＝×8＝4(cm)>3 cm，∴点D在⊙O外．

1.如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形。

【答案】见解析

【解析】解答：

(1)证明：连接OD，OE，则OD=OE，

∵四边形CDEF为正方形

∴CD=FE,∠DCO=∠EFO=90∘，

∴在Rt△DOC和Rt△EOF中：

OD=OE，CD=FE

∴Rt△DOC≌Rt△EOF，∴OC=OF.

(2)连接OH,设正方形FGHK的边长为x.

由已知及(1)可得EF=2，OF=1.

在Rt△OEF中,OE2=OF2+EF2=12+22=5.

在Rt△OHG中,OH2=OG2+GH2，OE=OH，

∴5=(1+x)2+x2.

整理得x2+x−2=0.

解得x1=−2(不合题意,舍去),

x2=1.∴x2=1  ∴正方形FGHK的面积为1.

2.如图，MN是⊙O的直径，弦AB，CD相交于直线MN上的一点P，∠APM＝∠CPM.

(1)如图①，根据以上条件，若交点P在⊙O的内部，试判断AB和CD的大小关系，并说明理由．

(2)如图②，若交点P在⊙O的外部，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【答案】见解析

【解析】解：(1)AB＝CD.

理由：过点O分别作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F.

∵∠APM＝∠CPM，∠APM＝∠BPN，∠CPM＝∠DPN，∴∠OPE＝∠OPF.

∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠OEP＝∠OFP＝90°.

又∵OP＝OP，∴△OPE≌△OPF，∴OE＝OF，

∴AB＝CD.

(2)AB＝CD仍然成立．

证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.

∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠OEP＝∠OFP＝90°.

∵∠APM＝∠CPM，OP＝OP，

∴△OPE≌△OPF，∴OE＝OF，∴AB＝CD.

3.小贾和同学一起到游乐场玩大型摩天轮．摩天轮的半径为20 m，匀速转动一周需要12 min，小贾乘坐最底部的车厢(离地面0.5 m)．

(1)经过2 min后小贾到达点Q(如下图)，此时他离地面的高度是多少？

(2)在摩天轮转动的过程中，小贾将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5 m的空中？

【答案】见解析

【解析】解：(1)作QC⊥OA，垂足为C，连接OQ，如图3－2－34.

∵旋转一周需要12 min，

∴∠AOQ＝×360°＝60°.

在Rt△OQC中，OQ＝20 m，

∴OC＝OQ×cos60°＝20×＝10(m)，

∴CA＝OA－OC＝20＋0.5－10＝10.5(m)．

即小贾从底部开始旋转2 min后离地面10.5 m.

(2)延长AO交⊙O于点H.设小贾在D处离地面30.5 m，作DP⊥AH，垂足为G，连接OD，OP，则GA＝30.5 m，

∴HG＝10 m，OG＝10 m.

由sinD＝＝＝，得∠D＝30°，

∴∠DOG＝60°，∴由点D转到点H所用时间为×12＝2(min)．

由于摩天轮匀速转动，根据圆的对称性，则小贾将有4 min的时间连续保持在离地面不低于30.5 m的空中．