北师大版九年级下册8 圆内接正多边形测试题

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册3.8圆内接正多边形 同步测试

一、单选题

1．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　） 

A． B． C． D．

2．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（　　）  

A． B． C． D．

3．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（　　）  

A．3  B．3  C．   D．

4．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是 的一点，则∠CPD的度数是（　　） 

A．30° B．36° C．45° D．72°

5．已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六边形的边心距是（　　） 

A．2 B．1 C． D．

6．圆内接正六边形的边长为3，则该圆内接正三角形的边长为（　　） 

A． B． C． D．

7．如图，正六边形ABCDEF，点P在直线AB上移动，若点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等，则直线AB上满足条件的点P共有（　　） 

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

8．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°

9．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（　　）

A．16 B．12 C．8 D．6

10．如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(　　)
 

A．6mm B．12mm C．6mm D．4mm

二、填空题

11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　     　．

12．正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n=　     　．

13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于　     　．

14．如果正n边形的中心角是40°，那么n=　     　.

15．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是　     　。

三、解答题

16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积． 

17．如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

（1）作△ABC的外心O；

（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．

18．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．

19．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．

20．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．

（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；

（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．

21．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．

（1）求∠BPC的度数；

（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．

22．如图③，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延长线交AE于点F．

（1）在图①中，求∠AFB的度数；

（2）在图②中，∠AFB的度数为，图③中，∠AFB的度数为；

（3）继续探索，可将本题推广到一般的正n边形情况，用含n的式子表示∠AFB的度数．

23．问题探究

（1）请在图（1）中作出两条直线，使它们将圆面积四等分，并写出作图过程；

拓展应用

（2）如图（2），M是正方形ABCD内一定点，G是对角线AC、BD的交点．连接GM并延长，分别交AD、BC于P、N．过G做直线EF⊥GM，分别交AB、CD于E、F．求证：PN、EF将正方形ABCD的面积四等分．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】B

6．【答案】B

7．【答案】B

8．【答案】B

9．【答案】C

10．【答案】C

11．【答案】

12．【答案】12

13．【答案】 π

14．【答案】9

15．【答案】

16．【答案】解：∵正方形的面积等于4， 

∴正方形的边长AB=2，

则半径是2× = ，

∴⊙O的面积=π（ ）2=2π．

17．【答案】（1）解：如图所示：点O即为所求．

（2）解：如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．

18．【答案】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD= BC= AB= ，∴cos30°= = = ，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．

19．【答案】解：连接OB，OC，OD，

∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，

∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，

∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，

∵OC=OD，

∴∠OCD=45°，

∴OC=CD•cos45°=5×=5（cm）．

即⊙O的半径R=5cm．

20．【答案】解：（1）连接BF，则有BF∥AG．

理由如下：

∵ABCDEFGH是正八边形，

∴它的内角都为135°．

又∵HA=HG，

∴∠1=22.5°，

从而∠2=135°﹣∠1=112.5°．

由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，

∴

即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．

（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°，

∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，

∴四边形PQMN是矩形．

又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，

∴△PAH≌△QCB≌△MDE，

∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，

故四边形PQMN是正方形．

在Rt△PAB中，∵∠PAH=45°，AB=2，

∴PA=AB，

∴PQ=PA+AB+BQ=．

故S四边形PQMN=．

21．【答案】解：（1）连接OB，OC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BOC=90°，

∴∠P=∠BOC=45°；

（2）过点O作OE⊥BC于点E，

∵OB=OC，∠BOC=90°，

∴∠OBE=45°，

∴OE=BE，

∵OE2+BE2=OB2，

∴BE==4

∴BC=2BE=2×4=8．

22．【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ABE=∠BCD=120°．

∵△ABE与△BCD能相互重合，

∴∠E=∠D，∠DBC=∠BAE．

∵∠FBE=∠CBD，

∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°；

（2）图②中，∵△ABE与△BCD能相互重合，

∴∠E=∠D．

∵∠FBE=∠CBD，∠D+∠CBD=90°，

∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=90°；

同理可得，图③中∠AFB=108°．

（3）由（1）（2）可知，在正n边形中，∠AFB=．

23．【答案】（1）解：过点O首先作一条直线b，进而过点O作直线b的垂线a，即可将圆面积四等分；

（2）证明：在△AGP和△CGN中

，

∴△AGP≌△CGN（ASA），

同理可得出：△GPD≌△GNB，

△AEG≌△BNG≌△CFG≌△DPG，

△AGP≌△CGN≌△BGE≌△DGB，

∴S四边形AEGP=S四边形EBNG=S四边形CNGF=S四边形DFGP，

∴PN、EF将正方形ABCD的面积四等分．