初中数学北师大版九年级下册8 圆内接正多边形公开课教案设计

这是一份初中数学北师大版九年级下册8 圆内接正多边形公开课教案设计，共11页。教案主要包含了教师准备，学生准备，师生活动，学生活动，教师点评，活动方式，基础巩固，能力提升等内容，欢迎下载使用。

8　圆内接正多边形





1.了解圆内接正多边形的概念及相关概念.
2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.
3.会用尺规作圆的内接正多边形.

学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力.

1.通过合作交流、探索、实践培养学生的主体意识.
2.通过学习,体验数学与生活的紧密联系,感受圆的对称美,正多边形与圆的和谐美,从而更加热爱生活,珍爱生命.

【重点】　掌握圆内接正多边形的性质并能加以熟练运用.
【难点】　用尺规作圆内接正多边形.

【教师准备】　多媒体课件和圆规.
【学生准备】　
1.复习勾股定理和垂径定理等相关知识.
2.圆规、直尺.



导入一:
如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的,图中的多边形是什么图形?它与圆的内接三角形有什么相同之处吗?

学生分析:图中的多边形是正六边形,它与圆的内接三角形一样顶点都在圆上.
【问题】　它有哪些性质?它又是如何画出来的呢?
[设计意图]　利用类比的方法,使学生初步感知圆内接多边形的模型,利用学生急于知道答案的心理设计问题,增加了它的神秘感,更加激发了学生的求知欲望.
导入二:

如图所示的是正六边形的蓝色纸板,如果以它的中心为圆心,以中心到顶点的距离为半径画圆,你会有什么发现?
【师生活动】　学生利用直尺和圆规动手操作,进行画图,教师巡视,对于发现的问题及时予以纠正,学生完成后与同伴交流,然后教师出示课件,供学生参考.让学生说出自己发现的结论,师生共同订正.
【问题】　六边形和圆有什么样的位置关系?如果先给你一个圆,你能在圆中画出正六边形吗?
[设计意图]　 在教学中创设问题情境,激发学生对探索圆内接正多边形的兴趣.通过学生的作图活动,使学生明确这节课的学习任务,利于学生集中精力学习重点内容.

　　[过渡语]　前面我们探究了圆内接三角形的概念及性质,和圆有关的其他多边形又有什么样的特征呢?
一、圆内接正多边形的概念
课件出示:
如图所示:

【问题】　
1.你能从这四幅图中找出多边形吗?它们都是几边形?
2.它们都是什么样的多边形?
3.这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?
【学生活动】　学生观察,与同伴交流,思考后得出结论.
【教师点评】　每个多边形的边长都相等,所以它们都是正多边形,并且这些正多边形的顶点都在圆上.
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
　　[过渡语]　我们如何简单、快速地作出圆的内接正多边形呢?
教师引导学生思考下面的问题:
1.如何作圆内接正三角形?正四边形?正五边形?正六边形?
2.如何作圆内接正n边形?
【活动方式】　分组活动,全班分成四个组分别作四种图形.
【师生活动】　学生思考后讨论,教师巡视,并参与到学生的讨论中去.然后学生作出圆的内接正多边形.请代表发言,说出他们的作法.
【教师点评】　利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法:
把一个圆n等分(n≥3),依次连接各分点,就可以作出一个圆内接正多边形.
　　[过渡语]　下面我们了解一下圆内接正多边形的相关概念.

课件出示:
如图所示,五边形ABCDE是☉O的内接五边形.
【活动方式】　让学生通过图形,结合课本,自己了解圆内接正五边形的相关概念.
【教师点评】　圆心O叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径,∠AOB是这个正五边形的中心角;OM⊥BC,垂足为M,OM是这个正五边形的边心距.
[设计意图]　学生经历观察、猜想、操作的过程,逐步掌握了圆内接正多边形的相关概念和作法,并利用类比推理的方法得到其性质,提高了学生解决问题的综合能力.
[知识拓展]　正n边形的性质:
1.正n边形的每个中心角都相等,都等于;
2.正n边形的每个外角都相等,都等于;
3.正n边形的每个内角都相等,都等于180°-.
　　[过渡语]　上面我们了解了圆内接正多边形的概念及性质,请你运用这些知识解决下面的问题.
二、圆内接正多边形性质的运用
课件出示:

　如图所示,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,OG⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
〔解析〕　在由半径OC、边长的一半CG、边心距OG组成的Rt△OGC中,利用勾股定理进行解决是解题的关键,而求解边长,则连接OD得出△OCD是等边三角形就可以得出OC=CD=4.
解:连接OD.
∵六边形ABCDEF为正六边形,
∴∠COD==60°.
∴△COD为等边三角形,
∴CD=OC=4.
在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2,
∴OG===2.
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°,边长为4,边心距为2.
[设计意图]　此例是教材上的例题,紧扣这堂课的知识点,重点是对基础知识的巩固,并在巩固重点之余又培养了灵活应用能力.
[知识拓展]　特殊的圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:
正多边形
图形
边长、半径、边心距之比
正三角形

2∶2∶1
正四边形

2∶∶1
正六边形

2∶2∶
　　[过渡语]　前面我们已经掌握了利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法,你能用尺规作圆内接正多边形吗?
三、用尺规作圆内接正多边形
课件出示:
【做一做】　你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗?
教师引导学生思考下面的问题:
1.通过例题探究圆的内接正六边形的边长与圆的半径有什么关系.
2.你能利用圆的内接正六边形的边长与圆的半径的关系利用尺规进行作图了吗?
【学生活动】　学生首先独立作图,然后小组交流,代表展示.
【教师点评】　利用尺规作圆内接正多边形的思路还是等分圆.
以作圆内接正六边形为例.
作法:

(1)作☉O的任意一条直径FC.
(2)分别以F,C为圆心,以☉O的半径R为半径作弧,与☉O相交于点E,A和D,B.
(3)顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,便得到正六边形ABCDEF.
[设计意图]　操作性强又富有挑战性的数学活动,有利于激发学生的学习兴趣,掌握尺规作图的方法的同时,为下面的应用打下了良好的基础.
　　[过渡语]　你利用这种方法还能作圆的内接正多边形吗?
课件出示:
【想一想】　你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?你是怎么做的?与同伴进行交流.
【学生活动】　学生自己独立完成.代表说出作法:
作一个☉O,取☉O直径为AB,作AB的垂直平分线交☉O于C,D,顺次连接A,C,B,D,四边形ACBD即为☉O的内接正四边形.
[设计意图]　通过动手操作不但提高了学生的作图能力,还进一步巩固了本节课所学的知识,一举两得.

1.圆内接正多边形的概念及相关概念.
2.圆内接正多边形的性质.
3.圆内接正多边形的尺规作法.

1.如图所示,☉O是正方形ABCD的外接圆,点P在☉O上,则∠APB等于 (　　)
A.30°
B.45°
C.55°
D.60°

解析:连接OA,OB.根据正方形的性质,得∠AOB=90°.再根据圆周角定理,得∠APB=45°.故选B.
2.如图(1)所示,要拧开一个边长为a=6 mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为 (　　)
　　A.6 mm B.12 mm
　　C.6 mm D.4 mm

解析:如图(2)所示,设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∴AC⊥OB,AM=MC,∵AB=6 mm,∠AOB=60°,∴cos∠BAC=,∴AM=6×=3,∴AC=2AM=6(mm).故选C.
3.(南京中考)如图所示,AD是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠BAD=　　　　. 
解析:如图所示,设O是正五边形的中心,作出正五边形ABCDE的外接圆,连接OD,OB,则∠DOB=×360°=144°,∴∠BAD=∠DOB=72°.故填72°.

4.(江西中考)如图所示,△ABC内接于☉O,AO=2,BC=2,则∠BAC的度数为　　　　. 

解析:连接OB,OC,作OD⊥BC于D,如图所示,∵OD⊥BC,∴BD=BC=×2=,在Rt△OBD中,OB=OA=2,BD=,∴cos∠OBD==,∴∠OBD=30°,∵OB=OC,∴∠OCB=30°,∴∠BOC=120°,∴∠BAC=∠BOC=60°.故填60°.
5.已知正六边形ABCDEF的外接圆的半径为2 cm,求这个正六边形的边长、周长和面积.
解:∵正六边形的外接圆的半径等于边长,
∴正六边形的边长=2 cm;
正六边形的周长l=6×2=12(cm);
正六边形的面积S=6××2×=6(cm2).

8　圆内接正多边形
1.圆内接正多边形:
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
2.正n边形的性质:
(1)正n边形的每个中心角都相等,都等于;
(2)正n边形的每个外角都相等,都等于;
(3)正n边形的每个内角都相等,都等于180°- .

一、教材作业
【必做题】
1.教材第98页随堂练习.
2.教材第99页习题3.10第1,2,3题.
【选做题】
教材第99页习题3.10第4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 (　　)
A.6,3 B.3,3
C.6,3 D.6,3
2.(天津中考)正六边形的边心距为,则该正六边形的边长是 (　　)
A. B.2 C.3 D.2
3.(德阳中考)半径为1的圆内接正三角形的边心距为　　　　. 

4.如图所示,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若A点的坐标为(-1,0),则点C的坐标为　　　　. 
【能力提升】
5.(玉林中考)蜂巢的构造非常美丽、科学,如图所示的是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC是直角三角形的个数有 (　　)
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个

6.已知☉O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为　　　　. 
7.如图所示,已知正方形ABCD的边心距OE= cm,求这个正方形外接圆☉O的面积.

8.作已知圆的内接正八边形.
9.如图①所示,有一个宝塔,它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE(如图②所示),点O为中心.(下列各题结果精确到0.1 m)
(1)求地基的中心到边缘的距离;
(2)已知塔的墙体宽为1 m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像,并且留出最窄处为1.6 m的观光通道,那么塑像底座的半径最大是多少?

【拓展探究】
10.小敏在作☉O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:
(1)作☉O的两条互相垂直的直径,再作OA的垂直平分线交OA于点M,如图(1)所示;
(2)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交CA于点D,连接BD,如图(2).若☉O的半径为1,则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是 (　　)
A.BD2=OD B.BD2=OD
C.BD2=OD D.BD2=OD

【答案与解析】
1.B(解析:如图所示,∵正方形的边长为6,∴AB=3,又∵∠AOB=45°,∴OB=3.∴AO==3.故选B.)

2.B(解析:如图所示,∵正六边形的边心距为,∴OB=,又AB=OA,OA2=AB2+OB2,∴OA2=+()2,解得OA=2.)

3. (解析:如图所示,△ABC是☉O的内接等边三角形,OB=1,OD⊥BC.∵等边三角形的内心和外心重合,∴OB平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴∠BDO=90°,又∵OB=1,∴OD=.)

4.(解析:连接OE,由正六边形是轴对称图形知:在Rt△OEG中,∠GOE=30°,OE=1.∴GE=,OG=,∴E,∴C.)

5.C (解析:如图所示,AB是直角边时,点C共有6个位置,即有6个直角三角形,AB是斜边时,点C共有2个位置,即有2个直角三角形.综上所述,△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个.故选C.)

6.(解析:如图所示,连接OB,OC,过O作OD⊥BC于D,∵☉O的面积为2π,∴☉O的半径为.∵△ABC为正三角形,∴∠BOC==120°,∠BOD=∠BOC=60°,OB=,∴BD=OB·sin∠BOD=·sin 60°=,∴BC=2BD=,又OD=OB·cos∠BOD=·cos 60°=,∴△BOC的面积=·BC·OD=××=,∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=.)

7.解:如图所示,连接OC,OD,∵圆O是正方形ABCD的外接圆,∴O是对角线AC,BD的交点,∴∠ODE=∠ADC=45°,∵OE⊥CD,∴∠OED=90°,∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=45°,∴OE=DE=,由勾股定理得OD==2,∴这个正方形外接圆☉O的面积是π·22=4π.答:这个正方形外接圆☉O的面积是4π.

8.作法:
(1)画任意一条直径;
(2)把直径看做一个平角作其角平分线,把平角分成两个直角,再作每个直角的角平分线;
(3)将角平分线反向延长在圆上得到八等分点;
(4)顺次连接即得正八边形.

9.解:(1)作OM⊥AB于点M,连接OA,OB,则OM为边心距,∠AOB是中心角.由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°.又AB=×26=5.2,∴AM=2.6,∠AOM=36°,在Rt△AMO中,边心距OM= =≈3.6(m).答:地基的中心到边缘的距离约为3.6 m.　(2)3.6-1-1.6=1(m).答:塑像底座的半径最大约为1 m.

10.C(解析:如图所示,连接BM,根据题意得OB=OA=1,AD⊥OB,BM=DM,∵OA的垂直平分线交OA于点M,∴OM=AM=OA=,∴BM= =,∴DM=,∴OD=DM-OM=-=,∴BD2=OD2+OB2===OD.)




利用现实生活中的素材,使学生产生一种亲切感,有效激发学生的求知和探索的欲望,取得了极佳的效果.本节课由于知识比较简单,所以前三个探究活动都完全要给学生去处理,老师要相信学生,他们完全有能力完成这些探究任务,事实证明学生完成得非常出色;对于第四个利用尺规作圆内接正多边形的探究,对部分学生来说有一定难度,教师重点在于引导学生弄清楚尺规作图的依据和方法,千万不能越俎代庖,直接告诉学生利用尺规作圆内接正多边形的方法,这样只能解决现实问题,不利于学生后面探究过程的顺利进行.

本节课设计的探究活动比较多,并且还拓展了一部分知识,所以时间略显紧张.

对于拓展的内容,再讲时可以酌情减少一些内容或放到课下留给学生探究.

随堂练习(教材第98页)

解:如图所示,△ABC是☉O的内接正三角形,OB=6 cm,OD⊥BC.∵正三角形的内心和外心重合,∴BO平分∠ABC,则∠OBD=30°.∵OD⊥BC,∴BD=DC,又∵OB=6 cm,∴OD=3 cm,BD=3 cm,则BC=6 cm.
习题3.10(教材第99页)

1.解:∵剪去三个三角形,得到正六边形,∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形,且被剪的正三角形的边长为6,∴得到正六边形的边长为=2.如图所示,正六边形的边长HK=2,∠HOK==60°,∵OH=OK,∴△HOK是等边三角形,∴OH=HK=2.∵OM⊥HK,∴∠HOM=30°,OM=OH·cos 30°=2×=,S△HOK=HK·OM=×2×=,∴S正六边形=6S△HOK=6.∴这个正六边形的面积为6.
2.解:边长为6 cm,边心距为3 cm,面积为72 cm2.
3.解:各边相等的圆内接四边形是正方形.各角相等的圆内接四边形不一定是正方形,也可能是矩形.
4.解:(1)如图(1)所示,连接OB,过O作OD⊥BC于D,则∠OBC=30°,BD=OB·cos 30°=r,故a=BC=2BD=r.如图(2)所示,连接OB,OC,过O作OE⊥BC于E,则△OBE是等腰直角三角形,2BE2=OB2,即BE=r,故b=BC=r.如图(3)所示,连接OA,OB,过O作OG⊥AB,则△OAB是等边三角形,AG=OA·sin 30°=r,故c=AB=2AG=r.　(2)以a,b,c为边可以构成直角三角形.因为(r)2+r2=3r2,(r)2=3r2,所以(r)2+r2=(r)2.

5.可以得到一个“五角星”的图案,图略.


1.由于本节课的知识比较简单,所以可以让学生通过自主探究掌握大部分内容,运用观察、猜想的方法可以得出圆内接正多边形的概念.
2.利用类比圆内接正五边形的方法可以总结出圆内接正多边形的中心角、边心距等相关概念.
3.利用转化的思想把正多边形的问题转化为直角三角形的问题是进行圆内接正多边形的计算的重中之重,是求中心角、边心距、半径的关键所在.
4.动手操作、掌握方法则是探究尺规作圆内接正多边形的根本,要重点掌握.

　有一个亭子,它的地基是半径为8 m的正六边形,求地基的周长和面积.
〔解析〕　连接OB,OC求出∠BOC的度数,再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长;过O作△OBC的高OG,利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG的长,利用三角形的面积公式即可解答.

解:连接OB,OC.
∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOC==60°,
∴△OBC是等边三角形,∴BC=OB=8 m,∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48(m).
过O作OG⊥BC于G,∵△OBC是等边三角形,OB=8 m,∴∠OBC=60°,
∴OG=OB·sin∠OBC=8×=4(m),∴S△OBC=BC·OG=×8×4=16(m2),
∴S六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96(m2).