初中数学北师大版九年级下册4 解直角三角形教案设计

这是一份初中数学北师大版九年级下册4 解直角三角形教案设计，共17页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第3讲


讲














解直角三角形


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是让学生掌握解直角三角形的方法，规范解直角三角形的书写格式等问题。在授课过程中，教师要注重易错点的点拨，在解题时，要帮助学生积累一些基本的直角三角形模型。


学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1. 三角函数种类的选择。


2. 三种类型直角三角形的解法。


3.实际问题中的解直角三角形。


【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


解直角三角形为中考必考内容，至少有一道是解答题，常是利用解直角三角形的相关知识来解决实际问题。在解直角三角形的综合题中，常与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。在教学中，一要注意强调书写格式问题；二是要给学生储备典型的直角三角形模型（如：背靠背型和母子型等）。





二、知识讲解








知识点1 已知两边解直角三角形











知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形











知识点3 已知一边及一锐角三角函数值解三角形





教师和学生一起总结已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形的所有情况


一直角边+其对角的三角函数值


一直角边+其邻角的三角函数值


一斜边+任意一锐角的三角函数值





三、例题精析








例题1





【题干】如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为α，则tanα的值为（ ）。





A、 B、 C、 D、


【答案】C


【解析】在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值．


解：如图；





在Rt△ABC中，AC=l=10米，BC=h=6米；


根据勾股定理，得：AB= =8米；


∴tanθ=；


故选C．





例题2





【题干】王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ）





A、50m B、100m C、150m D、100m


【答案】D


【解析】根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．


解答：解：AD=AB•sin60°=50；


BD=AB•cs60°=50，∴CD=150．


∴AC==100．


故选D．





例题3





【题干】如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）





A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米


【答案】D


【解析】








例题4





【题干】如图，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2，AD=2，则四边形ABCD的面积是（ ）





A.4B.4C.4 D.6


【答案】A


【解析】作辅作线，构造直角三角形，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后四边形ABCD的面积．


分别延长CD，BA交于点E．





∵∠DAB=135°，


∴∠EAD=∠C=∠E=45°，


∴BE=BC=2，AD=ED=2，


∴四边形ABCD的面积=S△EBC-S△ADE=BC•BE-AD•DE=6-2=4


故选D.








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在解直角三角形的三种类型上，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习，注意基本模型的总结和积累。





基础





1. 在Rt△ABC中，，，，则∠A的度数为（ ）。


A、90° B、60° C、45° D、30°


【答案】D


【解析】





2.如图是固定电线杆的示意图。已知：CD⊥AB，CDm，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC的长是__________m。





【答案】6


【解析】根据∠CAD的正弦函数即可求得结果.


由图可得sin∠CAD ，，解得


3.某水坝的坡度i＝1: ，坡长AB＝20米，则坝的高度为


A．10米B．20米C．40米D．20米


【答案】A


【解析】∵坡度i=1：，


∴设AC=x，BC=x，


根据勾股定理得，


AC2+BC2=AB2，


则x2+（x）2=202，


解得x=10．


故选A．





巩固





1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形．


【答案】见解析


【解析】∵tanA==，


∴∠A=60°．


∠B=90°-∠A=90°-60°=30°．


AB=2AC=2．


2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，已知sinA=，BD=2，求BC的长。





【答案】见解析


【解析】本题考查相似三角形的判定，性质及三角函数的应用


因为，所以；


又于点，则


所以


因为，所以


因为


所以，又


所以，故


即





拔高





1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=，求∠B的度数及边BC、AB的长.





【答案】见解析


【解析】在Rt△ACD中，根据∠CAD的余弦函数即可求得∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，从而得到∠CAB=60°，∠B=90°－∠CAB=30°，再根据∠B的正弦函数即可求得AB的长，从而求得BC的长.


在Rt△ACD中，∵cs∠CAD===，∠CAD为锐角.


∴∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，即∠CAB=60°.


∴∠B=90°－∠CAB=30°.


∵sinB=，∴AB===16.


又∵csB=，


∴BC=AB·csB=16·=8.


2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，问这栋高栋有多高？（结果精确到0.1m）





【答案】见解析


【解析】解：α=30°，β=60°，AD=120．


∵tanα=


∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120×=4，


CD=AD·tanβ=120×tan60°=120×=120，


∴BC=BD+CD=40+120=160≈277.1．


答：这栋楼房约为277.1m．





3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cs∠DAC．


（1）求证：AC=BD;（2）若sinC=，BC=12，求AD的长．





【答案】见解析


【解析】在△ABC中，AD是BC边上的高，


∴tanB=


又∵tanB=cs∠DAC．∴BD=AC．


（2）∵sinC=，设AD=12x，AC=13x，∴CD=5x，BD=13x，则BC=18x，


又∵BC=12，∴18x=12，即x=，


∴AD=8．











课堂小结





已知两边解直角三角形的方法；


2.已知一边及一锐角解三角形的方法


3.已知一边及一锐角三角函数值解三角形的方法











拓展延伸








基础





1. 如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1200m，从飞机上看到地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为（ ）





A.1200 m B.1200 m C.1200 m D.2400 m





【答案】D


【解析】利用∠B的正弦函数即可得到．


2. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡度为：1，坡长AB=20m，为加强水坝强度，将坝底从A处向后延伸到F处，使新的背水坡BF的坡度为1:1，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）.





【答案】13


【解析】过B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，


则∠BAE＝60°，∴AE＝BE＝10，BE＝30，tan∠BFE＝＝1，∴BE＝EF＝30，∴AF＝EF－AE＝30－10≈13 m





巩固





1.如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h.经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°,此时B处距离码头O有多远？


（参考数据：，，）


【答案】13.5


【解析】设B处距离码头O有xkm，在Rt△CAO中，∠CAO＝45°.∵.


∴，在Rt△DBO中，∠DBO＝58°，


∵，∴，∵，


∴，∴，


因此，B处距离码头O大约13.5km.





2.如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°.已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC＝21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数点后一位）.参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90.





【答案】20.5


【解析】如图，根据题意，DE＝1.56，EC＝21，∠ACE＝90°，∠DEC＝90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F，则∠DFC＝90°，∠ADF＝47°，∠BDF＝42°，可得四边形DECF为矩形，∴DF＝EC＝21，FC＝DE＝1.56，在Rt△DFA中，tan∠ADF＝，∴AF＝DF·tan47°≈21×1.07＝22.47，在Rt△DFB中，tan∠BDF＝，∴BF＝DF·tan42°≈21×0.90＝18.90，于是，AB＝AF－BF≈22.47－18.90＝3.57≈3.6，BC＝BF＋FC≈18.90＋1.56＝20.46≈20.5.


答：旗杆AB的高度约为3.6m，建筑物BC的高度约为20.5m.





拔高





1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，


（1）求的值；


（2）求sinA的值.





【答案】见解析


【解析】（1）在AC上取点E，使AE＝BE，则∠CEB＝30°，设BC＝1，则BE＝2，CE＝，


AC＝2＋，∴AB2＝（2＋）2＋1＝8＋4，AB＝（＋1）＝＋，＝2＋.


（2）sinA＝＝＝.





2.如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cs47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）








【答案】见解析


【解析】在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，


∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．


在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，


∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．


∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．


答：缆车垂直上升了246.28米．





3.施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行，现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离


AB＝4米，斜面距离BC＝4.25米，斜坡总长DE＝85米.


(1)求坡角∠D的度数.(结果精确到1°)


（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？


(参考数据：，，，)





【答案】 见解析


【解析】（1），∴.


(2) 米，共需台阶级.











教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.已知两边解三角形


2.已知一边及一锐角解三角形


3.已知一边及一锐角三角函数值解三角形
教学目标
1.掌握解直角三角形的定义


2.掌握解直角三角形的方法
教学重点
能熟练掌握解直角三角形的方法
教学难点
能熟练掌握解直角三角形的方法
类型
已知
解法
两边
两直角边a，b
由tanA＝，求；＝90°－；c＝
一直角边a，斜边c
由sinA＝，求；＝90°－；b＝
一边一锐角
一直角边a，锐角A
＝90°－，b＝a．tanB，c＝
斜边c，锐角A
＝90°－，a＝c．sinA，b＝c．csA
∵腰的坡度为i=2：3，路基高是4米，


∴DE=6米．


又∵EF=AB=3．


∴CD=6+3+6=15米．


故选D．
；


如图所示: ，选D；