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初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质教学设计及反思
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这是一份初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质教学设计及反思，共17页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。
第6讲
讲
二次函数的图像与性质1
概述
【教学建议】
本节的教学重点是让学生经历研究函数的一般过程，去探索最简单的二次函数的图象与性质，为以后的类比迁移做好铺垫。在授课过程中，教师要注重从研究函数的五个方面引导学生去观察二次函数的图象，体会数形结合在解题中的作用。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：
1.对二次项系数a的理解；
2.对抛物线的开口方向和大小、对称轴、顶点坐标、最值、增减性的理解；
3.什么样的二次函数可以相互平移及其原因。
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
二次函数在中考中占有的地位毋容置疑，本节作为二次函数的图象与性质的基础，学好本节可以很好地迁移到后续复杂的二次函数的图象与性质的学习中去。教师在教学中要注重对二次项系数a的理解以及二次函数的上下平移及其增减性，这是中考常出题型。
二、知识讲解
知识点1 二次函数的图像与性质
知识点2 二次函数的图像与性质
知识点3 二次函数的图像与性质
形
三、例题精析
例题1
【题干】在直角坐标系中，画出y=3x2的图象
【答案】列表如下：
画图如图：
【解析】按照列表-描点-连线的步骤进行即可。
例题2
【题干】在同一直角坐标系中，画函数y=x2,y=-x2,y=的图象，它们的共同特点是（ ）
A.对称轴都是x轴B.顶点都是（0,0）
C.开口都向上D.在x＜0时，y都随x的增大而减小
【答案】B
【解析】如图，在同一直角坐标系中画出三个函数的图象，从图象知，它们的对称轴都是y轴，顶点都是(0,0)，函数y=-x2的向下，其余两个的开口向上；函数y=-x2在x＜0时，y随x的增大而增大，另外两个均是在x＜0时，y随x的增大而减小.
例题3
【题干】二次函数y=ax2的图象与直线y=3x-4的图象交于点A（b,2）.
（1）求出a的值；并写出该二次函数的顶点坐标及其对称轴；
（2）写出这个二次函数的增减性.
【答案】见解析
【解析】（1）∵二次函数y=ax2的图象与直线y=3x-4的图象交于点（b,2）.
∴将点（b,2）代入直线y=3x-4中，有：2=3b-4，得：b=2，
又∵点（2,2）在二次函数y=ax2的图象上，得，
即：∴二次函数的表达式为.顶点坐标（0,0），对称轴y轴.
（2）当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
例题4
【题干】已知二次函数的图象过点（-1,4），将其图象沿y轴向下平移3个单位，求所得函数的表达式，并指出当x取3时，这两个函数哪一个函数的值比较大？
【答案】见解析
【解析】因为点（-1,4）是函数图象上一点，所以，则函数的表达式为.将其图象沿y轴向下平移3个单位，
根据平移规律“上加下减”得平移后函数表达式为,根据平移规律可知，的图象在的图象的上方，因此，当x取3时，的函数值比较大。也可将x=3代入二次函数表达式，求得=36，=33，由于36>33,因此的函数值比较大。
四 、课堂运用
【教学建议】
在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数图象和性质上以及如何通过平移得到的等，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习，注意从（开口方向和开口大小、对称轴、顶点坐标、最值、增减性）五方面去总结。
基础
1. 已知A(m,a)B(n,a)都在抛物线上，则m,n之间的关系正确的是（ ）
A.m=n B.m+n=0 C.m+n＞0 D.m+n＜0
【答案】B
【解析】带入计算即可发现规律。
2.在同一坐标系中，抛物线，，的共同特点是（ ）
A. 关于y轴对称，开口向上
B. 关于y轴对称，y随x的增大而增大
C. 关于y轴对称，y随x的增大而减小
D. 关于y轴对称，顶点是原点
【答案】D
【解析】参照前面的知识点总结即可.
3.已知a>0，则函数y=ax2+a的图象经过的象限是（ ）
A．第三、四象限B．第一、二象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限
【答案】B
【解析】参考前面知识点中的图象即可得。
巩固
1.关于函数的性质的叙述,错误的是( )
A. 对称轴是y轴B. 顶点是原点
C. 当x>0时，y随x的增大而增大D. y有最大值
【答案】D
【解析】开口向上有最小值
2.已知函数y=2x和抛物线y=ax2+3相交于点(2,b).
(1)求a，b的值；
(2)若函数y=2x的图象上纵坐标为2的点为A,抛物线y=ax2+3的顶点为B,求S△AOB.
【答案】见解析
【解析】(1)∵点(2,b)在直线y=2x上，∴b=4，
又∵(2,b)即(2,4)在抛物线y=ax2+3上，∴4a+3=4，∴a=1/4；
(2)
3.已知函数是关于x的二次函数
（1）求m的值；
（2）当m为何值时,该函数的图象开口向下?
（3）当m为何值时,该函数有最小值?
【答案】见解析
【解析】（1）x次数是2，所以m²+3m-2=2即m²+3m-4=0
(m-1)(m+4)=0，m=1,m=-4
（2）开口向下则系数小于0，所以m+3<0，m<-3所以m=-4
（3）有最小值则开口向上，所以m+3>0，m>-3，又因为m=1或m=-4
所以m=1。
拔高
1.函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件的m值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点。这时，当x为何值时，y随x的增大而增大?
(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是多少?这时，当x为何值时，y随x的增大而减小。
【答案】见解析
【解析】(1)满足条件的m值为2或−3；
(2) 抛物线解析式为，
所以抛物线的最低点为(0,0)，当x＞0时，y随x的增大而增大；
(3)当m=−3时，抛物线开口向下，函数有最大值；
抛物线解析式为，
所以二次函数的最大值是0，这时，当x＞0时，y随x的增大而减小。
已知函数的图象上的三点：A（x1，1），B（x2，2），C（x3，3）在抛物线上，关于所给x1、x2、x3的大小关系的四条结论：①x1＜x2＜x3；②x3＜x2＜x1； ③x1＜x3＜x2；④x2＜x1＜x3，其中正确的结论为 .（填写其序号）
【答案】①、②、④
【解析】根据题意绘制出二次函数y=3x2的草图，然后由其增减性将所给点A、B、C的坐标标注在图象上，如解图所示，当在对称轴两侧时，结论①、②成立，但当点B与点A、C在对称轴异侧时，根据解图③可知x2＜x1＜x3，因此结论④也成立，而结论③无法根据所做图象满足，故不成立.
第2题解题① 第2题解图② 第2题解图③
3.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
【答案】B
【解析】采取排除法处理本题，先观察每个选项中的二次函数的图象，由开口方向确定a值的正负问题，再由顶点坐标所在的位置确定c值得正负问题，然后由确定好的a、c的值去判定一次函数所过的象限符不符合要求，符合要求的就成立，否则不成立.
A项，根据抛物线的开口向下，所以a＜0，因为抛物线的顶点在y轴的正半轴上，所以c＞0.根据a＜0，c＞0可知一次函数y=ax+c过第一、二、四象限，而A图中的一次函数y=ax+c的图象过得是第一、二、三，所以排除A项.同理可以排除C项和D项.
课堂小结
1.二次函数的图像与性质;
2.二次函数的图像与性质;
3.二次函数的图像与性质;
4.二次函数与两者之间的关系具体见下表:
拓展延伸
基础
1. 已知原点是抛物线y=(2m+4)x2的最低点，则m的取值范围是（ ）
A. m<-2 B. m>-2
C. m<2 D． m<-4
【答案】B
【解析】∵原点是抛物线y=(2m+4)x2的最低点 ∴抛物线的开口向上 ∴2m+4>0，解得
x>－2.
2. 已知二次函数y=ax2+k的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数图象知图象开口向上，所以a＞0，顶点在x轴下方，所以k＜0，所以选C.
3.下列哪组抛物线可以通过互相平移而得到（ ）
A.y=2x2与y=3x2 B.y=+2与y=2x2+
C.y=2x2与y=x2+2 D.y=x2+2与y=x2-2.
【答案】D
【解析】抛物线的开口方向、形状和开口大小是由二次项系数a的值决定的，只有两个二次函数的二次项系数的值相等时，才可以通过平移彼此而得到对方，只有D选项中的二次项的值才相等，都为1，所以可以通过平移彼此而得到对方.
巩固
1.已知一个函数的图象与抛物线y=-2x2关于x轴对称，则该二次函数的表达式为_____________.
【答案】 y=2x2
【解析】因为抛物线y=ax2 与抛物线y=－ax2关于x轴对称
∴抛物线y=-2x2关于x轴对称的二次函数的表达式为y=2x2。
2.抛物线y=ax2+c与y=3x2的开口方向、形状大小都相同，且其顶点坐标为（0，1），则其表达式为_______.
【答案】y=3x2+1
【解析】抛物线的开口方向、形状和开口大小是由二次项系数a的值决定的，因为抛物线y=ax2+c与y=3x2的开口方向、形状和开口大小都相同，所以a=3.又因为抛物线y=ax2+c得顶点坐标为（0，1），所以可以采取待定系数法求得c=1，所以此抛物线的表达式是y=3x2+1.
3.抛物线y1=x2，y2=x2+7，y3=x2-7，当x=2时，这三个函数对应的y值的大小顺序为 ，在对称轴的右侧，y取同一值时，这三个函数对应的x的取值大小顺序为 .
【答案】y2>y1>y3 ； x3 < x 1
【解析】抛物线y2=x2+7是由y1=x2向上平移7个单位得到，抛物线y3=x2-7是由y1=x2向下平移7个单位得到，因此抛物线y2在最上方，y1在中间，y3在最下方，因此当x=2时y2>y1>y3 ，这三个函数的对称轴为y轴，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，由此可得，当y取同一值时， x3 < x 1
拔高
1.二次函数y=ax2与直线y=2x-2的图象交于点P（2，m）。
（1）求a，m的值；
（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而减小?
【答案】见解析
【解析】（1）将（2，m）代入至y=2x-2得，2×2-2=m，∴m=2；∴点P坐标为（2，2），
把（2，2）代入y=ax2得，a=0.5，
（2）由（1）知，a=0.5，∴二次函数y=ax2的表达式为y=0.5x2，当x<0时，y随x的增大而减小。
2.已知点A(-1，a)在二次函数的图象上.
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形，若存在，写出点P的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)因为点A(-1，a)在二次函数的图象上，
所以，
所以点A的坐标为（-1,1）.
（2）如图所示，共有4个满足条件的点.
①过A作AP2⊥x轴于点P2，因为点A的坐标为（-1,1），所以点P2（-1,0），此时有AP2=P2O，满足△APO是等腰三角形；
②当AP=AO，此时点P在点P1的位置，如图，易得P1P2=P2O，所以点P1的坐标为（-2,0）.
③当OA=OP时，点P可能在P3和P4两个位置.
在Rt△AOP2中，根据勾股定理易得AO=，所以点P3的坐标为（），点P4的坐标为（）.
3.如图，点P是抛物线y=x2-1上的任意一点，PA⊥x轴于点A，则OP-PA= .
【答案】2
【解析】根据题意可以设出点P坐标为（m，m2-1），所以得出：PA=m2-1，OA=m，
由勾股定理可得：PO===m2+1，所以OP-PA=m2+1-（m2-1）=2.
教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.二次函数的图像与性质
2.二次函数的图像与性质
3.二次函数的图像与性质
教学目标
1.掌握二次函数的图像与性质
2.掌握平移问题
教学重点
能熟练掌握二次函数的图像与性质
教学难点
能熟练掌握二次函数的图像与性质
函数性质
函数种类
函数图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（0,0）
对称轴
y轴
最值
最小值0
最大值0
增减性
对称轴左侧，图象从左到右下降，即x＜0时，y随x的增大而减小；
对称轴右侧，图象从左到右上升，即x＞0时，y随x的增大而增大；
对称轴左侧，图象从左到右上升，即x＜0时，y随x的增大而增大；
对称轴右侧，图象从左到右下降，即x＞0时，y随x的增大而减小；
函数性质
a的值
函数图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（0,0）
对称轴
y轴
开口大小
|a|越大，开口越小
最值
最小值0
最大值0
增减性
对称轴左侧，图象从左到右下降，即x＜0时，y随x的增大而减小；
对称轴右侧，图象从左到右上升，即x＞0时，y随x的增大而增大；
对称轴左侧，图象从左到右上升，即x＜0时，y随x的增大而增大；
对称轴右侧，图象从左到右下降，即x＞0时，y随x的增大而减小；
二次函数
(a≠0，a,c为常数)
a的符号
y=ax2+c(c>0)
a＞0
a＜0
图象
y=ax2+c(c<0)
y=ax2
y=ax2
y=ax2+c(c>0)
y=ax2+c(c<0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（0，c）
对称轴
y轴（直线x=0）
增减性
（1）在y轴右侧是上升的， 即当时，y随x的增大而增大；（2）在y轴左侧是下降的，即x＜0时，y随x的增大而减小
（1）在y轴右侧是下降的，当时，y随x的增大而减小；（2）在y轴左侧是上升的，当x＜0时，y随x的增大而增大
最值
时，y=c是最小值
时，y=c是最大值
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=3x2
…
12
3
0
3
12
…
向上平移|c|个单位
向下平移|c|个单位
(a＞0)
c
(a＞0，c＞0)
(a＞0，c＜0)
(a＜0)
(a＜0，c＞0)
(a＜0，c＜0)
第6讲
讲
二次函数的图像与性质1
概述
【教学建议】
本节的教学重点是让学生经历研究函数的一般过程，去探索最简单的二次函数的图象与性质，为以后的类比迁移做好铺垫。在授课过程中，教师要注重从研究函数的五个方面引导学生去观察二次函数的图象，体会数形结合在解题中的作用。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：
1.对二次项系数a的理解；
2.对抛物线的开口方向和大小、对称轴、顶点坐标、最值、增减性的理解；
3.什么样的二次函数可以相互平移及其原因。
【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】
二次函数在中考中占有的地位毋容置疑，本节作为二次函数的图象与性质的基础，学好本节可以很好地迁移到后续复杂的二次函数的图象与性质的学习中去。教师在教学中要注重对二次项系数a的理解以及二次函数的上下平移及其增减性，这是中考常出题型。
二、知识讲解
知识点1 二次函数的图像与性质
知识点2 二次函数的图像与性质
知识点3 二次函数的图像与性质
形
三、例题精析
例题1
【题干】在直角坐标系中，画出y=3x2的图象
【答案】列表如下：
画图如图：
【解析】按照列表-描点-连线的步骤进行即可。
例题2
【题干】在同一直角坐标系中，画函数y=x2,y=-x2,y=的图象，它们的共同特点是（ ）
A.对称轴都是x轴B.顶点都是（0,0）
C.开口都向上D.在x＜0时，y都随x的增大而减小
【答案】B
【解析】如图，在同一直角坐标系中画出三个函数的图象，从图象知，它们的对称轴都是y轴，顶点都是(0,0)，函数y=-x2的向下，其余两个的开口向上；函数y=-x2在x＜0时，y随x的增大而增大，另外两个均是在x＜0时，y随x的增大而减小.
例题3
【题干】二次函数y=ax2的图象与直线y=3x-4的图象交于点A（b,2）.
（1）求出a的值；并写出该二次函数的顶点坐标及其对称轴；
（2）写出这个二次函数的增减性.
【答案】见解析
【解析】（1）∵二次函数y=ax2的图象与直线y=3x-4的图象交于点（b,2）.
∴将点（b,2）代入直线y=3x-4中，有：2=3b-4，得：b=2，
又∵点（2,2）在二次函数y=ax2的图象上，得，
即：∴二次函数的表达式为.顶点坐标（0,0），对称轴y轴.
（2）当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
例题4
【题干】已知二次函数的图象过点（-1,4），将其图象沿y轴向下平移3个单位，求所得函数的表达式，并指出当x取3时，这两个函数哪一个函数的值比较大？
【答案】见解析
【解析】因为点（-1,4）是函数图象上一点，所以，则函数的表达式为.将其图象沿y轴向下平移3个单位，
根据平移规律“上加下减”得平移后函数表达式为,根据平移规律可知，的图象在的图象的上方，因此，当x取3时，的函数值比较大。也可将x=3代入二次函数表达式，求得=36，=33，由于36>33,因此的函数值比较大。
四 、课堂运用
【教学建议】
在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数图象和性质上以及如何通过平移得到的等，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习，注意从（开口方向和开口大小、对称轴、顶点坐标、最值、增减性）五方面去总结。
基础
1. 已知A(m,a)B(n,a)都在抛物线上，则m,n之间的关系正确的是（ ）
A.m=n B.m+n=0 C.m+n＞0 D.m+n＜0
【答案】B
【解析】带入计算即可发现规律。
2.在同一坐标系中，抛物线，，的共同特点是（ ）
A. 关于y轴对称，开口向上
B. 关于y轴对称，y随x的增大而增大
C. 关于y轴对称，y随x的增大而减小
D. 关于y轴对称，顶点是原点
【答案】D
【解析】参照前面的知识点总结即可.
3.已知a>0，则函数y=ax2+a的图象经过的象限是（ ）
A．第三、四象限B．第一、二象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限
【答案】B
【解析】参考前面知识点中的图象即可得。
巩固
1.关于函数的性质的叙述,错误的是( )
A. 对称轴是y轴B. 顶点是原点
C. 当x>0时，y随x的增大而增大D. y有最大值
【答案】D
【解析】开口向上有最小值
2.已知函数y=2x和抛物线y=ax2+3相交于点(2,b).
(1)求a，b的值；
(2)若函数y=2x的图象上纵坐标为2的点为A,抛物线y=ax2+3的顶点为B,求S△AOB.
【答案】见解析
【解析】(1)∵点(2,b)在直线y=2x上，∴b=4，
又∵(2,b)即(2,4)在抛物线y=ax2+3上，∴4a+3=4，∴a=1/4；
(2)
3.已知函数是关于x的二次函数
（1）求m的值；
（2）当m为何值时,该函数的图象开口向下?
（3）当m为何值时,该函数有最小值?
【答案】见解析
【解析】（1）x次数是2，所以m²+3m-2=2即m²+3m-4=0
(m-1)(m+4)=0，m=1,m=-4
（2）开口向下则系数小于0，所以m+3<0，m<-3所以m=-4
（3）有最小值则开口向上，所以m+3>0，m>-3，又因为m=1或m=-4
所以m=1。
拔高
1.函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件的m值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点。这时，当x为何值时，y随x的增大而增大?
(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是多少?这时，当x为何值时，y随x的增大而减小。
【答案】见解析
【解析】(1)满足条件的m值为2或−3；
(2) 抛物线解析式为，
所以抛物线的最低点为(0,0)，当x＞0时，y随x的增大而增大；
(3)当m=−3时，抛物线开口向下，函数有最大值；
抛物线解析式为，
所以二次函数的最大值是0，这时，当x＞0时，y随x的增大而减小。
已知函数的图象上的三点：A（x1，1），B（x2，2），C（x3，3）在抛物线上，关于所给x1、x2、x3的大小关系的四条结论：①x1＜x2＜x3；②x3＜x2＜x1； ③x1＜x3＜x2；④x2＜x1＜x3，其中正确的结论为 .（填写其序号）
【答案】①、②、④
【解析】根据题意绘制出二次函数y=3x2的草图，然后由其增减性将所给点A、B、C的坐标标注在图象上，如解图所示，当在对称轴两侧时，结论①、②成立，但当点B与点A、C在对称轴异侧时，根据解图③可知x2＜x1＜x3，因此结论④也成立，而结论③无法根据所做图象满足，故不成立.
第2题解题① 第2题解图② 第2题解图③
3.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
【答案】B
【解析】采取排除法处理本题，先观察每个选项中的二次函数的图象，由开口方向确定a值的正负问题，再由顶点坐标所在的位置确定c值得正负问题，然后由确定好的a、c的值去判定一次函数所过的象限符不符合要求，符合要求的就成立，否则不成立.
A项，根据抛物线的开口向下，所以a＜0，因为抛物线的顶点在y轴的正半轴上，所以c＞0.根据a＜0，c＞0可知一次函数y=ax+c过第一、二、四象限，而A图中的一次函数y=ax+c的图象过得是第一、二、三，所以排除A项.同理可以排除C项和D项.
课堂小结
1.二次函数的图像与性质;
2.二次函数的图像与性质;
3.二次函数的图像与性质;
4.二次函数与两者之间的关系具体见下表:
拓展延伸
基础
1. 已知原点是抛物线y=(2m+4)x2的最低点，则m的取值范围是（ ）
A. m<-2 B. m>-2
C. m<2 D． m<-4
【答案】B
【解析】∵原点是抛物线y=(2m+4)x2的最低点 ∴抛物线的开口向上 ∴2m+4>0，解得
x>－2.
2. 已知二次函数y=ax2+k的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数图象知图象开口向上，所以a＞0，顶点在x轴下方，所以k＜0，所以选C.
3.下列哪组抛物线可以通过互相平移而得到（ ）
A.y=2x2与y=3x2 B.y=+2与y=2x2+
C.y=2x2与y=x2+2 D.y=x2+2与y=x2-2.
【答案】D
【解析】抛物线的开口方向、形状和开口大小是由二次项系数a的值决定的，只有两个二次函数的二次项系数的值相等时，才可以通过平移彼此而得到对方，只有D选项中的二次项的值才相等，都为1，所以可以通过平移彼此而得到对方.
巩固
1.已知一个函数的图象与抛物线y=-2x2关于x轴对称，则该二次函数的表达式为_____________.
【答案】 y=2x2
【解析】因为抛物线y=ax2 与抛物线y=－ax2关于x轴对称
∴抛物线y=-2x2关于x轴对称的二次函数的表达式为y=2x2。
2.抛物线y=ax2+c与y=3x2的开口方向、形状大小都相同，且其顶点坐标为（0，1），则其表达式为_______.
【答案】y=3x2+1
【解析】抛物线的开口方向、形状和开口大小是由二次项系数a的值决定的，因为抛物线y=ax2+c与y=3x2的开口方向、形状和开口大小都相同，所以a=3.又因为抛物线y=ax2+c得顶点坐标为（0，1），所以可以采取待定系数法求得c=1，所以此抛物线的表达式是y=3x2+1.
3.抛物线y1=x2，y2=x2+7，y3=x2-7，当x=2时，这三个函数对应的y值的大小顺序为 ，在对称轴的右侧，y取同一值时，这三个函数对应的x的取值大小顺序为 .
【答案】y2>y1>y3 ； x3 < x 1
【解析】抛物线y2=x2+7是由y1=x2向上平移7个单位得到，抛物线y3=x2-7是由y1=x2向下平移7个单位得到，因此抛物线y2在最上方，y1在中间，y3在最下方，因此当x=2时y2>y1>y3 ，这三个函数的对称轴为y轴，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，由此可得，当y取同一值时， x3 < x 1
拔高
1.二次函数y=ax2与直线y=2x-2的图象交于点P（2，m）。
（1）求a，m的值；
（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而减小?
【答案】见解析
【解析】（1）将（2，m）代入至y=2x-2得，2×2-2=m，∴m=2；∴点P坐标为（2，2），
把（2，2）代入y=ax2得，a=0.5，
（2）由（1）知，a=0.5，∴二次函数y=ax2的表达式为y=0.5x2，当x<0时，y随x的增大而减小。
2.已知点A(-1，a)在二次函数的图象上.
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形，若存在，写出点P的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)因为点A(-1，a)在二次函数的图象上，
所以，
所以点A的坐标为（-1,1）.
（2）如图所示，共有4个满足条件的点.
①过A作AP2⊥x轴于点P2，因为点A的坐标为（-1,1），所以点P2（-1,0），此时有AP2=P2O，满足△APO是等腰三角形；
②当AP=AO，此时点P在点P1的位置，如图，易得P1P2=P2O，所以点P1的坐标为（-2,0）.
③当OA=OP时，点P可能在P3和P4两个位置.
在Rt△AOP2中，根据勾股定理易得AO=，所以点P3的坐标为（），点P4的坐标为（）.
3.如图，点P是抛物线y=x2-1上的任意一点，PA⊥x轴于点A，则OP-PA= .
【答案】2
【解析】根据题意可以设出点P坐标为（m，m2-1），所以得出：PA=m2-1，OA=m，
由勾股定理可得：PO===m2+1，所以OP-PA=m2+1-（m2-1）=2.
教学反思
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.二次函数的图像与性质
2.二次函数的图像与性质
3.二次函数的图像与性质
教学目标
1.掌握二次函数的图像与性质
2.掌握平移问题
教学重点
能熟练掌握二次函数的图像与性质
教学难点
能熟练掌握二次函数的图像与性质
函数性质
函数种类
函数图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（0,0）
对称轴
y轴
最值
最小值0
最大值0
增减性
对称轴左侧，图象从左到右下降，即x＜0时，y随x的增大而减小；
对称轴右侧，图象从左到右上升，即x＞0时，y随x的增大而增大；
对称轴左侧，图象从左到右上升，即x＜0时，y随x的增大而增大；
对称轴右侧，图象从左到右下降，即x＞0时，y随x的增大而减小；
函数性质
a的值
函数图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（0,0）
对称轴
y轴
开口大小
|a|越大，开口越小
最值
最小值0
最大值0
增减性
对称轴左侧，图象从左到右下降，即x＜0时，y随x的增大而减小；
对称轴右侧，图象从左到右上升，即x＞0时，y随x的增大而增大；
对称轴左侧，图象从左到右上升，即x＜0时，y随x的增大而增大；
对称轴右侧，图象从左到右下降，即x＞0时，y随x的增大而减小；
二次函数
(a≠0，a,c为常数)
a的符号
y=ax2+c(c>0)
a＞0
a＜0
图象
y=ax2+c(c<0)
y=ax2
y=ax2
y=ax2+c(c>0)
y=ax2+c(c<0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（0，c）
对称轴
y轴（直线x=0）
增减性
（1）在y轴右侧是上升的， 即当时，y随x的增大而增大；（2）在y轴左侧是下降的，即x＜0时，y随x的增大而减小
（1）在y轴右侧是下降的，当时，y随x的增大而减小；（2）在y轴左侧是上升的，当x＜0时，y随x的增大而增大
最值
时，y=c是最小值
时，y=c是最大值
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=3x2
…
12
3
0
3
12
…
向上平移|c|个单位
向下平移|c|个单位
(a＞0)
c
(a＞0，c＞0)
(a＞0，c＜0)
(a＜0)
(a＜0，c＞0)
(a＜0，c＜0)
