数学九年级下册第一章 直角三角形的边角关系4 解直角三角形习题

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知识精讲
知识点01 解直角三角形
1．解直角三角形的概念
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2．直角三角形中边角之间的关系
如图所示，在中，，为锐角，，他们所对的边分别为a，b，c，其中除直角
外，其余的5个元素之间有以下关系：
除直角外再知道其中的两个元素（至少有一个元素是边），利用这些关系就可以求出其余的三个未知元素。
知识点02 解直角三角形的常见类型及方法
注意：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算。
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边。
知识点03 求非直角三角形中的边和角
将非直角三角形问题转化为直角三角形问题，具体可以归纳为以下三种情况：
（1）作高，把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形；
（2）作高，把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形；
（3）连接对角线，把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形。
能力拓展
考法01 解直角三角形
【典例1】如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，，，F是AD边的中点，cm，则BE的长为（ ）
A．6cmB．cmC．cmD．8cm
【答案】A
【解析】解：∵
F是AD的中点，（cm），
∴（cm），
∵，
∴（cm），
又∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
在Rt△ABE中，
．
故选：A．
【即学即练】如图，在中，，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AB=6，则AE的值是（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】B
【解析】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠CBE=30°，
∴∠A=30°，
∴AE=
∵AB=6，
∴AD=AB=3，
∴AE=
故选：B．
【典例2】如图，在中，，，，作等腰三角形ABD，使．，且点C不在射线AD上．过点D作，垂足为E．则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：由题意可得如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【即学即练】如图，在△ABC中，，，，点D是CB延长线上的一点，且，则tan∠DAC的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【解析】解：在中，，，
，，
，
，
．
故选：A．
考法02 解非直角三角形
【典例3】在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：作于点，
甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，
，，
，
乙货船从港沿西北方向出发，
，
，
，
答：港与港相距海里，
故选：．
【即学即练】已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（ ）
A．（acsα，asinα）B．（ccsα，csinα）
C．（asinα，acsα）D．（csinα，ccsα）
【答案】B
【解析】
解：过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，
在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α，
∴AD=csinα，OD=ccsα，
则A的坐标为（ccsα，csinα），
故选B．
【典例4】金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（ ）
A．2436.8米B．2249.6米C．1036.8米D．1136.8米
【答案】D
【解析】解：在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：，
∴∠CBF＝30°，
∵BC＝2600，
∴CF＝1300，BF＝1300，
∵CD⊥AD于点D，BF⊥CD，BE⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DE＝BF＝1300，
∵AE＝1000米，
∴AD＝AE+DE＝1000+1300，
∵∠CAD＝37°，
∴CD＝AD•tan37°＝（1000+1300）×0.75＝2436.75，
∴BE＝DF＝2436.75﹣1300≈1136.8米，
答：BE的高度为1136.8米．
故选：D．
【即学即练】某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福土最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头项正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.87，tan31°≈0.60）
A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米
【答案】B
【解析】如图所示：
延长AC和FE交于点G，过点B作BM⊥FE于点M，作DH⊥AG于点H，
得矩形ABMG、DHEG，
设DH＝x，则HC＝2x，
BM＝AG＝160+120+2x＝280+2x．
EG＝DH＝x，
∵∠FAG＝45°，∠FGA＝90°，∴∠AFG＝45°，
∴FG＝AG，
EF＝FG﹣EG＝AG﹣EG＝280+2x﹣x＝280+x，
∴FM＝FG﹣MG＝280+2x﹣146＝134+2x，
在Rt△FBM中，tan31°＝，
即＝0.6，
解得x＝42.5，则EF＝280+x＝322.5．
故选：B．
考法03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
【典例5】某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为37°，建筑物底端的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到米，参考数据：，)（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【解析】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，
∵沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，
∴，
∴AN=2.4BN，
∴BN2+（2.4BN）2=262，
解得：BN=10（负值舍去），
∴CN=BN+BC=11.6，
∴ME=11.6，
∵∠MCE=30°，
∴CM==11.6，
∵∠DCM=37°，
∴DM=CM·tan37°=8.7，
∴DE=ME+DM=11.6+8.7≈26.7（米），
故选：C．
【即学即练】如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E
由折叠可知：
，，
∵AN平分
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴在中，由勾股定理可得：

故选：C
【典例6】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG=DO，
同理可得：BH=BO，
S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH
=×AC××（DO+BO）
=，
故选：C．
【即学即练】在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A．B．＋1C．D．＋1
【答案】C
【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴CD＝AD．
∵BD＋CD＝BC，
∴AD＋AD＝1＋．
即AD＝1．
∴S△ABC＝×BC×AD
＝（1＋）．
故选：C．
分层提分
题组A 基础过关练
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°， ， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，
∵
设BC=3x，则AC=4x，
根据勾股定理可得：
，
故选：B
2．在 Rt△ABC 中， C  90 ， AB  5 ， AC  4 ．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tan B B．ct B C．sin B D．cs B 
【答案】C
【解析】解：如图：
∵C  90 ， AB  5 ， AC  4
∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
3．在中，，，，则的（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】解：如图，
在中，，
，
，
在中，．
故选D．
4．在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB =，则△ABC的面积等于（ ）
A．15B．C．6D．
【答案】D
【解析】如图，作BC边上的高AD，
∵sinB =，即，
∴，
∴AD=3，
∴．
故选D．
5．如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为，则梯子底端A到墙面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=90°，
∴csa=，∴AC=4csa米，
故选： A．
6．如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使（河的两岸平行）.若利用测量工具测得为m米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【解析】解：∵BP⊥AP，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝m米，∠PBA＝α，
∴PA＝PB•tanα＝mtanα（米），
∴小河宽度PA为mtanα米，
故选：C．
7．在ABC中，，，，那么的长为________．
【答案】6
【解析】解：∵在ABC中，，，，
∴；
故答案为6．
8．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___．
【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
在中，，即，
解得，
则的面积是，
故答案为：．
9．在中，，求．
【答案】
【解析】解：如图所示，
∵，
∴，
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值．
【答案】（1）12；（2）
【解析】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴
即
解得：BD＝12；
（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
题组B 能力提升练
1．已知中，，，D是AC上一点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵∠C=90°，∠A=∠CBD，
∴，
∵，
∴，
∴BC=2DC，
∴在Rt△DCB中，，
∴，
故选：B．
2．如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
∵直角中，，
∴，
∴直角中，由勾股定理可得，．
故选D．
3．如图，四边形ABCD为菱形，O为对角线AC的中点，，，则菱形的周长为（ ）
A．8B．4C．D．
【答案】A
【解析】解：如图所示，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，
∴AB=BC=CD=AD，O为BD中点，且AC⊥BD，
∵∠BAC=30°，
∴，
∴菱形的周长为AB+BC+CD+AD=8，
故选：A．
4．如图，矩形的两对角线相交于点，若，，则的度数为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AB=CD=1，
在Rt△ABD中，
tan∠ADB==，
∴∠ADB=30°．
故选：B．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】C
【解析】是菱形，E为AD的中点，
，．
是直角三角形，．
，，
，．
，即，
，．
故选：C．
6．在平面直角坐标系中，一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，若，则点P的坐标可能是（ ）
A．（3，5）B．（5，3）
C．（3，4）D．（4，3）
【答案】D
【解析】解：过点P作PB⊥x轴于点B，
∵csα＝，
∴可假设OB＝4，则OP＝5，
∴PB＝，
∴点P的坐标可能是（4，3）．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，则AB的长为_______．
【答案】6
【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，tanA，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC＝30°，
在Rt△BDC中，CD，
∴tan30°，
∴BC3，
∴AB＝2BC＝6，
∴AB的长为6，
故答案为：6．
8．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 _____．
【答案】
【解析】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周长，
故答案为：．
9．一天小明与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵树，小明想测量这棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为12米，坡面上的影长为5米、斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的拐杖在地面上的影长为2.5米，求这棵树的高度（结果精确到0.1米）．
【答案】9.0米
【解析】解：延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，
在Rt△CEF中，∠CEF=90°，∠CFE=30°，CF=5，
∴CE=2.5（米），EF=5cs30°=（米），
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2.5米，
∴，
∴DE=2.5CE=（米），
∴BD=BF+EF+DE=12++6.25=18.25+（米），
，
，
∴AB=BD÷2.5=（18.25+）≈9.0（米），
答：这棵树的高度约为9.0米．
10．如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．已知．
(1)求线段的长；
(2)求的值．
【答案】(1)25
(2)
【解析】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=30，∴csA=，解得：AB=50.∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD==25．
（2）解：在Rt△ABC中，.又∵AD=BD=CD=25，设DE=x，EB=y，则在Rt△BDE中，①，在Rt△BCE中，②，联立①②，解得x=7∴．
题组C 培优拔尖练
1．如图，等腰三角形ABC中，，，D为AC上一点，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图：过点D作DE⊥AB于点E，
∵等腰三角形ABC，，，
∴∠A=45°，
因为DE⊥AB，
∴∠DEA=90°
∴∠EDA=∠DAE=45°，
∴∆DEA为等腰直角三角形，
在Rt∆ABC中，∵AD=2
∴AE=ADsin45°=2
∵∠DBE=∠ABC-∠DBC=45°-15°=30°
∴在Rt∆DBE中BD=2DE=2×2=4，
在Rt∆DBC中，设BC=x，则CD=x-2 由勾股定理可得，
，
∴ ，
解得：（舍去） ，
所以sin∠BDC= ，
故选：A
2．如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=1，
∵AE=BC，
∴AE=DC=1，
∵AE∥BC，
∴四边形AECD是矩形，
∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，
∴AD=2，则CE=AD=2，
当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，
当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．
∵BC=2，CE=2，
由勾股定理得BE=4，
cs∠EBC=，即，
∴BF=8，
∴CF=BF-BC=6,
∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，
∴MN=CF=3，
∴点M的运动路径长为3，
故选：B．
3．在Rt△ABC中，，，若，则AB的长为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：如图所示，在Rt△ABC中，，，
若，则根据
∴，
∴,
故选：A．
4．如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高为6m，为，改造后扶梯的坡比是，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是（ ）
A．6mB．mC．mD．m
【答案】D
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴，
∵AB=6，
∴，
∵,
∴BD=2AB=12，
∴，
∴．
故选：D．
5．如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】解：∵旋转得到，
∴，
∵为正方形，，，在同一直线上，
∴，
∴，故①正确；
∵旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
设正方形边长为a，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∵，
∴，故③正确；
过点E作交FD于点M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D
6．如图，在中，，．矩形的顶点、、分别在边、、上，若，则矩形面积的最大值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】C
【解析】解：过点作，垂足为，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
矩形的面积
，
当时，矩形的面积最大值为：，
故选：C ．
7．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，则＝_____．
【答案】
【解析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，如图所示：
∵∠BAC=120°，
∴∠DAC＝180°-120°=60°，
∴cs60°＝，sin 60°＝，
∵AB＝3，AC＝2，
∴AD＝AC·cs 60°＝2×＝1，
CD＝AC·sin 60°＝2×＝，
，
在Rt△BCD中，tanB＝＝．
故答案为：．
8．如图，在中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，，连接，，则___________．
【答案】
【解析】
以A为圆心，AB长为半径画弧，交BD与点F，连接EF
∠BAE=∠B+∠ACB，∠ACB=120°
∠BAE=∠B+120°
∠D+∠B+120°=210°，即∠D+∠B=90°
AB=AF
∠D+∠AFB=90°
令∠EFA=90°，
则∠AFB+∠AFD=90°
∠D=∠AFD
DE=EF
在Rt△EFA中，由勾股定理可得EF===
故答案为：
9．如图，小丽在“五一”假期和父母一起去了神仙湖景区游玩，当小丽走到A处时发现在她东南方向的湖心岛上（C处）有一对漂亮的白鹭，为更好的观察和拍照，小丽沿着正东方向前进了200米到达B处，此时湖心岛位于小丽南偏西30°的方向上，问B处与湖心岛的距离是多少米？（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】146.4米
【解析】解：分别过点A，B作AB的垂线AD、BE，过点C作CF⊥AB，垂足为F
依题意可知∠DAC=45°，∠EBC=30°，
∴∠CAB=45°，∠CBA=60°，
设BC=x米，在Rt△BCF中，∵∠CBA=60°，
∴∠BCF=90°－∠CBA=90°－60°=30°，
∴，
在Rt△ACF中，∵∠CAB=45°
∴AF=CF=，
∵AB=200米，AF+BF=AB，
∴，
∴x=≈200（1.732－1）=146.4（米）.
答：B处与湖心岛的距离约是146.4米．
10．如图，已知四边形中，，的延长线与的延长线交于点E．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．（计算过程和结果均保留根号）
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）∵，，AB=6，，
∴，，
∵∠CDE=90°，CD=4，，，
∴CE=8，
∴BC=BE﹣CE=；
(2)∵，，
∴，
∵
∴，
∴
解得，
．
课程标准
1.知道解直角三角形的概念。
2.会用勾股定理和三角函数解直角三角形，并能解决简单的实际问题。
3.会将求非直角三角形中的边、角问题转化为解直角三角形问题。
元素之间的关系
关系式
三边之间的关系
（勾股定理）
锐角之间的关系
边角之间的关系
图示
已知条件
解法步骤
两
边
（1）两直角边（a，b）
由，求;;
（2）一直角边和斜边（如（a，c））
由，求;;
一
边
一
锐
角
（3）一直角边和一锐角
锐角，邻边（如，b）
；；
锐角，对边（如，a）
；
；
（4）斜边，锐角（如c，）
；；