数学九年级下册4 解直角三角形习题

（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册1.4 解直角三角形 同步测试

一、单选题（每题3分，共30分）

1．如图，若△ABC底边BC上的高为h1，△DEF底边EF上的高为h2，则h1与h2的大小关系是（　　）

A．h1=h2 B．h1<h2

C．h1>h2 D．以上都有可能

2．如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（　　）

A．米 B．米

C．米 D．米

3．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC2的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．在 中，∠C= ，AB=4， ，则 的长为（　　）

A．3 B．2 C． D．

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．如图1，点P从 的顶点A出发，沿A→C→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥AB于点Q，设点P运动的路程为x，PQ的长为y，若y与x之间的函数关系如图2所示，当x＝6时，PQ的长为（　　） 

A．1 B． C． D．

7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把 BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为（　　） 

A． B． C． D．8

8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝6，则AB长是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

9．如图，线杆DC的高度为 ，两根拉线 与 互相垂直， ，若 、 、 在同一条直线上，则拉线 的长度为（　　） 

A． B． C． D．

10．如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△ ，则点 的坐标是（　　）

A．（ ，4） B．（4， ）

C．（ ，3） D．（ +2， ）

二、填空题（每题3分，共15分）

11．将一架长为3米的梯子斜靠在竖直的墙AB上，梯子与地面的夹角，则梯子底端C与墙根A点的距离为　     　米．（结果精确到米）[参考数据：，，]

12．在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为　              　．

13．两幅大小不同的三角板中各取一个，如图1叠放（直角顶点重合）， ， ，且 ，把 绕点 顺时针旋转45°后， 交 于点 ，则 　     　. 

14．如图，在菱形ABCD中，tanA＝ ，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时， 的值为　     　．

15． 在中，若AB= AC，则 =　     　

三、解答题（共8题，共55分）

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB= 。求BC的长及∠A的正切值． 

17．共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）（参考数据： ， ， ， ） 

18．在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放，点C在 的延长线上， ， ， ， ， ，试求 的长． 

19．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业、当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+ ）海里的C处，为了防止某国海运警干扰，就请求我4处的渔监船前往C处护航，已知C位于4处的北偏东45°方向上。A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离。 

20．在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C=90°，a+b=4，且tanB=1，求c的长.

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sin A= ，求DE的长度.

22．如图,在△ABC中,∠BCA=90°,BC=1.5,点F,A,C在同一直线上,∠BAC=30°,DE⊥AB于点D,BE与AB的夹角∠EBD=60°,AD=1,过E点作AC的垂线,交AC的反向延长线于F.求BE及EF的长.

23．阅读理解题：下面利用45°角的正切，求tan22.5°的值，方法如下： 

解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=45°，如图．

延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则∠D= ∠ABC=22.5°．

设AC=a，则BC=a，AB=BD= a．

又∵CD=BD+CB=（1+ ）atan22.5°=tan∠D= ﹣1

请你仿照此法求tan15°的值．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】D

3．【答案】B

4．【答案】D

5．【答案】B

6．【答案】C

7．【答案】A

8．【答案】D

9．【答案】B

10．【答案】A

11．【答案】1.3

12．【答案】或

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，sinB=  ， 

∴AC=AB．sinB=6，

∴BC=   =8，

∴tanA=  

17．【答案】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，

当CN=90cm时，CM=60cm，

∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，

∴sin∠ABE=sin70°= ，

∴BC≈64cm，

∴CE=BC-BE=64-40=24cm.

18．【答案】解：过点B作BM⊥FD于点M， 

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，

∴∠ABC＝30°，BC＝AC·tan60°＝ ，

∵AB∥CF，

∴∠BCM＝∠ABC＝30°．

∴BM＝BC•sin30°＝ × ＝ ，

CM＝BC•cos30°＝ × ＝15，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，

∴∠EDF＝45°，

∴MD＝BM＝ ，

∴CD＝CM−MD＝15− ．

19．【答案】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，

由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，

设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，

在Rt△ABD中，可得BD= x，

又∵BC=20（1+ ），CD+BD=BC，

即x+ x=20（1+ ），

解得：x=20，

∴AC= x=20   （海里）

答：A、C之间的距离为20 海里。

20．【答案】解：由∠C=90°，tanB=1知a=b.由a+b=4得a=b=2，再由勾股定理得c= =2 .

21．【答案】解：在Rt△ABC中，∵BC=6，sin A= ，∴AB=10，∴AC= =8.∵D是AB的中点

∴AD= AB=5，∵∠A=∠A，∠ADE=∠C=90°，∴△ADE∽△ACB，

∴ = ，即 = ，解得：DE=

22．【答案】解:如图,过点B作BH⊥EF于H.∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=1.5,∴AB=3.又∵AD=1,∴BD=2.∵ED⊥AB,∠DBE=60°,∴在Rt△DBE中,cos ∠DBE= ∴BE=4.∵∠BCA=∠BHF=∠HFC=90°,∴四边形HFCB为矩形.∴HF=BC=1.5,CF∥BH.∴∠HBA=∠BAC=30°.∴∠EBH=∠EBD-∠HBA=30°.∴在Rt△EBH中,EH=BE=2.∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5.

23．【答案】解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，

延长CB到D，使BD=AB，连接AD，

则∠D= ∠ABC=15°，

设AC=a，则由构造的三角形得：

AB=2a，BC= a，BD=2a，

则CD=2a+ a=（2+ ）a，

∴tan15°=tanC= = =2﹣ ．