人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词精品一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词精品一课一练，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．下列量词是全称量词的是( )


A．至少有一个 B．存在


C．都是 D．有些


[答案] C


2．下列命题：


①中国公民都有受教育的权利；


②每一个中学生都要接受爱国主义教育；


③有人既能写小说，也能搞发明创造；


④任何一个数除0，都等于0.


其中全称量词命题的个数是( )


A．1 B．2


C．3 D．4


[解析] ①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．


[答案] C


3．下列命题是存在量词命题的是( )


A．一次函数的图象都是上升的或下降的


B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0


C．存在实数大于或者等于3


D．菱形的对角线互相垂直


[解析] 选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．


[答案] C


4．下列是全称量词命题并且是真命题的是( )


A．∀x∈R，x2>0 B．∀x，y∈R，x2＋y2>0


C．∀x∈Q，x2∈Q D．∃x∈Z，使x2>1


[解析] 首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x2＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．


[答案] C


5．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )


A．斜三角形的内角是锐角或钝角


B．至少有一个实数x，使x2>0


C．任意无理数的平方必是无理数


D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2


[解析] 只有A，C两个选项中的命题是全称量词命题；且A显然为真命题．因为eq \r(2)是无理数，而(eq \r(2))2＝2不是无理数，所以C为假命题．


[答案] A


二、填空题


6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________________．


[解析] 命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.


[答案] ∀x≤0，x3≤0


7．给出下列四个命题：


①y＝eq \f(1,x)⇔xy＝1；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．


其中全称量词命题是________．


[解析] ①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．


[答案] ①②④


8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．


[解析] ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±eq \r(2)时，x2＝2，而±eq \r(2)为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．


[答案] 0


三、解答题


9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．


(1)存在x，使得x－2≤0；


(2)矩形的对角线互相垂直平分；


(3)三角形的两边之和大于第三边；


(4)有些素数是奇数．


[解] (1)存在量词命题．如x＝2时，x－2＝0成立，所以是真命题．


(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．


(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．


(4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．


10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．


(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；


(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；


(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；


(4)所有的有理数x都能使eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数．


[解] (1)∀x∈R，使x2＋x＋1>0；真命题．


(2)∀a，b∈R，使ax＋b＝0恰有一解；假命题．如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．


(3)∃x，y∈Z，使3x－2y＝10；真命题．


(4)∀x∈Q，使eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数；真命题．


综合运用


11．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是( )


A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0


B．菱形的两条对角线相等


C．∀x∈R，eq \r(x2)＝x


D．平面内，不相交的两条直线是平行直线


[解析] A中的命题是全称量词命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称量词命题，但是是假命题；C中的命题是全称量词命题，但eq \r(x2)＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D.


[答案] D


12．已知a>0，则“x0满足关于x的方程ax＝b”的充要条件是( )


A．∃x∈R，eq \f(1,2)ax2－bx≥eq \f(1,2)axeq \\al(2,0)－bx0


B．∃x∈R，eq \f(1,2)ax2－bx≤eq \f(1,2)axeq \\al(2,0)－bx0


C．∀x∈R，eq \f(1,2)ax2－bx≥eq \f(1,2)axeq \\al(2,0)－bx0


D．∀x∈R，eq \f(1,2)ax2－bx≤eq \f(1,2)axeq \\al(2,0)－bx0


[解析] 由于a>0，令函数y＝eq \f(1,2)ax2－bx＝eq \f(1,2)aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(b,a)))2－eq \f(b2,2a)，故此函数图象的开口向上，且当x＝eq \f(b,a)时，取得最小值－eq \f(b2,2a)，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝eq \f(b,a)，故∀x∈R，eq \f(1,2)ax2－bx≥eq \f(1,2)axeq \\al(2,0)－bx0，故选C.


[答案] C


13．已知函数y＝x2＋bx＋c，则“c<0”是“∃x0∈R，使xeq \\al(2,0)＋bx0＋c<0”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


[解析] ∃x0∈R，使xeq \\al(2,0)＋bx0＋c<0的充要条件是xeq \\al(2,0)＋bx0＋c<0有解，即b2－4c>0,4c

[答案] A


14．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．


[解析] 依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ＝4－4a2<0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,a<－1或a>1，))∴a<－1.


[答案] {a|a<－1}


15．已知命题“∃x∈R,2x＋(a－1)x＋eq \f(1,2)≤0”是假命题，求实数a的取值范围．


[解] 由题意可得“对∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq \f(1,2)>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1