人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词优秀同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词优秀同步训练题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．命题“∃x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( )


A．∃x∈Z，使x2＋2x＋m>0


B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0


C．∀x∈Z，使x2＋2x＋m≤0


D．∀x∈Z，使x2＋2x＋m>0


[解析] 存在量词命题的否定为全称量词命题，否定结论，故选D.


[答案] D


2．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是( )


A．有些三角形不是等腰三角形


B．所有三角形是等边三角形


C．所有三角形不是等腰三角形


D．所有三角形是等腰三角形


[解析] 在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形不是等腰三角形”，故选C.


[答案] C


3．已知命题p：∀x>0，x＋eq \f(1,x)≥2，则它的否定为( )


A．∀x>0，x＋eq \f(1,x)<2 B．∀x≤0，x＋eq \f(1,x)<2


C．∃x≤0，x＋eq \f(1,x)<2 D．∃x>0，x＋eq \f(1,x)<2


[答案] D


4．命题“∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是( )


A．∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根


B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根


C．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根


D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根


[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.


[答案] C


5．下列四个命题中，真命题是( )


A．∀x∈R，x＋eq \f(1,x)≥2 B．∃x∈R，x2－x>5


C．∃x∈R，|x＋1|<0 D．∀x∈R，|x＋1|>0


[解析] 选项A，当x<0时，x＋eq \f(1,x)≥2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以D错，故选B.


[答案] B


二、填空题


6．命题p：∃x∈R，x2＋3x＋2<0，则命题p的否定为________．


[解析] 命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是∀x∈R，x2＋3x＋2≥0.


[答案] ∀x∈R，x2＋3x＋2≥0


7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________________________．


[解析] 该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．


[答案] 任意一个三角形都有外接圆


8．由命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．


[解析] 因为命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>eq \f(9,8).故实数a的取值范围是a>eq \f(9,8).


[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>\f(9,8)))))


三、解答题


9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：


(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；


(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；


(3)对任意实数x1，x2，若x1

(4)∃x>1，使x2－2x－3＝0.


[解] (1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．


(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．


(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1

(4)这个命题的否定为“∀x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．


10．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．


[解] 题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．


所以a＝0，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0，,4－4a≥0，))即a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1.


所以实数a的取值范围是{a|a≤1}．


综合运用


11．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p的否定为( )


A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n


C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n


[解析] 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.


[答案] C


12．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )


A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n

[解析] 由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n

[答案] D


13．命题：存在一个实数对，使2x＋3y＋3＜0成立的否定是


_______________________________________________________.


[答案] 对任意实数，2x＋3y＋3≥0恒成立


14．给出下列命题：


①∀x∈R，x2>0；


②∃x∈R，x2＋x＋1≤0；


③∀x<3，函数y＝eq \r(x2－3x－1)有意义；


④∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q.


其中是真命题的个数为________．


[解析] ①当x＝0时，x2＝0，是假命题；②x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥0，是假命题；③x＝0时函数没有意义，是假命题；④当a＝2－eq \r(2)，b＝3＋eq \r(2)时，a＋b＝5，是真命题．


[答案] 1


15．命题p：∃x∈R，eq \f(1,x＋1)>0的否定为____________________．


[答案] ∀x∈R，eq \f(1,x＋1)≤0或eq \f(1,x＋1)无意义


16．已知p：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：{x|－m≤x－1≤m，(m＞0)}，且p的否定是q的否定的必要不充分条件，求实数m的取值范围．


[解] 由q得1－m≤x≤1＋m，


∴q的否定为：A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}．


由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(x－1,3)))≤2，解得－2≤x≤10，


∴p的否定为：B＝{x|x＞10或x＜－2}．


∵p的否定是q的否定的必要不充分条件．


∴AB，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞0，,1－m＜－2，,1＋m≥10))


或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞0，,1－m≤－2，,1＋m＞10，))


即m≥9或m＞9，∴实数m的取值范围是m≥9.