高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示课时训练

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§1 集合


1.1 集合的概念与表示


课时1 集合的概念


知识点1 元素与集合的概念


1.☉%1#0#6##8%☉(2020·九江中学月考)下列各组对象能组成集合的是( )。


①某社区截止2020年3月5日确诊的新冠肺炎病人;②2的近似值;③2018年平昌冬奥会比赛项目;④宁都中学2019春季高一尖子生。


A.①④ B.②③ C.①③ D.②④


答案：C


解析：①③中元素是确定的。


2.☉%4￥*38@4@%☉(2020·西安中学月考)由实数x,-x,|x|,x2,-x2所组成的集合中,其含有元素的个数最多为( )。


A.2 B.3 C.4 D.5


答案：A


解析：当x>0时,|x|=x,x2=|x|=x,-x2=-|x|=-x,集合中有2个元素;当x<0时,|x|=-x,x2=-x,-x2=x,集合中有2个元素;当x=0时,集合中只有1个元素。故集合中最多有2个元素。


3.☉%￥006#*#8%☉(2020·蚌埠二中周练)设集合A={1,2,3},B={1,3,9},x∈A且x∉B,则x等于( )。


A.1 B.2 C.3 D.9


答案：B


解析：属于A而不属于B的元素只有2。


4.☉%@￥9*55*6%☉(多选)(2020·桂林中学月考)下列所给关系正确的是( )。


A.π∈R B.3∉Q


C.0∈N* D.|-4|∉N*


答案：AB


解析：N*是正整数集,故0∉N*,|-4|=4∈N*。


5.☉%4*867@@@%☉(2020·瑞昌一中检测)若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是( )。


B.-5 C.37 D.7


答案：D


解析：是实数而不是有理数的数a只可能是7。


知识点2 元素与集合的关系


6.☉%86*#91@@%☉(2020·黄冈中学月考)已知集合A中的元素x满足x-1<3,则下列各式正确的是( )。


A.3∈A且-3∉A B.3∈A且-3∈A


C.3∉A且-3∉A D.3∉A且-3∈A


答案：D


解析：x-1<3⇒x<1+3。


7.☉%*3#￥#889%☉(多选)(2020·桂林中学月考)已知a,b为非零实数,代数式a|a|+b|b|+ab|ab|的值组成集合A,则下列判断正确的是( )。


A.-3∈A B.-1∈A


C.1∈A D.3∈A


答案：BD


解析：因为a,b为非零实数,所以代数式a|a|+b|b|+ab|ab|的取值为-1或3,所以-1∈A,3∈A。


8.☉%￥￥15*07@%☉(2020·衡水中学周练)在下面几个命题中,正确的命题个数是( )。


①集合N*中最小的元素是1;②若-a∈N*,则a∈N*;③若a∈N*,b∈N*,则a+b的最小值是2;④x2+9=6x的解集是{3,3}。


A.0 B.1 C.2 D.3


答案：C


解析：N*是正整数集,最小的数是1,故①正确;当a<0时,-a∈N*,但a∉N*,故②错误;若a∈N*,则a的最小值为1,又b∈N*,则b的最小值为1,当a和b都取最小值时,a+b取最小值2,故③正确;由集合中元素的互异性知④错误。


9.☉%17@@@7*1%☉(2020·柳铁一中第一次月考)用符号“∈”或“∉”填空。


设集合M中的元素为平行四边形,p表示某个矩形,q表示某个梯形,则p M,q M。


答案：∈ ∉


解析：矩形是平行四边形,梯形不是平行四边形,故p∈M,q∉M。


知识点3 集合中元素的特性


10.☉%#*812@1@%☉(2020·资溪第一中学周练)下列说法不正确的是( )。


A.著名科学家组成一个集合


B.数轴上到原点的距离大于1的点的全体组成一个集合


C.1,32,64,-12,0.5,这些数组成的集合有三个元素


D.集合{1,3,5,7}与集合{3,1,7,5}表示同一个集合


答案：A


解析：“著名科学家”无法确定其定义,故不符合元素的特性。


11.☉%*01@62@#%☉(2020·江西永修一中周练)已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是( )。


A.锐角三角形 B.直角三角形


C.钝角三角形 D.等腰三角形


答案：D


解析：由元素的互异性可知,集合中没有相同的元素,即a≠b≠c,故不可能为等腰三角形。


12.☉%7￥*26#*9%☉(2020·华师一附中周练)用符号“∈”和“∉”填空。


(1)设集合A是所有正整数组成的集合,则0 A,2A,(-1)0 A;


答案：∉ ∉ ∈


(2)设集合B是小于11的所有实数组成的集合,则23B,1+2 B;


答案：∉ ∈


(3)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x组成的集合,则3 C,5 C;


答案：∉ ∈


(4)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)组成的集合,则-1 D,(-1,1) D。


答案：∉ ∈


解析：由集合中元素的特性易得。


13.☉%*￥￥36￥98%☉(2020·铜川第一中学月考)已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},对任意a∈A,有|a|∈B,且B中只有4个元素,求集合B。


答案：解:对任意a∈A,有|a|∈B。因为集合A={-2,-1,0,1,2,3},由-1,-2,0,1,2,3∈A,知0,1,2,3∈B。又因为B中只有4个元素,所以B={0,1,2,3}。


题型1 根据集合的概念求参数


14.☉%8*5@0*2￥%☉(2020·丰城拖船中学摸底检测)已知集合A是由偶数组成的,集合B是由奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b A,ab A。(填“∈”或“∉”)


答案：∉ ∈


解析：因为a是偶数,b是奇数,所以a+b是奇数,ab是偶数。故a+b∉A,ab∈A。


15.☉%##4836*￥%☉(2020·陕师大附中检测)已知集合P中的元素x满足:x∈N,且2

答案：6


解析：因为x∈N,2

题型2 根据元素与集合间的关系求参数


16.☉%##3￥￥325%☉(2020·黄冈中学过关检测)集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为 。


答案：0或1


解析：因为y=-x2+1≤1,且y∈N,所以y的值为0,1,即集合A中的元素为0,1。又t∈A,所以t=0或1。


17.☉%6#**0*69%☉(2020·广西师大附中月考)集合M中的元素为自然数,且满足:如果x∈M,那么8-x∈M,试回答下列问题:


(1)写出只有一个元素的集合M;


答案：解:M中只有一个元素,根据已知必须满足x=8-x,所以x=4。故含有一个元素的集合M={4}。


(2)写出元素个数为2的所有集合M;


答案：当M中含有两个元素时,其元素只能是x和8-x,且x≠8-x,即x≠4,从而含两个元素的集合M应为{0,8},{1,7},{2,6},{3,5}。


(3)满足题设条件的集合M共有多少个?


答案：满足条件的M可由4,0和8,1和7,2和6,3和5这5组数组合而成,它包括以下情况:


①由1组数组成的有{4},{0,8},{1,7},{2,6},{3,5},共5个。


②由2组数组成的有{4,0,8},{4,1,7},{4,2,6},{4,3,5},{0,8,1,7},{0,8,2,6},{0,8,3,5},{1,7,2,6},{1,7,3,5},{2,6,3,5},共10个。


③由3组数组成的有{4,0,8,1,7},{4,0,8,2,6},{4,0,8,3,5},{4,1,7,2,6},{4,1,7,3,5},{4,2,6,3,5},{0,8,1,7,2,6},{0,8,1,7,3,5},{1,7,2,6,3,5},{0,8,2,6,3,5},共10个。


④由4组数组成的有{4,0,8,1,7,2,6},{4,0,8,1,7,3,5},{4,0,8,2,6,3,5},{4,1,7,2,6,3,5},{0,8,1,7,2,6,3,5},共5个。


⑤由5组数组成的有{4,0,8,1,7,2,6,3,5},共1个。


综上可知,满足题设条件的集合M共有31个。


题型3 利用元素的特征求参数


18.☉%￥76@@35￥%☉(2020·萍乡三中质检)已知3∈{1,a,a-2},则实数a的值为( )。


A.3 B.5 C.3或5 D.不存在


答案：B


解析：当a=3时,a-2=1,与元素的互异性矛盾,故只有a-2=3,a=5。


19.☉%@6*32**5%☉(2020·江苏启东中学过关测试)设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x。


(1)元素x应满足的条件是 ;


答案：x≠0,x≠-1且x≠3


解析：根据集合元素的互异性得x≠3,x≠x2-2x,x2-2x≠3,即x≠0,x≠-1且x≠3。


(2)若-2∈A,则实数x= 。


答案：-2


解析：因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,又-2∈A,所以x=-2。


20.☉%4@23￥@*8%☉(2020·武汉中学高一检测)已知集合A中有元素1和a2,则实数a不能取的值是 。


答案：1,-1


解析：由互异性知a2≠1,即a≠±1。


21.☉%**15*25*%☉(2020·珠海一中期中)集合{1,a+b,a}与集合0,ba,b是同一个集合,则a-b的值为 。


答案：-2


解析：由题意知a≠0,a+b=0,即a=-b,则ba=-1。则b=1,a=-1,所以a-b=-2。


题型4 元素与集合的综合应用


22.☉%99#@￥63*%☉(2020·南宁二中月考)设A是非空数集,且满足条件:若a∈A,a≠1,则11-a∈A。


求证:


(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;


答案：证明:若2∈A,则11-2=-1∈A,于是11-(-1)=12∈A,故若2∈A,则A中必还有另外两个元素-1,12。


解析：证明中不能正确认识“若a∈A,a≠1,则11-a∈A”的递推作用,造成给出2∈A后,推导出元素不能确定;(2)中不明确什么时候是单元素集合M,导致不能找到方程a=11-a,造成证明受阻;


(2)集合A不可能是单元素集;


答案：假设A为单元素集,则有a=11-a,即a2-a+1=0有实数解。


这与方程a2-a+1=0无实数解相矛盾,所以a≠11-a。


所以a与11-a都为集合A的元素,故集合A不是单元素集。


(3)集合A中至少有三个不同元素。


答案：由已知,a∈A⇒11-a∈A⇒11-11-a=1-a-a∈A,


现只需证明:a,11-a,1-a-a三个数互不相等。


若a=11-a⇒a2-a+1=0,方程无解,所以a≠11-a;


若a=1-a-a⇒a2-a+1=0,方程无解,所以a≠1-a-a;


若11-a=1-a-a⇒a2-a+1=0,方程无解;所以11-a≠1-a-a。


故集合A中至少有三个不同元素。


解析：如何利用递推关系,求出元素有哪三个,为什么只有三个,由对元素的互异性认识不清,而缺少后面的证明。


23.☉%1#@648￥￥%☉(2020·北安一中检测)关于x的方程ax2-3x+1=0(a∈R)的实数根构成集合A。


(1)若A为⌀,求a的取值范围;


答案：解:A为∅,则a≠0且Δ=(-3)2-4a<0,所以a>94。


(2)若1∈A,求实数a的值;


答案：因为1∈A,所以a×12-3×1+1=0,所以a=2。


(3)若集合A中仅含有一个元素,求实数a的值;


答案：当a=0时,x=13,符合题意;当a≠0时,Δ=(-3)2-4a=0,所以a=94。


所以集合A中仅含有一个元素时,a=0或a=94。


(4)若集合A中含有两个元素,求实数a的取值范围。


答案：集合A中含有两个元素,即关于x的方程ax2-3x+1=0有两个不相等的实数解,所以a≠0且Δ=(-3)2-4a>0,解得a<94且a≠0。


所以实数a的取值范围为a|a<94且a≠0。