高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 集合的基本关系2课时习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 集合的基本关系2课时习题，共9页。试卷主要包含了2 集合的基本关系等内容，欢迎下载使用。

§1 集合


1.2 集合的基本关系


课时2 集合的相等及其子集的性质


知识点1 集合的相等


1.☉%2￥#*481#%☉(2020·寿县一中单元测试)给出以下6组集合:(1)M={(-5,3)},N={-5,3};(2)M={1,-3},N={3,-1};(3)M=⌀,N={0};(4)M={π},N={3.141 5};(5)M={x|x是小数},N={x|x是实数};(6)M={x|x2-3x+2=0},N={y|y2-3y+2=0}。


其中是相等集合的有( )。


A.2组B.3组C.4组D.5组


答案：A


解析：对于(1),M={(-5,3)}中只有一个元素(-5,3),N={-5,3}中有两个元素-5,3,故M,N不是相等的集合;对于(2),M={1,-3},N={3,-1},集合M和集合N中的元素不同,故M,N不是相等的集合;对于(3),M=⌀,N={0},M是空集,N中有一个元素0,故M,N不是相等的集合;对于(4),M={π},N={3.141 5},M和N中各有一个元素,但元素不相同,故M,N不是相等的集合;对于(5),M={x|x是小数},N={x|x是实数},因为实数集就是小数集,所以M和N是相等的集合;对于(6),M和N都只有两个元素1,2,所以M和N是相等的集合。故选A。


2.☉%*9#59￥@3%☉(2020·无为中学月考)集合P={x|y=x+1},集合Q={y|y=x-1},则P与Q的关系是( )。


A.P=QB.P⫌Q


C.P⫋QD.P∋Q


答案：B


解析： P={x|x≥-1},Q={y|y≥0},所以Q⫋P。


3.☉%￥3@#00#2%☉(2020·六安一中周练)集合A={1,x,y},B={1,x2,2y},若A=B,则实数x的取值集合为( )。


A.12B.12,-12


C.0,12D.0,12,-12


答案：A


解析：因为A=B,所以x=x2,y=2y或x=2y,y=x2,所以x=0,y=0或x=1,y=0或x=12,y=14,由集合中元素的互异性得仅有x=12,y=14符合A=B,故选A。


4.☉%**4￥1*19%☉(2020·芜湖一中单元测试)集合A={2n+1|n∈Z},集合B={4k±1|k∈Z},则A与B之间的关系是( )。


A.A∈BB.A⫋BC.A∉BD.A=B


答案：D


解析：因为整数包括奇数与偶数,所以n=2k或2k-1(k∈Z),当n=2k时,2n+1=4k+1,当n=2k-1时,2n+1=4k-1,故A=B。


5.☉%#5@￥@650%☉(2020·宿城一中周练)已知集合A={x|x=3n-2,n∈Z},B={y|y=3k+1,k∈Z},则A与B的关系是 。


答案：A=B


解析：设任意x0∈A,则x0=3n0-2,n0∈Z。又3n0-2=3(n0-1)+1,n0∈Z,所以n0-1∈Z,x0∈B,所以A⊆B。设任意y0∈B,则y0=3k0+1,k0∈Z。又3k0+1=3(k0+1)-2,k0∈Z,所以k0+1∈Z,y0∈A,所以B⊆A。综上可得A=B。


6.☉%#3##06*6%☉(2020·柳州中学调考)已知集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},试判断M与P的关系。


答案：解:对于任意的x∈M,有x=1+a2=(a+2)2-4(a+2)+5。因为a∈N*,所以a+2∈N*且a+2≥3,所以M⫋P。


知识点2 子集的性质


7.☉%##4482￥@%☉(多选)(2020·周庄中学周练)下列命题中,正确的有( )。


A.空集是任何集合的真子集


B.若A⫋B,B⫋C,则A⫋C


C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集


D.如果不属于B的元素一定不属于A,则A⊆B


答案：BD


解析：A.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故A错;B.真子集具有传递性,故B正确;C.若一个集合是空集,则没有真子集,故C错;D.由Venn图易知D正确。故选BD。


8.☉%#0#@00#0%☉(2020·兴平西郊中学月考)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0

A.1B.2


C.3D.4


答案：D


解析： 因为集合A={1,2},B={1,2,3,4},所以当满足A⊆C⊆B时,集合C可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},故集合C有4个。


9.☉%#*@18*84%☉(2020·北京东城模拟)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列关于集合A与B的关系正确的是( )。


A.A⊆BB.A⫋B


C.B⫋AD.A∈B


答案：D


解析：因为x⊆A,所以B={⌀,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的元素,所以A∈B。


10.☉%*#6*451#%☉(2020·江西新余第一中学周练)已知集合M={x|-2≤x≤a}是非空集合,集合P={y|y=2x-3,x∈M},集合T={z|z=x,x∈M},若T⊆P,则实数a的取值范围是( )。


A.a≥-3B.a≥3


C.a≤-3D.-3≤a≤-2


答案：B


解析：因为集合P,T中的自变量都从集合M中取得,所以集合P={y|-7≤y≤2a-3},集合T={z|-2≤z≤a},由T⊆P,得2a-3≥a,则a≥3。


11.☉%￥*069@9#%☉(2020·武钢三中月考)已知集合A={-2,3,4m-4},集合B={3,m2}。若B⊆A,则实数m= 。


答案：2


解析：由B⊆A知,m2=4m-4,即(m-2)2=0,所以m=2。


12.☉%*30*8@*5%☉(2020·辽宁省实验中学月考)已知集合M=x|x=m+16,m∈Z,N=xx=n2-13,n∈Z,P=x|x=p6+13,p∈Z,则M,N,P的关系为M N P。


答案：⊆ ⊆


解析： M中的元素为x=6m+16,N中的元素为x=3n-26,P中的元素为x=p+26,N中令n=2k+1,得x=6k+16∈M,令n=2k时,x∉M,所以M⊆N。P中令p=3k-1,x=3k+16=3(k+1)-26∈N,令p=3k,3k-2时,x∉N,所以N⊆P。


13.☉%1#@5#0￥3%☉(2020·山东广饶一中模拟)已知集合M={x|-2≤x≤5},N={x|m-6≤x≤2m-1}。


(1)若M⊆N,求实数m的取值范围;


答案：解:若M⊆N,则2m-1≥m-6,m-6≤-2,2m-1≥5,解得3≤m≤4。


所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}。


(2)若M=N,求实数m的取值范围。


答案：若M=N,则m-6=-2,2m-1=5,方程组无解,即不存在实数m使得M=N。所以实数m的取值范围为⌀。


题型1 集合相等的应用


14.☉%￥#19￥33@%☉(2020·眉县槐芽中学月考)若{1,2}={x|x2+bx+c=0},则( )。


A.b=-3,c=2B.b=3,c=-2


C.b=-2,c=3D.b=2,c=-3


答案：A


解析： 由题意知1,2为方程x2+bx+c=0的两个根,所以1+2=-b,1×2=c,解得b=-3,c=2。


15.☉%9@#92**9%☉(2020·全州高中月考)设A,B是两个非空集合,定义A与B的差集A-B={x|x∈A且x∉B}。


(1)试举出两个数集,使它们的差集为单元素集合;


答案：解:如A={1,2,3},B={2,3,4},则A-B={1}。(答案不唯一)


(2)差集A-B与B-A是否一定相等?请说明理由;


答案：不一定相等。


由(1)可得,B-A={4},而A-B={1},B-A≠A-B,


只有当A=B时,A-B=B-A,


所以A-B与B-A不一定相等。


(3)已知A={x|x>4},B={x||x|<6},求A-(A-B)及B-(B-A),由此你可以得到什么更一般的结论?(不必证明)


答案：A-B={x|x≥6},B-A={x|-6

A-(A-B)={x|4

B-(B-A)={x|4

由此猜测:一般地,对于两个集合A,B,有A-(A-B)=B-(B-A)成立。


题型2 子集及其性质的应用


16.☉%@941**9@%☉(2020·西安第八十五中学周练)在一次羽毛球比赛中,若集合A={参加羽毛球比赛的运动员},集合B={参加羽毛球比赛的男运动员},集合C={参加羽毛球比赛的女运动员},则下列关系正确的是( )。


A.A⊆BB.B⊆CC.C⊈AD.B⫋A


答案：D


解析：参加比赛的运动员包括男运动员和女运动员。


17.☉%#@￥*1095%☉(2020·浙江十二校新高考研究联盟高一联考)集合M={1,2,a,a2-3a-1},N={-1,3},若3∈M且N⊈M,则a的取值为( )。


A.-1B.4


C.-1或-4D.-4或1


答案：B


解析：①若a=3,则a2-3a-1=-1,即M={1,2,3,-1},显然N⊆M,不合题意。②若a2-3a-1=3,即a=4或a=-1。当a=-1时,N⊆M,舍去。当a=4时,M={1,2,4,3},满足要求。


18.☉%169￥5*#@%☉(2020·扶风高中月考)若集合A={x|mx2+2x+1≤0}≠⌀,则实数m的取值范围是( )。


A.0

C.m≤1D.m<0或0

答案：C


解析：当m=0时,显然A={x|2x+1≤0}=x|x≤-12≠⌀;当m<0时,A={x|mx2+2x+1≤0}≠⌀也显然成立;当m>0时,由题意知二次函数的判别式Δ=4-4m≥0,解得0

19.☉%33￥￥24￥￥%☉(2020·东乡第一中学月考)已知A={x|x<-1或x>5},B={x|a≤x

答案：{a|a≤-5或a>5}


解析：因为A={x|x<-1或x>5},B={x|a≤x5,解得a≤-5或a>5。


20.☉%2#497￥￥#%☉(2020·金溪第一中学周练)已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B⊆A,求a的取值范围。


答案：解:利用数轴法表示B⊆A,如图所示,





则a+3<-5或a+1≥4,解得a<-8或a≥3。


解析：求解过程中容易忽略等号能否成立,得到a+3≤-5或a+1≥4,解得a≤-8或a≥3。事实上,在求出a≤-8或a≥3后也可以直接将端点值回代,看是否符合题意,进而进行适当取舍即可。当a=-8时,不符合题意,舍去;当a=3时,符合题意,故正确结果应为a<-8或a≥3。


21.☉%@48￥@50#%☉(2020·江西信丰第二中学期中考试)已知集合A={1,3,x2},B={x+2,1},是否存在实数x,使得B⊆A?若存在,求集合A,B;若不存在,说明理由。


答案：解:假设存在实数x,使得B⊆A,则x+2=3或x+2=x2。


(1)当x+2=3时,x=1,此时A={1,3,1},不满足集合中元素的互异性,故x≠1;


(2)当x+2=x2时,即x2-x-2=0,故x=-1或x=2,①当x=-1时,A={1,3,1}与集合中元素的互异性矛盾,故x≠-1;②当x=2时,A={1,3,4},B={4,1},显然有B⊆A。综上所述,存在x=2,即A={1,3,4},B={4,1},使得B⊆A。


22.☉%0#9*@#60%☉(2020·江西上饶中学周练)已知集合A={x|-1

(1)当m=2时,若a,b∈A,试确定(a-1)(b-1)的正负;


答案：解:因为m=2,


所以由-1<2x-1<1,解得0

即A={x|0

因为a,b∈A,所以0

所以a-1<0,b-1<0,


所以(a-1)(b-1)>0。


即(a-1)(b-1)为正。


(2)当m>0时,若A⊆B,试求m的取值范围。


答案：因为m>0,所以由-1

又A⊆B,所以2m≤4,所以m≥12,


所以m的取值范围是mm≥12。


题型3 子集的个数问题


23.☉%￥*@68*02%☉(2020·东北育才四中月考)定义集合A*B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,2,3,4,5},B={4,5},则A*B的非空真子集个数为 。


答案：6


解析：A*B={1,2,3},23-2=6。


24.☉%6￥6￥@76#%☉已知集合A,B,C,A⊆B,A⊆C,若B={y∈N|y=-x2+6,x∈N},C=x∈N|10x-1∈N,则集合A中最多含有几个元素?


答案：解:依题可知,B={6,5,2},C={2,3,6,11}。因为A⊆B,A⊆C,所以A=⌀或A={2}或A={6}或A={2,6},故A中最多含有2个元素。


题型4 新概念题


25.☉%#14*0*9￥%☉(2020·北京西城模拟)定义集合A,B之间的运算“*”:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}。若A={1,2,3},B={1,2},则集合A*B中的最大元素为 ,集合A*B的所有子集个数为 。


答案：5 16


解析：由题意得A*B={2,3,4,5},故集合中最大元素为5,子集个数为24=16。


26.☉%@@@687*1%☉(2020·江西宁都中学周练)定义:设有限集合A={x|x=ai,i≤n,i∈N*,n∈N*},S=a1+a2+…+an-1+an,则S叫作集合A的模,记作|A|。若集合P={x|x=2n-1,n∈N*,n≤5},集合P含有四个元素的全体子集分别为P1,P2,…,Pk,求|P1|+|P2|+…+|Pk|的值。


答案：解:因为集合P={x|x=2n-1,n∈N*,n≤5},所以集合P={1,3,5,7,9},所以集合P含有四个元素的全体子集分别为{3,5,7,9},{1,5,7,9},{1,3,5,9},{1,3,5,7},{1,3,7,9}。按照新定义可知:|P1|+|P2|+…+|Pk|=(3+5+7+9)+(1+5+7+9)+(1+3+5+9)+(1+3+5+7)+(1+3+7+9)=4×(1+3+5+7+9)=100。


27.☉%0#￥￥65*8%☉(2020·广丰一中期中考试)已知集合A={x||x-a|=4},B={1,2,b}。


(1)是否存在实数a,使得对于任意的实数b都有A⊆B?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由。


答案：解:由题意,知当且仅当集合A中的元素为1,2时,对于任意的实数b都有A⊆B。


因为A={a-4,a+4},所以a-4=1,a+4=2或a-4=2,a+4=1。


方程组均无解,所以不存在实数a,使得对于任意的实数b都有A⊆B。


(2)若A⊆B成立,求出对应的实数对(a,b)。


答案：结合(1)知,若A⊆B,


则有a-4=1,a+4=b或a-4=2,a+4=b或a-4=b,a+4=1或a-4=b,a+4=2。


解得a=5,b=9或a=6,b=10或a=-3,b=-7或a=-2,b=-6。


所以所求实数对(a,b)为(5,9),(6,10),(-3,-7),


(-2,-6)。