人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.2 函数的单调性优秀第1课时教学设计及反思

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第1课时 单调性的定义与证明








1．增函数与减函数的定义


思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？


提示：定义中的x1，x2有以下3个特征


(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；


(2)有大小，通常规定x1＞x2；


(3)属于同一个单调区间．


2．函数的单调性与单调区间


如果函数y＝f(x)在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在M上具有单调性(当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．


思考2：函数y＝eq \f(1,x)在定义域上是减函数吗？


提示：不是．y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．


3．函数的最值





1．函数y＝f(x)的图像如图所示，其增区间是( )





A．[－4,4]


B．[－4，－3]∪[1,4]


C．[－3,1]


D．[－3,4]


C [由题图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.]


2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )


A．y＝－eq \f(1,x) B．y＝x


C．y＝x2 D．y＝1－x


D [函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.]


3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )


A．－1,0 B．0,2


C．－1,2 D.eq \f(1,2)，2





C [由题图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.]


4．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．


(－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]





【例1】 证明：函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数．


[思路点拨] eq \x(设元任取x1，x2∈0，1且x1＞x2)―→


eq \x(作差：fx1－fx2)eq \(――→,\s\up14(变形))eq \x(判号：fx2>fx1)eq \(――→,\s\up14(结论))eq \x(减函数)


[证明] 设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x1x2)))＝eq \f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)，


∵0

∴x1－x2＞0,0

∴eq \f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，


∴f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数．





利用定义证明函数单调性的步骤


1取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＞x2.


2作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.


3定号：确定fx1－fx2的符号.


4结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性.


提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.








1．证明：函数y＝eq \f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数．


[证明] 设x1>x2>－1，则


y1－y2＝eq \f(x1,x1＋1)－eq \f(x2,x2＋1)＝eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1).


∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，


∴eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1)>0，即y1－y2>0，y1>y2，


∴y＝eq \f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数．





【例2】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．


(1)f(x)＝－eq \f(1,x)；(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))


(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.


[解] (1)函数f(x)＝－eq \f(1,x)的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．


(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．


(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))


根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．


f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．


(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))


根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．


f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．








求函数单调区间的方法


1利用已知函数的单调性求函数的单调区间.


2利用函数图像求函数的单调区间.


提醒：1若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开.


2理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系.








2．根据如图所示，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．





[解] 函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．


3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．


[解] 先画出


f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－3，x<－1或x>3，,－x2－2x－3，－1≤x≤3))的图像，如图．





所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．





[探究问题]


1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？


提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a

2．决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c单调性的因素有哪些？


提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－eq \f(b,2a)的大小．


【例3】 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．


(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．


[思路点拨] (1)eq \x(分析fx的对称轴与区间的关系)数形结合,eq \x(建立关于a的不等式)eq \(――→,\s\up14( ))eq \x(求a的范围)


(2)eq \x(f2x－3>f5x－6)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数,eq \x(建立关于x的不等式)eq \(――→,\s\up14( ))eq \x(求x的范围)


(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图像开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，


只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.


∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．


(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，


∴2x－3>5x－6，即x<1.


∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]





1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．


[解] 由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.


所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．


2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．


[解] 由题意可知，


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3>0，,5x－6>0，,2x－3<5x－6，))解得x>eq \f(3,2).


∴x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).





函数单调性的应用


1函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.


2若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.








【例4】 已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1).


(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；


(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．


[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1

则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1＋1,x1＋1)－eq \f(2x2＋1,x2＋1)＝eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1)，


因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，


所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)

所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．


(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，


所以f(x)的最小值为f(2)＝eq \f(2×2＋1,2＋1)＝eq \f(5,3)，


最大值为f(4)＝eq \f(2×4＋1,4＋1)＝eq \f(9,5).





1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤


(1)判断函数的单调性．


(2)利用单调性求出最大(小)值．


2．函数的最大(小)值与单调性的关系


(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．


(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．


提醒：(1)求最值勿忘求定义域．


(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．








4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－1＜x≤1，,\f(1,x)，x>1，))求(1)f(x)的最大值、最小值；(2)f(x)的最值点．


[解] (1)作出函数f(x)的图像(如图)．





由图像可知，当x＝1时，f(x)取最大值为f(1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，


故f(x)的最大值为1，最小值为0.


(2)f(x)的最大值点为x0＝1，最小值点为x0＝0.





1．定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．


2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．


3．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：


(1)图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出最值；


(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；


4．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．





1．思考辨析


(1)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)

(2)若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．( )


(3)任何函数都有最大(小)值．( )


(4)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．( )


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×


2．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( )


A．y＝eq \f(1,x) B．y＝2x－1


C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2


B [对于A，y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B，y＝2x－1在R上单调递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝(2x－1)2在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增．故选B.]


3．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为________．


[－1,3] [∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，


当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]．]


4．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝eq \f(2x,x－1)在(1，＋∞)上是减函数．


[证明] f(x)＝2＋eq \f(2,x－1)，


设x1>x2>1，


则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2,x1－1)－eq \f(2,x2－1)＝eq \f(2x2－x1,x1－1x2－1).


因为x1>x2>1，


所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，


所以f(x1)

所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．(重点)


2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．(重点、难点)


3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)
1.借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．


2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．


3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，且M⊆A：


如果对任意x1，x2∈M，当x1＞x2时
都有f(x1)＞f(x2)
都有f(x1)＜f(x2)
结论
y＝f(x)在M上是增函数(也称在M上单调递增)
y＝f(x)在M上是减函数(也称在M上单调递减)
图示
最大值
最小值
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为D：且x0∈D，如果对任意x∈D
都有f(x)≤f(x0)
都有f(x)≥f(x0)
结论
称f(x)的最大值为f(x0)，记作fma x＝f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点
称f(x)的最小值为f(x0)，记作fmin＝f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点
统称
最大值和最小值统称为最值
最大值点和最小值点统称为最值点
定义法证明(判断)函数的单调性
求函数的单调区间
函数单调性的应用
求函数的最值(值域)