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初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试同步练习题
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这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试同步练习题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=ECB．AE=BEC．∠EBC=∠BACD．∠EBC=∠ABE
2．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
3．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）
A．30°B．15°C．45°D．25°
4．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（ ）
A．48°B．40°C．30°D．24°
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A．2aB．2aC．3aD．
6．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．2B．3C．D．4
7．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
A．3B．4C．5D．6
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．75°
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ）
A．40°B．36°C．30°D．25°
10．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（ ）
A．PN＜3B．PN＞3C．PN≥3D．PN≤3
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15B．30C．45D．60
12．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
二、填空题
13．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ．
14．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 ．
15．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A= 度．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段 ．
三、解答题
18．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA．
19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．
求证：DE=BF．
21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
22．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．
23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
答案与解析
1．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=ECB．AE=BEC．∠EBC=∠BACD．∠EBC=∠ABE
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】选择题
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC，
∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，
∴∠A=∠EBC，
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
2．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【考点】KH：等腰三角形的性质；K6：三角形三边关系．
【专题】选择题
【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选A．
【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．
3．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）
A．30°B．15°C．45°D．25°
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KW：等腰直角三角形．
【专题】选择题
【分析】根据直角三角形的性质得到BE=CE，求得∠CBE=60°，得到∠DBF=30°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABD=45°，求得∠ABF=75°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，
∴BE=CE=CD，
∵∠BCD=60°，
∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABF=75°，
∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，
故选B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
4．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（ ）
A．48°B．40°C．30°D．24°
【考点】KH：等腰三角形的性质；JA：平行线的性质．
【专题】选择题
【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠1=∠BAE=45°，然后根据三角形外角性质计算∠C的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠BAE=48°，
∵∠1=∠C+∠E，
∵CF=EF，
∴∠C=∠E，
∴∠C=∠1=×48°=24°．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A．2aB．2aC．3aD．
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．
【专题】选择题
【分析】根据勾股定理得到CE=a，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，
∴CE=a，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴AB=2CE=2a，
故选B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理的应用，能求出AE=CE是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．2B．3C．D．4
【考点】KF：角平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=2，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
A．3B．4C．5D．6
【考点】KI：等腰三角形的判定．
【专题】选择题
【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可．
【解答】解：如图所示：
当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．75°
【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．
故选B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ）
A．40°B．36°C．30°D．25°
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】选择题
【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD=DA，
∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
故选B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
10．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（ ）
A．PN＜3B．PN＞3C．PN≥3D．PN≤3
【考点】KF：角平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】作PM⊥OB于M，根据角平分线的性质得到PM=PE，得到答案．
【解答】解：作PM⊥OB于M，
∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，
∴PM=PE=3，
∴PN≥3，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15B．30C．45D．60
【考点】KF：角平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30，
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．
12．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
【考点】KF：角平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．
故选C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．
13．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】填空题
【分析】根据100°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答．
【解答】解：∵100°＞90°，
∴100°的角是顶角，
故答案为：100°．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出100°的角是顶角是解题的关键．
14．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 ．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】填空题
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，
故答案为：15．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A= 度．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】填空题
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=30°，
∴∠A=（180°﹣30°）=75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】填空题
【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；
【解答】解：∵AB=AC，
BE=a，AE=b，
∴AC=AB=a+b，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=b，
∴∠ECA=∠BAC=36°，
∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，
∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，
∴CE=BC=b，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b
故答案为：2a+3b．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE=CE=BC，本题属于中等题型．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段 ．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KF：角平分线的性质．
【专题】填空题
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴BE=EA，
故答案为：BE=EA．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA．
【考点】KF：角平分线的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AM=BM，然后利用“HL”证明Rt△AOM和Rt△BOM全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，再根据等边对等角的性质即可得证．
【解答】证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴AM=BM，
在Rt△AOM和Rt△BOM中，，
∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．
19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】解答题
【分析】(1)证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
(2)利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
【解答】解：(1)∠ABE=∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由(1)可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．
求证：DE=BF．
【考点】KF：角平分线的性质；JA：平行线的性质．
【专题】解答题
【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠2，根据角平分线的性质得到DE=BD，∠3=∠4，由平行线的性质得到3=∠5，于是得到结论．
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∵DE⊥AC，∠ABC=90°
∴DE=BD，∠3=∠4，
∵BF∥DE，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴BD=BF，
∴DE=BF．
【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
【考点】KI：等腰三角形的判定；JA：平行线的性质．
【专题】解答题
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出∠2=∠3是解题关键．
22．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．
【考点】KF：角平分线的性质；JB：平行线的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】(1)根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义证明；
(2)过点O作OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OE=OA，根据勾股定理计算即可．
【解答】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
又∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD．
∴∠ABD=∠CBD．
∴BD平分∠ABC；
(2)解：过点O作OE⊥BC于E，
∵∠DAC=45°，∠DAC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠B AC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴OE=OA=1．
在Rt△OEC中，∠ACB=45°，OE=1，
∴OC=．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【考点】KF：角平分线的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；KN：直角三角形的性质．
【专题】解答题
【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．
【解答】证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
【点评】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．
一、选择题
1．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=ECB．AE=BEC．∠EBC=∠BACD．∠EBC=∠ABE
2．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
3．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）
A．30°B．15°C．45°D．25°
4．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（ ）
A．48°B．40°C．30°D．24°
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A．2aB．2aC．3aD．
6．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．2B．3C．D．4
7．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
A．3B．4C．5D．6
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．75°
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ）
A．40°B．36°C．30°D．25°
10．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（ ）
A．PN＜3B．PN＞3C．PN≥3D．PN≤3
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15B．30C．45D．60
12．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
二、填空题
13．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ．
14．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 ．
15．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A= 度．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段 ．
三、解答题
18．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA．
19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．
求证：DE=BF．
21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
22．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．
23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
答案与解析
1．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=ECB．AE=BEC．∠EBC=∠BACD．∠EBC=∠ABE
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】选择题
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC，
∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，
∴∠A=∠EBC，
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
2．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【考点】KH：等腰三角形的性质；K6：三角形三边关系．
【专题】选择题
【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选A．
【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．
3．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（ ）
A．30°B．15°C．45°D．25°
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KW：等腰直角三角形．
【专题】选择题
【分析】根据直角三角形的性质得到BE=CE，求得∠CBE=60°，得到∠DBF=30°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABD=45°，求得∠ABF=75°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，
∴BE=CE=CD，
∵∠BCD=60°，
∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABF=75°，
∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，
故选B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
4．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（ ）
A．48°B．40°C．30°D．24°
【考点】KH：等腰三角形的性质；JA：平行线的性质．
【专题】选择题
【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠1=∠BAE=45°，然后根据三角形外角性质计算∠C的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠BAE=48°，
∵∠1=∠C+∠E，
∵CF=EF，
∴∠C=∠E，
∴∠C=∠1=×48°=24°．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A．2aB．2aC．3aD．
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．
【专题】选择题
【分析】根据勾股定理得到CE=a，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，
∴CE=a，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴AB=2CE=2a，
故选B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理的应用，能求出AE=CE是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．2B．3C．D．4
【考点】KF：角平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=2，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
A．3B．4C．5D．6
【考点】KI：等腰三角形的判定．
【专题】选择题
【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可．
【解答】解：如图所示：
当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．75°
【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．
故选B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ）
A．40°B．36°C．30°D．25°
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】选择题
【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD=DA，
∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
故选B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
10．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（ ）
A．PN＜3B．PN＞3C．PN≥3D．PN≤3
【考点】KF：角平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】作PM⊥OB于M，根据角平分线的性质得到PM=PE，得到答案．
【解答】解：作PM⊥OB于M，
∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，
∴PM=PE=3，
∴PN≥3，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15B．30C．45D．60
【考点】KF：角平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30，
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．
12．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
【考点】KF：角平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．
故选C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．
13．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】填空题
【分析】根据100°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答．
【解答】解：∵100°＞90°，
∴100°的角是顶角，
故答案为：100°．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出100°的角是顶角是解题的关键．
14．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 ．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】填空题
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，
故答案为：15．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠A= 度．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】填空题
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=30°，
∴∠A=（180°﹣30°）=75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】填空题
【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；
【解答】解：∵AB=AC，
BE=a，AE=b，
∴AC=AB=a+b，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=b，
∴∠ECA=∠BAC=36°，
∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，
∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，
∴CE=BC=b，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b
故答案为：2a+3b．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE=CE=BC，本题属于中等题型．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段 ．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KF：角平分线的性质．
【专题】填空题
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴BE=EA，
故答案为：BE=EA．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA．
【考点】KF：角平分线的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AM=BM，然后利用“HL”证明Rt△AOM和Rt△BOM全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，再根据等边对等角的性质即可得证．
【解答】证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴AM=BM，
在Rt△AOM和Rt△BOM中，，
∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．
19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】解答题
【分析】(1)证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
(2)利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
【解答】解：(1)∠ABE=∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由(1)可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．
求证：DE=BF．
【考点】KF：角平分线的性质；JA：平行线的性质．
【专题】解答题
【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠2，根据角平分线的性质得到DE=BD，∠3=∠4，由平行线的性质得到3=∠5，于是得到结论．
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∵DE⊥AC，∠ABC=90°
∴DE=BD，∠3=∠4，
∵BF∥DE，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴BD=BF，
∴DE=BF．
【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
【考点】KI：等腰三角形的判定；JA：平行线的性质．
【专题】解答题
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出∠2=∠3是解题关键．
22．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．
【考点】KF：角平分线的性质；JB：平行线的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】(1)根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义证明；
(2)过点O作OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OE=OA，根据勾股定理计算即可．
【解答】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
又∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD．
∴∠ABD=∠CBD．
∴BD平分∠ABC；
(2)解：过点O作OE⊥BC于E，
∵∠DAC=45°，∠DAC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠B AC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴OE=OA=1．
在Rt△OEC中，∠ACB=45°，OE=1，
∴OC=．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【考点】KF：角平分线的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；KN：直角三角形的性质．
【专题】解答题
【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．
【解答】证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
【点评】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．
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