人教版（2024）九年级上册（2024）30.3 正多边形与圆优秀学案

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单元核心问题
怎样用最少的数量判断直线与圆的位置关系？当直线与圆相切时，圆内藏着怎样的垂直结构？这些结构又如何帮助我们计算三角形的内切圆与正多边形的边长、边心距和面积？
一、学习目标
1. 能说出直线与圆的三种位置关系，用d与r的大小关系判定位置关系
2. 能运用切线的性质、判定定理和切线长定理解决与切线有关的证明与计算
3. 能说明三角形内切圆与内心的性质，利用∠BIC=90°+12∠A与S=12lr求解
4. 能求正多边形的中心角、内角、外角、边长、边心距与面积，并说明等分圆周作图的依据
二、重点
• 直线与圆位置关系的判定：d与r的比较
• 切线的判定双条件与切线长定理
• 内切圆、内心与面积公式S=12lr
• 正多边形的中心角、边心距与面积的分割法
三、难点
• 切线判定'经过半径的外端且垂直于这条半径'的双条件
• 内心与外心、中心角与内角的辨析
• 正多边形分割三角形中半径与边心距的区分
学习支架
直线与圆的三种位置关系
直线与圆的位置关系对照表
切线的性质与判定
三角形的内切圆与内心
内心角公式
三角形面积与内切圆半径
正六边形：中心、半径、中心角、边心距
半径为R的圆内接特殊正多边形的要素
四、知识要点
1. 直线与圆的位置关系
把圆固定，让一条直线在平面上移动，直线与圆的公共点个数有三种情形：（1）相离——直线与圆没有公共点；（2）相切——直线与圆有且只有一个公共点，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点；（3）相交——直线与圆有两个公共点，这条直线叫作圆的割线。关键结论：判断位置关系不必看整条直线，只需比较两个数量：圆心到直线的距离d与圆的半径r。生活中直线与圆相切的例子很多：列车车轮的边沿与铁轨的上沿相切，在砂轮上打磨工件时产生的火星沿着圆的切线方向飞出。
2. 用d与r的大小关系判定位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相离⇔d>r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相交⇔dOA，即半径OA是圆心O与切线上所有点的连线中最短的一条——圆心到直线的最短连线正是垂线段，因此OA与切线l垂直。用途：见到'切线'二字，第一反应就是'连接圆心与切点'，立刻得到垂直关系和一个直角，为勾股定理、垂径定理的运用创造条件。
4. 切线的判定定理
判定一条直线是不是圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。注意两个条件缺一不可：①直线经过半径的外端点；②直线垂直于这条半径。只满足②而不满足①的直线（例如过圆心且垂直于某条半径的直线）不是切线，它与圆相交。证明切线有两条常用路径：· 连半径，证垂直——已知直线经过圆上一点（即半径外端），只需证明它垂直于这条半径；· 作垂直，证半径——过圆心向直线作垂线段，证明垂线段的长等于半径，此时垂足就是切点。
5. 切线长与切线长定理
过圆外一点P作⊙O的两条切线PA、PB（A、B为切点），线段PA、PB的长叫作点P到⊙O的切线长。注意：切线长是线段长，一端是切点、一端是圆外点，不是整条切线的长度。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即PA=PB，且OP平分∠APB（∠APO=∠BPO）。定理由Rt△POA≌Rt△POB（HL）得到（探索与证明为选学内容）。应用时，切线长定理常与切线的性质配合：一组相等线段和一个直角同时出现，再借助勾股定理或解直角三角形完成计算。
6. 过圆外一点作圆的切线（选学）
用直尺和圆规可以作出过圆外一点P的⊙O的两条切线。思路：切线PA满足OA⊥AP，即∠OAP=90°，所以点A在以OP为直径的圆上——以OP为直径作圆，它与⊙O的交点就是两个切点。作法：（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，与OP交于点C；（2）以点C为圆心、CO为半径作圆，与⊙O相交于A、B两点；（3）作直线PA、PB，即所求作的两条切线。可以看到，过圆外一点恰好可以作出两条直线与这个圆相切。本内容为选学。
7. 三角形的内切圆与内心
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。关键结论：①每个三角形都有且只有一个内切圆；②内心是三条角平分线的交点，一定在三角形内部。易错点：不要把内心与外心混淆。外心是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；内心是三条角平分线的交点，到三条边的距离相等。
8. 内心到三边距离相等与作内切圆
为什么两条角平分线的交点就是内切圆的圆心？依据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。两条角平分线的交点，到这两条角所在的四边中的每一条距离都相等，所以它到三角形三条边的距离相等。关键结论：三角形的内心到三边的距离相等，这个距离等于内切圆的半径。作三角形的内切圆（尺规作图）：第一步，作两个内角的平分线，交点记为I；第二步，过点I作一条边的垂线，垂足为D；第三步，以点I为圆心、ID为半径作圆，⊙I与三角形的三条边都相切。依据是：三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等；直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径。
9. 切线长相等——求切点分线段
三角形内切圆的三个切点把三条边分成六段，从同一顶点出发的两条切线长相等：AF=AE，BD=BF，CD=CE。例如，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，设AF=x，则AE=x，BD=BF=AB−x，CD=CE=AC−x，再由BD+CD=BC列出方程求出x，即可得到六个切点分段的长度。教材例中AB=9，BC=14，CA=13，列方程(9−x)+(13−x)=14，解得x=4，于是AF=4，BD=5，CE=9。易错点：BD与CD不是从同一顶点出发的切线，不能误以为它们相等；列方程的关键是先写出从同一顶点出发的两段相等。
10. 内心与角的关系：∠BIC=90°+12∠A
连接内心I与顶点B、C。因为I是角平分线的交点，所以∠IBC=12∠B，∠ICB=12∠C。在△BIC中，由三角形内角和：∠BIC=180°−12(∠B+∠C)=180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A。关键结论：若I是△ABC的内心，则∠BIC=90°+12∠A。易错点：不少学生算成∠BIC=180°−(∠B+∠C)，丢掉了'角平分线取半角'这一步。应先写出半角，再代入内角和。
11. 面积公式：S=12lr
连接内心I与三个顶点A、B、C，三角形被分成△AIB、△BIC、△CIA三个小三角形。因为I到三边的距离都等于内切圆半径r，所以三个小三角形的高都等于r，于是S△ABC=12·AB·r+12·BC·r+12·CA·r=12(AB+BC+CA)r=12lr（l为周长）。关键结论：三角形面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即S=12lr。已知面积S与周长l，可求内切圆半径r=2Sl，这是求内切圆半径的常用方法。易错点：忘记12，把公式写成S=lr。
12. 正多边形的定义
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。判定一个多边形是不是正多边形，必须同时满足两条：各边都相等，各角也都相等，缺一不可。例如：菱形四条边都相等，但四个角不一定都相等，所以菱形不一定是正多边形；矩形四个角都是90°，但四条边不一定都相等，所以矩形也不一定是正多边形。三条边的情形只有等边三角形，所以'正三角形'与'等边三角形'是一致的；正方形就是正四边形。
13. 正多边形与圆的关系
正多边形和圆的关系非常密切：只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆。证明思路（以圆的内接正五边形为例）：把圆分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE。因为各段弧相等，等弧所对的弦相等，所以AB=BC=CD=DE=EA；又因为∠A与∠B都对着包含3段弧的弧，同圆中相等的弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠B，同理各角相等。于是五边形ABCDE是正五边形。关键结论：等分圆周得到的多边形是正多边形；反过来，正多边形的顶点都在它的外接圆上，各边都与它的内切圆相切。
14. 中心、半径、中心角、边心距
正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心；外接圆的半径叫作正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。对照本单元正六边形图识记四个要素：点O是正六边形的中心；OA是半径R；∠AOB是中心角（正六边形为60°）；OG是边心距r，且OG⊥AB，垂足G是AB的中点。易错点：边心距是中心到边的垂直距离，不是中心到顶点的距离；一个正n边形共有n个相等的中心角。
15. 正n边形的内角、外角与中心角
正n边形把圆周分成n段相等的弧，每段弧所对的圆心角都是360°÷n，这就是中心角。正n边形的外角等于360°÷n，所以正多边形的中心角等于它的一个外角。正n边形的内角和为(n−2)×180°，每个内角等于(n−2)×180°÷n，也可以由180°减去外角得到。例如：正六边形的中心角60°、外角60°、内角120°；正八边形的中心角45°、外角45°、内角135°。关键结论：中心角=外角=360°÷n；内角=(n−2)×180°÷n。边数确定后三个角都能直接算出；反过来，知道其中一个角也可以求出边数n。
16. 正多边形面积的分割法
连接正多边形的中心与各个顶点，可以把正多边形分成n个全等的等腰三角形。每个三角形的底是正多边形的一边，高是边心距，所以S=n×12×边长×边心距=12×周长×边心距。这是计算正多边形面积的通用方法。教材例题（延安宝塔的八角形地基）：半径为6 m的正八边形，先求中心角45°，连接中心O与相邻顶点A、B，作边心距AP，在Rt△APO中由勾股定理得AP=32，面积S=8×12×6×32=722≈101.8 m²。易错点：每个小三角形的高是边心距，不是半径；半径是顶点到中心的距离，是三角形的腰而不是高。
17. 特殊正多边形的要素
半径是R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形，都可以通过'中心角→分割三角形→特殊直角三角形'求出全部要素（见本讲要素表）：正三角形：中心角120°，边长3R，边心距R2，面积334R²；正方形：中心角90°，边长2R，边心距22R，面积2R²；正六边形：中心角60°，边长R（正六边形的边长等于半径），边心距32R，面积332R²。推导方法：连接中心与相邻两个顶点，在等腰三角形中作边心距，得到含30°、45°、60°特殊角的直角三角形，按特殊直角三角形边长比求出半边长与边心距。例如正六边形中，边心距=R·cs30°=32R，半边长=R·sin30°=R2，故边长=R。
18. 用等分圆周的方法画正多边形
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此只要作相等的圆心角就能等分圆周，从而得到相应的正多边形。利用这种方法，可以画出任意的正n边形。量角器等分法（以边长为1.5 cm的正六边形为例）：以1.5 cm为半径作一个圆；用量角器画360°÷6=60°的圆心角，它对着一段弧；在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点；顺次连接各分点，即可得到正六边形。尺规作图法：正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上，从某一点开始依次以R为半径画弧，就可以把圆六等分，顺次连接各分点就得到半径为R的正六边形，进而可以作出正三角形、正十二边形；用直尺和圆规四等分圆周，顺次连接各分点可以得到正方形，进而可以作出正八边形、正十六边形。
易错汇总
易错点 1
【错因】机械记忆不等式符号，没有把数量关系与'公共点个数'的画面联系起来
【自检方法】画出三种位置关系的草图，在图上标出垂线段d与半径r，再对照写不等式
易错点 2
【错因】把'距离'当作任意连线长，忽略了'点到直线的距离'的垂线段定义
【自检方法】先作垂线段再比较长度；求距离时先写'过点O作l的垂线段，垂足为D'
易错点 3
【错因】割线也可以垂直于某条半径——过圆心垂直于半径的直线与圆有两个交点，是有效反例
【自检方法】验证两条：直线是否经过半径的外端点（圆上一点）？是否垂直于这条半径？
易错点 4
【错因】概念与结论的对象错位——只记住'相等'，没有记住'哪两条线段相等、平分哪个角'
【自检方法】写出PA=PB、∠APO=∠BPO，再回到图形核对每一段与每一个角
易错点 5
【错因】两个'心'各只记一半特征，把'到边'与'到顶点'互换
【自检方法】问自己：这个点到'边'的距离相等，还是到'顶点'的距离相等？画两个心的定位图对照
易错点 6
【错因】丢掉了'角平分线取半角'与'分割成三个小三角形各含12'这两处推导细节
【自检方法】先写∠IBC=12∠B再代入内角和；面积公式用'分割成三个小三角形'的图核对12的来源
易错点 7
【错因】三个角只记名称不记公式，把'45°对应正八边形'等特例记成通用结论
【自检方法】用n=6代入三个公式自检：中心角60°、外角60°、内角120°
易错点 8
【错因】半径与边心距在图上相距很近，没有分清'谁是高、谁是腰'
【自检方法】在分割三角形中标出垂足，高必须与边垂直且落在边上
易错点 9
【错因】定义只记一条条件，没有用定义逐条核对
【自检方法】举反例核对：菱形各边相等但角不等，矩形各角相等但边不等
五、易错精讲
【例1】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。以点C为圆心，分别以r=4.5、r=4.8、r=5为半径作⊙C。判断直线AB与⊙C的位置关系，并说明理由。
【解题思路】判断直线与圆的位置关系，只需比较两个数量：圆心C到直线AB的距离d与半径r。关键是先求出d——距离必须是垂线段的长，所以过点C作AB的垂线段，利用勾股定理与面积法求垂线段长，再与三个半径逐一比较。
【解答】过点C作CD⊥AB，垂足为D。由勾股定理，AB=62+82=10。由面积法，12×AB×CD=12×AC×BC，即12×10×CD=12×6×8，得CD=4.8，即d=4.8。（1）r=4.5d，直线AB与⊙C相交。
【易错点】学生常把'相离'与'相交'对应的不等式记反，或把斜边AB上任意线段（如中线）的长度当作d。自检：先画出垂线段CD，再比较r与4.8的大小——d=4.8是这道题的'分界线'：r4.8相交。
【例2】
在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点。以点D为圆心作⊙D，⊙D与AB相切于点E。求证：AC是⊙D的切线。
【解题思路】要证明AC是⊙D的切线，可采用判定定理的'作垂直，证半径'路径：过圆心D作AC的垂线段DF，证明DF的长等于半径DE。半径DE是已知的（AB与⊙D相切于点E，DE⊥AB），关键是证明DF=DE——等腰三角形'三线合一'得到角平分线，角平分线的性质给出距离相等。
【解答】连接AD。因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC，且AD是∠BAC的平分线（等腰三角形三线合一）。因为AB与⊙D相切于点E，所以DE⊥AB，DE是⊙D的半径。过点D作DF⊥AC，垂足为F。因为点D在∠BAC的平分线上，所以点D到角两边的距离相等，即DF=DE。于是DF是⊙D的半径，点F在⊙D上，且AC经过半径DF的外端F并垂直于DF，所以AC是⊙D的切线。
【易错点】常见的错误是只证DF=DE就下结论，没有交代'AC经过半径DF的外端且垂直于DF'这两个条件；也有学生说'角平分线上的点到两边距离相等，所以AC是切线'，缺少'DF是半径'这一关键步骤。自检：写出判定定理的两个条件，逐条核对AC是否满足。
【例3】
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠APB=60°，OP=8。求⊙O的半径及△PAB的周长。
【解题思路】见到'切线'，先连接圆心与切点，得到OA⊥PA、OB⊥PB。切线长定理给出PA=PB，且OP平分∠APB，所以∠APO=30°。在Rt△POA中用30°直角三角形的性质求OA与PA，再由∠APB=60°判断△PAB的形状。
【解答】连接OA。因为PA是⊙O的切线，所以OA⊥PA。由切线长定理，PA=PB，且OP平分∠APB，所以∠APO=30°。在Rt△POA中，OA=12OP=4，PA=OP·cs30°=8×32=43。因为PA=PB，∠APB=60°，所以△PAB是等边三角形，其周长=3×43=123。答：⊙O的半径为4，△PAB的周长为123。
【易错点】学生容易把'切线长'理解为整条切线的长度，或把定理记成'AB平分∠APO'。本题中切线长是线段PA、PB，OP平分的是∠APB。自检：在图上标出PA、PB，写出∠APO=∠BPO，再进入直角三角形。
【例4】
△ABC的内切圆⊙I与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F。已知AB=8，BC=10，CA=7，求AF、BD、CE的长。
【解题思路】内切圆的三个切点把三边分成六段，从同一顶点出发的两条切线长相等：AF=AE，BD=BF，CD=CE。设AF=x，把六段都用x表示，再利用BD+CD=BC列方程求解。
【解答】设AF=x。由切线长定理，AE=x，BF=BD=AB−AF=8−x，CD=CE=CA−AE=7−x。因为BD+CD=BC，所以(8−x)+(7−x)=10，解得x=2.5。因此AF=2.5，BD=8−2.5=5.5，CE=7−2.5=4.5。检验：BD+CD=5.5+4.5=10=BC，正确。
【易错点】最常见的错误是误认为BD=CD（它们不是从同一顶点出发的切线，长度并不相等），或把BF写成BC−x。自检：先把六个切点分段按顶点分组写出来——A组：AF、AE；B组：BD、BF；C组：CD、CE——再列方程。
【例5】
在△ABC中，∠A=70°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数。
【解题思路】内心是三条角平分线的交点，所以∠IBC、∠ICB分别是∠B、∠C的一半。在△BIC中用三角形内角和，再把∠B+∠C用180°−∠A整体代入，避免分别求∠B、∠C。
【解答】因为I是△ABC的内心，所以BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，∠IBC=12∠B，∠ICB=12∠C。在△BIC中，∠BIC=180°−∠IBC−∠ICB=180°−12(∠B+∠C)=180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A=90°+35°=125°。
【易错点】学生常直接写∠BIC=180°−(∠B+∠C)，丢了'角平分线取半角'这一步，得到错误的70°。自检：先写出∠IBC=12∠B、∠ICB=12∠C再代入内角和；也可用结论∠BIC=90°+12∠A直接核对。
【例6】
半径为4的圆的内接正六边形，求它的中心角、边长、边心距和面积。
【解题思路】正六边形是圆的等分结构的典型：中心角=360°÷6=60°。连接中心与相邻两个顶点得到等腰三角形，作边心距后得到含30°、60°角的直角三角形，用特殊直角三角形边长关系求边长与边心距，面积用'12×周长×边心距'。
【解答】中心角=360°÷6=60°。连接中心O与相邻顶点A、B，作OG⊥AB，垂足为G，则∠AOB=60°，∠AOG=30°。在Rt△AOG中，AG=12OA=12×4=2，所以边长AB=2×2=4；边心距OG=OA·cs30°=4×32=23。周长=6×4=24，面积S=12×24×23=243。答：中心角60°，边长4，边心距23，面积243。
【易错点】两个高频错误：一是把半径4当作分割三角形的高，直接算S=6×12×4×4=48；二是把中心角记成内角120°。自检：分割三角形中腰是半径、高是边心距OG，且OG必须与边AB垂直。
易 错 专 练
基础辨析
1. 已知⊙O的半径为4 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是（________），它们有（________）个公共点。
2. 直线l与⊙O相切于点A，OA是⊙O的半径，则OA与直线l的位置关系是（________）。
3. 圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切。（ ）
4. 经过半径外端的直线一定是圆的切线。（ ）
5. 各边相等的多边形一定是正多边形。（ ）
6. 三角形的内心是三条角平分线的交点，一定在三角形内部。（ ）
7. 正九边形的中心角是（________）°，一个外角是（________）°，一个内角是（________）°。
8. 已知△ABC的周长为24，内切圆半径为3，则△ABC的面积为（________）。
方法巩固
9. ⊙O的半径为5，直线l与⊙O相切，则圆心O到直线l的距离d等于（________）。
A. 0≤d5
D. d与5的大小关系不能确定
10. 下列条件中，能判定直线l是⊙O的切线的是（________）。
A. l经过⊙O上一点A，且OA⊥l
B. l垂直于⊙O的一条半径
C. l经过⊙O上的一点
D. l经过⊙O的圆心
11. 下列关于三角形内心的说法，正确的是（________）。
A. 内心到三个顶点的距离相等
B. 内心是三条边垂直平分线的交点
C. 内心到三边的距离相等
D. 钝角三角形的内心在三角形外部
12. 一个正多边形的一个外角是30°，这个正多边形的边数是（________）。
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，求△ABC内切圆的半径r。
14. PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠APB=40°，求∠AOB的度数。
PA、PB是⊙O的两条切线
15. 已知⊙O和圆外一点P，用直尺和圆规作出过点P的⊙O的两条切线（保留作图痕迹），并写出作法。
已知⊙O及圆外一点P，用直尺和圆规作出过点P的⊙O的两条切线（保留作图痕迹），并写出作法。
综合易错
16. 在△ABC中，AB=AC=13，BC=10。以点A为圆心、r为半径作⊙A。（1）若⊙A与BC相切，求r；（2）若⊙A与BC相交，求r的取值范围；（3）若⊙A与BC相离，求r的取值范围。
17. △ABC的内切圆⊙I与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F。已知AB=10，BC=12，CA=8。（1）求AF、BD、CE的长；（2）若内切圆的半径为2，求△ABC的面积。
△ABC的内切圆⊙I
18. 已知点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，求∠A的度数。
19. 用量角器把圆周等分的方法，画一个边长为2 cm的正六边形，并写出画法步骤。
用量角器把圆周等分的方法，画一个边长为2 cm的正六边形，并写出画法步骤。
20. 一块正六边形地砖的平面图，它的外接圆半径为6 cm，求这块地砖的面积（结果保留一位小数）。
正六边形与外接圆
21. 把⊙O分成相等的6段弧，顺次连接各分点得到六边形ABCDEF。请结合'等弧所对的弦相等'和'等弧所对的圆周角相等'，说明六边形ABCDEF是正六边形，并说明⊙O是它的外接圆。
参 考 答 案
第1题：相离；0
【解析】圆心到直线的距离d=5 cm，半径r=4 cm，d>r，所以直线与圆相离，没有公共点。[错因:知识]
第2题：垂直
【解析】切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以OA⊥l。[错因:知识]
第3题：√
【解析】d=r是直线与圆相切的充要条件。[错因:知识]
第4题：×
【解析】还缺少'垂直于这条半径'的条件。经过半径外端但不垂直的直线与圆相交。[错因:理解]
第5题：×
【解析】菱形各边相等但各角不一定相等，不是正多边形。正多边形必须同时满足各边相等、各角相等。[错因:理解]
第6题：√
【解析】角平分线的交点一定在三角形内部，因此内心必在三角形内，任意三角形都有且只有一个内切圆。[错因:知识]
第7题：40；40；140
【解析】中心角=外角=360°÷9=40°；内角=180°−外角=140°。[错因:计算]
第8题：36
【解析】由S=12lr，S=12×24×3=36。[错因:计算]
第9题：B
【解析】直线与圆相切⇔d=r，所以d=5。选A是相交的情形，选C是相离的情形。[错因:理解]
第10题：A
【解析】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。A中l经过半径OA的外端A且垂直于OA，满足双条件；B漏掉'经过半径外端'，例如过圆心垂直于半径的直线与圆相交。[错因:理解]
第11题：C
【解析】内心是三条角平分线的交点，到三边的距离相等，且在三角形内部；到三个顶点距离相等的是外心。[错因:理解]
第12题：D
【解析】正多边形的外角=360°÷n，即30°=360°÷n，解得n=12。[错因:计算]
第13题：3
【解析】由勾股定理，AB=15。△ABC的面积S=12×9×12=54，周长l=9+12+15=36。由S=12lr，得r=2Sl=2×54÷36=3。[错因:方法]
第14题：140°
【解析】由切线性质，∠PAO=∠PBO=90°。在四边形PAOB中，∠AOB=360°−90°−90°−40°=140°。[错因:方法]
第15题：作法：（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，与OP交于点C；（2）以点C为圆心、CO为半径作圆，与⊙O交于点A、B；（3）作直线PA、PB，PA、PB即为所求的两条切线。
【解析】依据：切线PA满足OA⊥AP，即∠OAP=90°，所以点A在以OP为直径的圆上；以OP为直径的圆与⊙O的两个交点就是两个切点。此题为教材选学内容，作图结果由教师复核。[错因:方法]
第16题：（1）r=12；（2）r>12；（3）00，故0