数学八年级上册（2024）第五章 二元一次方程组3 二元一次方程组的应用精品导学案及答案

这是一份数学八年级上册（2024）第五章 二元一次方程组3 二元一次方程组的应用精品导学案及答案，共24页。学案主要包含了拓展探究等内容，欢迎下载使用。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 由实际问题抽象出二元一次方程组
【典例1】我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A．7x+7=y9(x−1)=yB．7x+7=y9(x+1)=y
C．7x−7=y9(x−1)=yD．7x−7=y9(x+1)=y
【变式1】嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极﹣艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品x克，表取样品y克，则可列方程组为（ ）
A．x+y=19354x−310=y
B．x+y=19354x+310=y
C．x+y=19354x−y=310
D．x+4y=1935y−4x=310
【变式2】某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A．x+y=873x+2y=35B．x+y=872x+3y=35
C．x+y=352x+3y=87D．x+y=353x+2y=87
【变式3】《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A．x−9=2(y+9)y+9=x−9
B．x+9=2(y−9)y+9=x−9
C．x+9=2yy+9=x
D．x−9=2yy+9=x−9
题型2 二元一次方程组的应用
【典例1】如图，长方形ABCD中放置10个形状、大小都相同的小长方形，AD与CD的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．30B．40C．50D．60
【变式1】李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为7.5cm，用4个碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（ ）
A．15.5cmB．17.5cmC．19.5cmD．21.5cm
【变式2】幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2），在图3的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则3﹣2x+y的立方根是（ ）
A．﹣3B．3C．﹣2D．2
【变式3】一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．则该轮船在静水中的速度为 千米/小时，水流速度为 米/小时．
过 关 验 收
1．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A．x+y=1284x=3yB．2x+3y=1282x=3y
C．x+y=1282x=3yD．2x+3y=1284x=3y
2．《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱：如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ）
A．x−11y=8y−9x=12B．11x−y=89x=y+12
C．11x−8=y9x+12=yD．11x=y−89x=y+12
3．《孙子算经》中有一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何，意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？假设木头长x尺，绳子长y尺，则根据题意列二元一次方程组正确的是（ ）
A．y−x=4.5x−12y=1B．x−y=4.5x−12y=1
C．y−x=4.512y−x=1D．y−x=4.512x−y=1
4．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A．y−x=−1B．y=x+4.5y=2x−1
C．y−x=+1D．y=x−4.5y=2x−1
5．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小144；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是7，余数是4．如果设这个三位数的百位为x，十位与个位数字组成的两位数为y，可得方程组是（ ）
A．(100x+y)−(100y+x)=144y=7x+4
B．(100x+y)−(10y+x)=144y=7x+4
C．(10y+x)−(100x+y)=144y=7x+4
D．(100x+y)−(10x+y)=144y=7x+4
6．某车间有26名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个．若要使每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，则分配几人生产螺栓，几人生产螺母？设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，所列方程组正确的是（ ）
A．x+y=2612x=18yB．x+y=2618x=12y
C．x+y=2624x=18yD．x+y=2636x=12y
7．《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（ ）
A．x+y=100x3+3y=100B．x+y=1003x+y3=100
C．x+y=1003x+3y=100D．x+y=1003x+y=100
8．《周髀算经》记载用“表”（标杆）测日影．若表高增加3尺，影长减少2尺，则表高与影长之和为18尺；若表高减少2尺，影长增加1尺，则表高与影长之差为4尺．求原表高和影长各多少尺？设原表高x尺，影长y尺，则可列方程组是（ ）
A．(x+3)+(y−2)=18(x−2)−(y+1)=4
B．x+3+y−2=18x−2+y+1=4
C．(x−3)+(y+2)=18(x+2)−(y−1)=4
D．x+y=18−3+2x−y=4+2−1
9．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A．x−9=2(y+9)y+9=x−9
B．x+9=2(y−9)y+9=x−9
C．x+9=2yy+9=x
D．x−9=2yy+9=x−9
10．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（ ）
A．x+y=15x=3yB．x+y=152x=3y
C．x−y=152x=x+3yD．2x−y=152x=x+3y
11．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现在又有36张白铁皮．设用x张制作盒身，y张制作盒底可以使盒身和盒底正好配套，则所列方程组正确的（ ）
A．x+y=3625x=40yB．x+y=362×25x=40y
C．x+y=3625x=2×40yD．x+y=3640x=25y
12．某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米减产5%，小麦超产15%，设该农场去年实际生产玉米x吨、小麦y吨，可列方程组为： ．
13．某车间有工人54人，每人平均每天可加工轴杆15个或轴承24个，一个轴杆与两个轴承配成一套．若分配x个工人加工轴杆，y个工人加工轴承，正好使每天加工的产品成套，则可列方程组为 ．
14．明代《算法统宗》有一首饮酒诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．可列方程组为 ．
15．两个两位数的差是18，在较大的两位数的右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．若这两个四位数的和是6666，这两个两位数分别是多少？设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意列出的方程组为 ．
16．5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为 ．
17．某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面赶上，每4分钟有一辆电车迎面开来，若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔 分钟从起点开出一辆．
18．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元．
（1）求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价．
（2）该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案．
19．为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元．
（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？
（2）由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案．
20．五指山革命根据地纪念园，是全国三十条红色旅游经典线路之一．为了带领学生感受历史的厚重与革命的激情，某校准备组织七年级400名学生去五指山革命根据地纪念园进行研学活动．请根据对话回答以下问题：
（1）求每辆大客车和每辆小客车可分别载学生多少人？
（2）请判断租用4辆大客车和3辆小客车能否载完该校七年级学生．
21．用一元一次方程解答下列问题．
当前，重庆正加速打造智能网联新能源汽车之都，同时重庆也是全国三个机动车保有量超过600万辆的城市之一，消费潜力巨大．某4S汽车销售店顺应浪潮，9月份主推了A款燃油车和B款新能源汽车，已知该4S店销售1辆A款燃油车和1辆B款新能源汽车的总销售额为40万元，销售3辆A款燃油车、2辆B款新能源汽车的总销售额为96万元．
（1）求9月份每辆A款、B款汽车售价分别为多少万元？
（2）因为每种车型销售热度不一，所以源头厂家一直保持严格的配货制度，即该4S店每引进2辆B款新能源汽车则必须引进1辆A款燃油车．该4S店9月份引进的A款燃油车和B款新能源汽车全部销售一空，其中引进了B款新能源汽车40000辆．10月份由于新能源汽车电池成本大幅提高，与9月份相比，每辆B款新能源汽车售价提高了2a%，同时为了响应国家的号召，对B款新能源汽车每辆进行4万元的现金补贴，每辆A款燃油车的售价则保持不变，最终10月份的A款燃油车销量相比9月份A款燃油车的销量降低了a%，B款新能源汽车销量相比9月份B款新能源汽车销量提高了15，10月份两款车的总销售额比9月份两款车的总销售额提高了31%，求a的值．
22．某水果店计划进A，B两种水果共140千克，这两种水果的进价和售价如表所示：
（1）若该水果店购进这两种水果共花费1020元，求该水果店分别购进A，B两种水果各多少千克？
（2）在（1）的基础上，为了迎接春节的来临，水果店老板决定把A种水果全部八折出售，B种水果全部降价10%出售，那么售完后共获利多少元？
23．[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）试求出式子中a，b的值；
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．
24．我市2025年高新区城中村改造项目创新采用“房票安置+货币化安置”模式．已知3户选择房票安置和2户选择货币化安置的村民，共获得补偿款255万元；2户选择房票安置和3户选择货币化安置的村民，共获得补偿款240万元．
（1）房票安置和货币化安置两种方式下，每户村民分别可获得多少万元补偿款？
（2）该项目某批次有4户村民选择房票安置、5户选择货币化安置，这批村民总计可获得多少万元补偿款？
25．某一天，某机器人售货机售出了奶茶和果汁共24杯，收到270元，奶茶和果汁当天的成本价和零售价如表所示：
该机器人这天卖完这些奶茶和果汁共赚了多少元？
26.【背景】幻方又称魔方、方阵，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”．
【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1﹣9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．
【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题：（仅需写出结果即可）
（1）图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为 ，x＝ ；
（2）在（1）的基础上，若a＝21，g＝18，则h＝ ，e＝ ；
（3）图3是一个未完成的幻方，则A﹣B的值为 ．
27．学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售．
（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？
（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）90%出售．现要购买A型毛笔a支（a＞40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少并说明理由．
28．下表是某工厂设计玩具的裁剪方案．
29．某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示．
表1
该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因0.5毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克．
表2
（1）A、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？
（2）我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？
30．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
（1）该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？
（2）周老师有幸能参加本次亚运会，然后想买20个琮琮，30个莲莲送给他的学生，现在有两个玩具店在做活动，甲商店打“八折”销售，乙商店总价“满4000元减700元”，请问周老师会选择到哪个商店买更优惠？
31．综合应用
32．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；
（2）如果要使水面上升到55cm，应放入大球、小球各多少个？
题型1 由实际问题抽象出二元一次方程组
题型2 二元一次方程组的应用
解｜题｜知｜识
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
解｜题｜知｜识
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
进价（元/kg）
售价（元/kg）
A种
5
8
B种
9
13
品名
奶茶
果汁
成本价/（元/杯）
13
7.3
零售价/（元/杯）
15.8
8
课题
设计裁剪方案
素材1
如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是40cm×40cm；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是40cm×140cm．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具．
素材2
某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批80cm×1000cm的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗）
我是裁剪师
任务一
拟定裁剪方案
若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整．
方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料；
方案二：裁剪8张豌豆的布料和 张豌豆荚的布料；
方案三：裁剪 张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
任务二
解决实际问题
若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？
咖啡因含量标示
咖啡因含量
红色
超过100毫克
黄色
超过50毫克，但不超过100毫克
绿色
不超过50毫克
类型
杯型
容量
咖啡因含量标示
A型
中杯
400毫升
黄色
B型
中杯
400毫升
红色
琮琮
莲莲
进价（元/个）
60
70
售价（元/个）
80
100
校园菜园子工程
素材一
为了让学生将课堂所学科学知识运用到生活实际，我校打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm．一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材二
项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根，为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏．同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．
解决问题
任务要求
解决办法
任务一
一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（尽可能多的裁剪，余料作废）．根据提示，完成下表
最多能裁剪的数量
裁剪
横杠
竖杠
方法①
0

方法②
1

方法③
2

任务二
基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用．
项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．
任务三
我校共采购原材料9根（40dm长），在保证能够制作出更多的整副围栏的情况下，尽可能的少浪费，剩余的废料至少 dm．