初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程的应用优质导学案

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）一元一次方程的应用优质导学案，共3页。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 由实际问题抽象出一元一次方程
【典例1】《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，则可列方程为（ ）
A．x+23=x2−9B．x3+2=x−92C．x3−2=x+92D．x−23=x2+9
【答案】B
【解答】解：依题意，得：x3+2=x−92．
故选：B．
【变式1】某人骑自行车从A地到B地，若每小时骑16千米比每小时骑12千米要少用30分钟，若设A、B两地相距x千米，下列方程正确的是（ ）
A．x16−30=x12B．x16−12=x12
C．x16+30=x12D．x16+12=x12
【答案】D
【解答】解：设A、B两地相距x千米，
依题意，得：x16+12=x12．
故选：D．
【变式2】一件夹克衫先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，结果获利10元，如果设这件夹克衫的成本价是x元，那么根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．0.8（1+0.5）x＝x+10B．0.8（1+0.5）x＝x﹣10
C．0.8（1+0.5x）＝x﹣10D．0.8（1+0.5x）＝x+10
【答案】A
【解答】解：设这件夹克衫的成本价是x元，
由题意可得，0.8（1+0.5）x＝x+10，
故选：A．
【变式3】如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ）
A．π×(82)2x=π×(62)2(x−5)
B．π×(82)2x=π×(62)2×(x+5)
C．π×82x＝π×62×（x+5）
D．π×82x＝π×62×5
【答案】B
【解答】解：根据题意得π•（82）2•x＝π•（62）2•（x+5）．
故选：B．
题型2 一元一次方程的应用
【典例1】如图是2025年1月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果不可能有（ ）
A．75B．100C．115D．120
【答案】D
【解答】解：设框住五个数的中间的数为x另外，则四个数分别为x﹣8，x﹣6，x+6，x+8，
∴五个数的和为x﹣8+x﹣6+x+x+6+x+8＝5x．
A．根据题意得：5x＝75，
解得：x＝15，
∴小明的计算结果可能是75，选项A不符合题意；
B．根据题意得：5x＝100，
解得：x＝20，
∴小明的计算结果可能是100，选项B不符合题意；
C．根据题意得：5x＝115，
解得：x＝23，
∴小明的计算结果可能是115，选项C不符合题意；
D．根据题意得：5x＝120，
解得：x＝24，
∴x+8＝24+8＝32，
∵32＞31，
∴小明的计算结果不可能是120，选项D符合题意．
故选：D．
【变式1】某商贩在一次买卖中，以每件135元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，在这次买卖中，该商贩（ ）
A．不赔不赚B．赚9元C．赔18元D．赚18元
【答案】C
【解答】解：设盈利的衣服的进价为x元，亏损的衣服的进价为y元，
依题意，得：135﹣x＝25%x，135﹣y＝﹣25%y，
解得：x＝108，y＝180．
∵135﹣108+（135﹣180）＝﹣18，
∴该商贩赔18元．
故选：C．
【变式2】如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为 143 平方厘米．
【答案】143．
【解答】解：设这6个正方形中最大的一个边长为x厘米，
∵中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，
∴中间的最小的正方形的边长为1厘米，
∴其余的正方形边长分别为（x﹣1）厘米，（x﹣2）厘米，（x﹣3）厘米，（x﹣3）厘米，
根据题意得：x+x﹣1＝2（x﹣3）+x﹣2，
解得：x＝7，
∴长方形的长为x+x﹣1＝13（厘米），宽为x+x﹣3＝11（厘米），
∴长方形的面积为13×11＝143（平方厘米）．
故答案为：143．
【变式3】一件衣服标价190元，按八折出售仍能赚32元，则该商品的成本价是 120元 ．
【答案】120元．
【解答】解：设成本价为x元，
∴190×0.8﹣x＝32，解得：x＝120元，
故答案为：120元．
过 关 验 收
1．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4梨，多12梨；每人分6梨，恰好分完．”设孩童有x名，则可列方程为（ ）
A．4x+12＝6xB．4x﹣12＝6xC．x4−12=x6D．x4+x6=12
【答案】A
【解答】解：设孩童有x名，
则可列方程为4x+12＝6x，
故选：A．
2．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木的长度，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量木的长度，木长还剩余1尺，问木长多少尺，现设木长x尺，则所列一元一次方程正确的是（ ）
A．x﹣1=12（x﹣4.5）B．x+1=12（x+4.5）
C．x+1=12（x﹣4.5）D．x﹣1=12（x+4.5）
【答案】D
【解答】解：依题意得：x+4.5＝2（x﹣1），
即x﹣1=12（x+4.5）．
故选：D．
3．小明计划骑车以每小时10千米的速度由A地到B地，这样便可在规定时间到达B地，但他因事将原计划的出发时间推迟了10分钟，便只好以每小时12千米的速度前进，结果比规定时间早5分钟到达B地，设A、B两地距离x千米．（ ）
A．x10−1060=x12−560B．x10−1060=x12+560
C．x10+1060=x12−560D．x10+1060=x12+560
【答案】B
【解答】解：根据题意可列一元一次方程为：
x10−1060=x12+560；
故选：B．
4．某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，设安排x个工人生产大齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套．则可列方程为（ ）
A．20x＝15（12﹣x）B．3×20x＝2×15（12﹣x）
C．15x＝20（12﹣x）D．2×20x＝3×15（27﹣x）
【答案】B
【解答】解：设安排x名工人生产大齿轮，则加工小齿轮的工人有（85﹣x）名，
根据题意得：3×20x＝2×15（12﹣x）．
故选：B．
5．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有x辆，则可列方程（ ）
A．49x＝54x﹣17B．49（x﹣2）＝54x+17
C．49x＝54（x﹣2）+17D．49x＝54（x﹣2）﹣17
【答案】D
【解答】解：依题意得：
49x＝54（x﹣2）﹣17，
故选：D．
6．用1m2的原材料可制作20个甲零件或120个乙零件，2个甲零件与5个乙零件配成一个部件，现用库存的34m2原材料制作两种零件，应如何分配原材料，才能使制作的零件恰好配套成部件？根据题意列出方程为2×120x＝5×20（34﹣x），则x代表的实际意义是（ ）
A．原材料做甲零件的个数
B．原材料做乙零件的个数
C．原材料做甲零件的面积
D．原材料做乙零件的面积
【答案】D
【解答】解：根据题意可知120x5=20(34−x)2，
整理得2×120x＝5×20（34﹣x），
故x代表的实际意义是原材料做乙零件的面积．
故选：D．
7．A、B港口之间的水流速度为3km/h，某轮船在静水中的速度为40km/h，已知该轮船在A、B两港口之间往返一次的时间为5h，设A、B两港口之间的距离为x，则有（ ）
A．2x40+3=5B．2x40=5
C．2x40−3=5D．x40+3+x40−3=5
【答案】D
【解答】解：根据题意可得：
x40+3+x40−3=5．
故选：D．
8．为迎接六一儿童节，某工厂要制作一批礼盒，每个礼盒由2个A盲盒和3个B盲盒组成．已知工厂有17名技术工人，平均每人每天可加工A盲盒24个或B盲盒15个，应如何分配工人才能使每天生产的A盲盒和B盲盒配套；设生产A盲盒工人x名，则以下列出的方程中正确的是（ ）
A．2×24x＝3×15（17﹣x）B．24x3=15(x−17)2
C．15x3=24(x−17)2D．3×24x＝2×15（17﹣x）
【答案】D
【解答】解：根据题意可得：
3×24x＝2×15（17﹣x），
故选：D．
9．几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为x人，则依题意所列方程正确的是（ ）
A．10x+5＝11x﹣3B．10x+5＝11x+3
C．10x﹣5＝11x+3D．10x﹣5＝11x﹣3
【答案】A
【解答】解：根据树苗总棵数不变可列方程为：10x+5＝11x﹣3，
故选：A．
10．某班的50名学生中，参加安全知识竞赛的有27人，参加法律知识竞赛的有15人，两种竞赛都不参加的有10人，则两种竞赛都参加的有多少人？设两种竞赛都参加的有x人，某同学运用直观分析策略画出了分析图（如图所示），则能体现这一分析过程的方程是（ ）
A．27+15+x﹣10＝50
B．（27﹣x）+（15﹣x）+10＝50
C．（27+x）+（15+x）﹣10＝50
D．（27﹣x）+x+（15﹣x）+10＝50
【答案】D
【解答】解：由分析图得，（27﹣x）+x+（15﹣x）+10＝50，
故选：D．
11．手工课老师组织学生制作圆柱形包装盒，一个包装盒需要一个侧面和两个底面．已知一张卡纸可以制作8个侧面或24个底面．手工老师提前准备好了40张卡纸，设用x张卡纸制作侧面，根据要求制成的侧面与底面需要刚好配套，则可列方程（ ）
A．8x＝2×24（40﹣x）B．2×8x＝24（40﹣x）
C．8x＝24（40﹣x）D．2×8（40﹣x）＝24x
【答案】B
【解答】解：由题意可得：2×8x＝24（40﹣x）
故选：B．
12．在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（ ）
A．π×（92）2×x=π×(52)2×(x+4)
B．π×92×x＝π×92×（x+4）
C．π×(92)2×x=π×(52)2×(x−4)
D．π×92×x＝π×92×（x﹣4）
【答案】A
【解答】解：根据题意可得：π×（92）2×x=π×(52)2×(x+4)．
故选：A．
13．某服装车间有工人54人，每人每天可加工上衣8件，或裤子10条，应该怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？设有x人做上衣，根据题意，可列方程为 8x＝10（54﹣x） ．
【答案】8x＝10（54﹣x）．
【解答】解：根据题意得：8x＝10（54﹣x），
故答案为：8x＝10（54﹣x）．
14．王老师骑自行车到学校，若每小时骑15千米，可早到10分钟，若每小时骑13千米，则迟到5分钟，设他家到学校的路程为x千米，可列方程 x13−x15=14 ．
【答案】x13−x15=14．
【解答】解：根据题意可得：x13−x15=16+112，即x13−x15=14．
故答案为：x13−x15=14．
15．某文具生产车间有40名工人，生产某种由两本笔记本和三支钢笔组成的一套产品，每人每天生产12本笔记本或20支钢笔，若分配x名工人生产笔记本，其他工人生产钢笔，恰好使每天生产的笔记本和钢笔配套，则可列方程为 12x2=20(40−x)3 ．
【答案】12x2=20(40−x)3．
【解答】解：设分配x名工人生产笔记本，则分配（40﹣x）名工人生产钢笔，
根据题意得：12x2=20(40−x)3．
故答案为：12x2=20(40−x)3．
16．现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，印章的表面积为c，那么可列出方程为 18a2+8×12ab＝c ．
【答案】18a2+8×12ab＝c．
【解答】解：根据题意得，18a2+8×12ab＝c．
故答案为：18a2+8×12ab＝c．
17．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为5cm，容器内水的高度为6cm．把一根半径为1cm的玻璃棒垂直插入水中，问容器内的水将升高 14 cm．
【答案】14
【解答】解：设容器内的水将升高xcm，
根据题意得：π•52×6+π•12（6+x）＝π•52（6+x），
解得x=14．
答：容器内的水将升高14cm．
故答案为14．
18．一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了4.5千米时一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距部队6千米处追上队伍（报信时间忽略不计）．请问：
（1）通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了多长时间？
（2）学校到部队的距离是多少千米？
【答案】（1）1小时；
（2）15.5千米．
【解答】解：（1）设通讯员从离开队伍到追上队伍用一共用了x小时，由题意得：
4.5+5x＝14x﹣4.5，
解得：x＝1．
答：通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了1小时；
（2）4.5+5×1+6＝15.5（千米），
答：学校到部队的距离为15.5千米．
19．为迎接端午佳节，某超市销售两种端午礼盒，每盒A种端午礼盒比每盒B种端午礼盒的进价少50元，而它们销售后的利润相同，其中每盒A种端午礼盒的利润率为30%，每盒B种端午礼盒的利润率为20%，求两种端午礼盒的每盒进价．
【答案】每个A种端午礼盒的进价为100元，每个B种端午礼盒的进价为150元．
【解答】解：设每个A种端午礼盒的进价为x元，根据题意得：
30%x＝20%（x+50），
整理得0.1x＝10，
解得：x＝100，
则x+50＝150．
答：每个A种端午礼盒的进价为100元，每个B种端午礼盒的进价为150元．
20．某工厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作一块大月饼要用0.05kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉．若制作若干盒月饼共用了640kg面粉，请问制作大、小两种月饼各用了多少面粉？
【答案】大月饼用了400kg面粉，小月饼用了240kg面粉．
【解答】解：设用xkg面粉制作大月饼，则用（640﹣x）kg面粉制作小月饼，
由题意得：x0.05×14=640−x0.02×16，
解得x＝400，
则640﹣x＝240，
答：制作大月饼用了400kg面粉，制作小月饼用了240kg面粉．
21．在数轴上，点A表示数m，点B表示数n，已知m、n满足：（3m+n）2+|n﹣6|＝0．
（1）求m、n的值；
（2）若在数轴上存在一点C，使得点C到点A的距离是C到点B的距离的3倍，求点C表示的数；
（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2个单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒．求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．
【答案】（1）m＝﹣2，n＝6；
（2）C点表示的数是4或10；①t=43；②t＝8．
【解答】解：（1）点A表示数m，点B表示数n，已知m、n满足：（3m+n）2+|n﹣6|＝0．
由题意可得：3m+n＝0，n﹣6＝0，
解得m＝﹣2，n＝6；
（2）设点C表示的数是x，
①当点C在A、B之间时，x﹣（﹣2）＝3（6﹣x），
解得x＝4；
②当点C在B点的右侧时，x﹣（﹣2）＝3（x﹣6），
解得x＝10．
综上所述，点C表示4或10；
（3）①甲、乙两球均向左运动，即0≤t≤3时，
此时OA′＝2+t，OB′＝6﹣2t，
则可得方程2+t＝6﹣2t，
解得t=43；
②甲继续向左运动，乙向右运动，即t＞3时，
此时OA′＝2+t，OB′＝2t﹣6，
则可得方程2+t＝2t﹣6，
解得t＝8．
答：甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为43秒或8秒．
22．某服装店老板小红去服装批发市场进货，她看中了一款上衣和一款牛仔裤．上衣进价为50元/件，牛仔裤进价为40元/件，共进货50件，花费2300元．
（1）第一批上衣和牛仔裤的进货量分别是多少？
（2）若小红想将第一批上衣和牛仔裤在进价基础上分别提高40%和30%标价销售，则这批进货全部售完可获得利润多少元？
（3）小红售完这50件后，以同样的进价再次购进上衣和牛仔裤各50件，购进后将第二批上衣和牛仔裤搭配一起卖出，比第一批多赚150元，则此次活动打几折？
【答案】（1）第一批上衣的进货量是30件，牛仔裤的进货量是20件；
（2）这批进货全部售完可获得利润840元；
（3）此次活动打九折．
【解答】解：（1）设第一批上衣的进货量是x件，则牛仔裤的进货量是（50﹣x）件，
根据题意得：50x+40（50﹣x）＝2300，
解得：x＝30，
∴50﹣x＝50﹣30＝20（件）．
答：第一批上衣的进货量是30件，牛仔裤的进货量是20件；
（2）根据题意得：50×40%×30+40×30%×20
＝600+240
＝840（元）．
答：这批进货全部售完可获得利润840元；
（3）设此次活动打y折，
根据题意得：{[50×（1+40%）+40×（1+30%）]×y10−（50+40）}×50﹣840＝150，
解得：y＝9．
答：此次活动打九折．
23．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则A、B两点之间的距离AB＝b﹣a，例：在数轴上点A表示的数是5，点B表示的数是15，则A、B两点间的距离为AB＝15﹣5＝10．定义：在数轴上，如果线段AB间从左往右的点M1，M2，M3，…，Mn﹣1将AB线段n等分，则这n﹣1个点都叫做线段AB的n等分点．若M1是靠近A的第1个n等分点，则记为A＜n，1＞，M2是靠近A的第2个等分点，则记为A＜n，2＞，…，Mn是靠近A的第n﹣1个n等分点，则记为A＜n，n﹣1＞．
探究一：如图1，在数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，若a＜b，则线段AB的二等分点A＜2，1＞表示的数为a+b−a2=a+b2．
（1）探究二：如图2，在数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，若a＜b，则线段AB上靠近点A的第2个五等分点A＜5，2＞表示的数为 3a+2b5 ；
（2）应用一：如图3，在数轴上两点A、B表示的数分别为﹣10、﹣2，数轴上两点C、D表示的数分别为﹣6、4，若线段AB上靠近A的四等分点A＜4，3＞与线段CD上靠近C的十等分点C＜10，x＞重合，则x的值为 2 ；
（3）应用二：如图4，在数轴上A、B两点表示的数分别为﹣10和﹣2，若点P从A点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点Q从B点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为t秒时，线段AB上靠近A的等分点A（8，3）与线段PQ的三等分点重合，请直接写出此时的t为 14或7 ．
【答案】（1）3a+2b5；
（2）2；
（3）14或7．
【解答】解：（1）a+2×b−a5
=5a5+2b−2a5
=5a+2b−2a5
=3a+2b5．
故答案为：3a+2b5．
（2）AB＝﹣2﹣（﹣10）＝8，
线段AB上靠近A的四等分点A＜4，3＞为﹣10+3×84=−4，
CD＝4﹣（﹣6）＝10，
与线段CD上靠近C的十等分点C＜10，x＞为﹣6+1010x=x﹣6，
∵若线段AB上靠近A的四等分点A＜4，3＞与线段CD上靠近C的十等分点C＜10，x＞重合，
∴x﹣6＝﹣4，
∴x＝2．
故答案为：2．
（3）AB＝﹣2﹣（﹣10）＝8，
线段AB上靠近A的等分点A（8，3）为﹣10+3×88−=−7，
点P表示的数为﹣10+3t，点Q表示的数为﹣2﹣2t，
若点P在点Q的左侧时，PQ＝﹣2﹣2t﹣（﹣10+3t）＝8﹣5t，
线段PQ的三等分点为﹣10+3t+8−5t3或﹣10+3t+2×8−5t3，
∵线段AB上靠近A的等分点A（8，3）与线段PQ的三等分点重合，
∴﹣10+3t+8−5t3=−7或﹣10+3t+2×8−5t3=−7，
∴t=14或t＝7（舍），
若点P在点Q的右侧时，PQ＝（﹣10+3t）﹣（﹣2﹣2t）＝﹣8+5t，
线段PQ的三等分点为﹣10+3t+8−5t3或﹣10+3t+2×8−5t3，
∵线段AB上靠近A的等分点A（8，3）与线段PQ的三等分点重合，
∴﹣10+3t+8−5t3=−7或10+3t+2×8−5t3=−7，
∴t=14（舍）或t＝7，
综上所述：t=14或7．
故答案为：14或7．
24．七年级一班共有学生50人，其男生人数比女生人数的2倍少16人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个．
（1）七年级一班有男生和女生各多少人？
（2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【答案】（1）男生28人，女生22人；
（2）4名．
【解答】解：（1）设女生人数为x人，则男生人数为（2x﹣16）人，
根据题意，得x+（2x﹣16）＝50，
3x﹣16＝50，
3x＝66，
x＝22，
2x﹣16＝2×22﹣16＝44﹣16＝28，
答：七年级一班有男生28人，女生22人；
（2）设需要m名男生去支援女生，
支援后，做盒身的人数为（22+m）人，做盒底的人数为（28﹣m）人，
盒身总数为12（22+m）个，盒底总数为26（28﹣m）个，
根据配套关系，得26(28−m)=2×12(22+m)，
26（28﹣m）＝24（22+m），
728﹣26m＝528+24m，
728﹣528＝24m+26m，
200＝50m，
m＝4，
答：需要4名男生去支援女生．
25．列方程解应用题：某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件120个，若甲、乙两种零件分别取3个、5个配成﹣套，那么要在30天内生产最多的成套产品，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
【答案】安排607天生产甲零件，1507天生产乙零件能使．30天内生产最多的成套产品．
【解答】解：设安排x天生产甲零件，则安排（30﹣x）天生产乙零件，
由题意得180x×5＝120（30﹣x）×3，
解得x=607，
∴30−x=1507，
∴安排607天生产甲零件，1507天生产乙零件能使．30天内生产最多的成套产品．
26．为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：
（1）当220＜x≤300时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式；
（2）某户一年用水量是250m3，求该户这一年的水费；
（3）某户去年一年的水费是1495元，求该户去年一年的用水量．
【答案】（1）y＝5x﹣330；
（2）该户这一年的水费是920元；
（3）该户去年一年的用水量是350m3．
【解答】解：（1）当220＜x≤300时，由题意可得：
水费y＝220×3.5+5×（x﹣220），
化简可得：y＝5x﹣330，
即当220＜x≤300时，y与x之间的关系式为y＝5x﹣330；
（2）因为220＜250≤300，将x＝250代入y＝5x﹣330可得：
y＝5×250﹣330＝1250﹣330＝920（元），
所以该户这一年的水费是920元；
（3）当x＝300时，代入y＝5x﹣330可得：
y＝5×300﹣330＝1500﹣330＝1170（元），
因为1495＞1170，
所以该户用水量在第三档，即x＞300．
水费y＝220×3.5+5×（300﹣220）+6.5×（x﹣300）＝6.5x﹣780，
将y＝1495代入y＝6.5x﹣780，可得1495＝6.5x﹣780，
解得x＝350．
所以该户去年一年的用水量是350m3．
27．有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工粉刷8个房间，结果其中有40m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了12个房间之外，还多粉刷了另外的10m2墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积．
【答案】每个房间需要粉刷的墙面面积是 95m2．
【解答】解：一天3名一级技工粉刷8个房间，结果其中有40m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了12个房间之外，还多粉刷了另外的10m2墙面，
设每个房间要粉刷的面积为x平方米，由题意得：
8x−403−12x+105=10，
解得x＝95．
答：每个房间需要粉刷的墙面面积是95m2．
28．综合与实践
国际标准书号，简称ISBN，是专门为识别图书等文献而设计的国际编号．2007年1月1日起，实行新版ISBN，新版ISBN由13位数字组成，分为5段：第一段号码是图书前缀号，一般是代码“978”；第二段是国家、语言或区位代码，中国代码是“7”；第三段是出版社代号，由各地国际标准书号分配中心分给各个出版社；第四段是图书编号，是由出版社分给出版物的代码；第五段是校验号，只有1位数字（从0到9的数字中选择）．其中，校验号是ISBN末尾的单个数字，用于验证ISBN前12位数字是否正确，有助于减少扫描或手动输入的错误．
以图1为例，ISBN编码的算法如下：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和为a，即a＝7+7+3+0+1+8＝26；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和为b，即b＝9+8+8+0+0+3＝28；
步骤3：计算3a与b的和为c，即c＝3×26+28＝106；
步骤4：取c的个位数字t（t＞0），计算10与t的差即为最后的校验号，即10﹣t＝10﹣6＝4，所以校验号为4．
注意：如果计算出的和c是10的倍数，则校验号为0．
请解答下列问题：
（1）某书的书号为978753454647Y，求校验号Y的值；
（2）如图2，某图书书号中的一位数字被墨水污染了，请求出这个数字．
【答案】（1）1；
（2）5．
【解答】解：（1）某书的书号为978753454647Y，
由题意得，a＝7+7+3+5+6+7＝35，
b＝9+8+5+4+4+4＝34，
∴c＝3×35+34＝139，
∴Y＝10﹣9＝1；
（2）如图2，某图书书号中的一位数字被墨水污染了，
设污点的数为x，
∴a＝7+7+0+2+4+3＝23
b＝9+8+1+7+4+x＝29+x
c＝3a+b＝3×23+29+x＝98+x，
若8+x为一位数，则10﹣（8+x）＝7，
解得x＝﹣5，
∵x为非负整数，故不符合题意；
若8+x为两位数，设这个两位数的个位数字为t，
则10﹣t＝7，
解得t＝3，
∵x为非负整数，且0≤x≤9，
则8+x＝13，
∴x＝5
x因为，即这个数字为5．
29．用一元一次方程解决下列问题：
山东淄博陶瓷生产史已逾万年，享有“淄博陶瓷，当代国窑”的美誉．某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？
【答案】2千克．
【解答】解：设用x千克瓷泥做茶壶，则用（6﹣x）千克瓷泥做茶杯，
根据题意得：6×3x＝9（6﹣x），
解得：x＝2．
答：用2千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．
30．完成一项工作，如果由两个人合做，要16天才能完成．开始先安排一些人做2天后，又增加1人和他们一起做4天，结果完成了这项工作的一半，假设这些人的工作效率相同．
（1）开始安排了多少名工人？
（2）如果要求再用4天做完剩余的全部工作，还需要再增加几人一起做？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设开始安排了x名工人，
根据题意，得2x32+4(x+1)32=12
解得x＝2．
答：开始安排了2名工人；
（2）设再增加y名工人，
根据题意，得4×3+y32=12．
解得y＝1．
答：还需要再增加1人一起做．
31．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．
（1）a＝ ﹣3 ，b＝ ﹣1 ，c＝ 9 ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 7 对应的点重合；
（3）若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．
①求t为何值时，点P到点B的距离是5；
②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值．
【答案】（1）﹣3，﹣1，9；
（2）7；
（3）①2.5或7.5；②83或325．
【解答】解：（1）数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．则：
∵b是最大的负整数，
∴b＝﹣1，
∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，
∴a+3＝0，c﹣9＝0，
∴a＝﹣3，c＝9，
故答案为：﹣3，﹣1，9；
（2）设点B与数x表示的点对应，则：
−1+x2=−3+92，
解得x＝7，
故答案为：7；
（3）①情况1：P点在 B点右侧时，
（9﹣2t）﹣（﹣1）＝5，
解得t＝2.5；
情况2：P点在 B点左侧时，
（﹣1）﹣（9﹣2t）＝5，
解得t＝7.5．
综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5．
②由题意得|9﹣（﹣3+t）|＝2|（9﹣2t）﹣（﹣1）|，
整理得|12﹣t|＝2|10﹣2t|，
∴12﹣t＝2（10﹣2t）或12﹣t＝﹣2（10﹣2t），
解得t=83或t=325．
∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为83或325．
32．“顺风车”的理念是提倡环保，让大家共享资源．国庆期间，平台施行了如表优惠计费规则：（设乘车里程为a公里）
（打车费由起步费、里程费、高速路费构成，如果没有高速路费，高速路费为0元）
如：小张乘坐“顺风车”15公里，总费用为：5+1.2×（10﹣3）+1×（15﹣10）＝18.4元．
小李乘坐“顺风车”83公里，高速路费为23元，总费用为：5+0.9×（83﹣3）+23＝100元．
（1）若小黄乘坐“顺风车”的行车里程为a公里，高速路费为b元．
①当10＜a≤30时，小黄应付车费 （a+b+3.4） 元；（用含a，b的式子表示并化简）
②当a＝20，b＝10时，小黄应付车费 33.4 元．
（2）甲和乙分别乘坐一辆“顺风车”到达不同的地方，若甲的里程比乙的里程少10公里，且甲、乙的里程均超过30公里，甲没有产生高速路费，乙产生了10元的高速路费，最终乙的打车费比甲多了16.7元，请问甲的乘车里程是多少公里？
【答案】（1）①（a+b+3.4）；
②33.4；
（2）甲的乘车里程是48公里．
【解答】解：（1）①当10＜a≤30时，小黄应付车费5+1.2×（10﹣3）+1×（a﹣10）+b＝（a+b+3.4）（元）．
故答案为：（a+b+3.4）；
②当a＝20，b＝10时，a+b+3.4＝20+10+3.4＝33.4（元）．
故答案为：33.4；
（2）设甲的乘车里程是x公里，则乙的乘车里程是（x+10）公里，
当30＜x≤40时，[5+1.2×（10﹣3）+1×（30﹣10）+0.8（x+10﹣30）+10]﹣[5+1.2×（10﹣3）+1×（30﹣10）+0.8（x﹣30）]＝18≠16.7，
∴不符合题意，舍去；
当40＜x≤50时，[5+0.9（x+10﹣3）+10]﹣[5+1.2×（10﹣3）+1×（30﹣10）+0.8（x﹣30）]＝16.7，
解得：x＝48；
当x＞50时，[5+0.9（x+10﹣3）+10]﹣[5+0.9（x﹣3）]＝19≠16.7，
∴不符合题意，舍去．
答：甲的乘车里程是48公里．题型1 由实际问题抽象出一元一次方程
题型2 一元一次方程的应用
解｜题｜知｜识
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
解｜题｜知｜识
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
计费档
户年用水量（x/m3）
单价（元/m3）
第一档
0＜x≤220
3.5
第二档
220＜x≤300
5.0
第三档
x＞300
6.5
计费项目
起步费
里程费
高速路费
含起步里程3公里
3＜a≤10的部分
10＜a≤30的部分
30＜a≤50的部分
a＞50（超过3公里的部分一个价）
按照实际产生计入
费用
5元
1.2元/公里
1元/公里
0.8元/公里
0.9元/公里