数学八年级上册（2024）1 认识二元一次方程组优秀学案

这是一份数学八年级上册（2024）1 认识二元一次方程组优秀学案，共24页。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 二元一次方程的定义
【典例1】已知（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程，则a的值是（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．1
【答案】B
【解答】解：∵方程（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程，
∴|a|﹣1＝1且2﹣a≠0，
解得a＝﹣2．
故选：B．
【变式1】|m﹣2|x+3y|m﹣1|＝23是关于x，y的二元一次方程，则m＝（ ）
A．2B．0C．1D．﹣1
【答案】B
【解答】解：若|m﹣2|x+3y|m﹣1|＝23是关于x，y的二元一次方程，
则|m﹣1|＝1且|m﹣2|≠0，
解得m＝0，
故选：B．
【变式2】下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x﹣y＝7；②4x+1＝x；③1x+y＝5；④x＝3y；⑤x2﹣y2＝2；⑥x+y+z．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：①xy+2x﹣y＝7，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程；
②4x+1＝x，含有一个未知数，不是二元一次方程；
③1x+y＝5，是分式方程，不是二元一次方程；
④x＝3y，是二元一次方程；
⑤x2﹣y2＝2，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程；
⑥x+y+z，不是方程．
所以是二元一次方程的个数为1，
故选：A．
【变式3】下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．xy+3＝0B．x+y2＝0C．x+6＝0D．x﹣4y＝0
【答案】D
【解答】解：A、含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B、含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、是二元一次方程，故此选项符合题意；
故选：D。
题型2 二元一次方程的解
【典例1】x=5y=3是下面哪个二元一次方程的解（ ）
A．y＝﹣x+2B．x﹣2y＝1C．x＝y﹣2D．2x﹣3y＝1
【答案】D
【解答】解：把x＝5代入A，得y＝﹣5+2＝﹣3，所以x=5y=3不是二元一次方程A的解；
把x＝5代入B，得y＝（5﹣1）÷2＝2，所以x=5y=3不是二元一次方程B的解；
把x＝5代入C，得y＝5+2＝7，所以x=5y=3不是二元一次方程C的解；
把x＝5代入D，得y＝（10﹣1）÷3＝3，所以x=5y=3是二元一次方程D的解．
故选：D．
【变式1】若x=2y=1是关于x、y的二元一次方程ax﹣5y＝1的解，则a的值为（ ）
A．﹣5B．3C．9D．11
【答案】B
【解答】解：将x=2y=1代入原方程得：2a﹣5×1＝1，
解得：a＝3，
∴a的值为3．
故选：B．
【变式2】若x=ay=b是二元一次程2x﹣3y＝3的一组解，则2a﹣3b+2022的值为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
【答案】B
【解答】解：把x=ay=b代入二元一次程2x﹣3y＝3中，2a﹣3b＝3，
∴2a﹣3b+2022＝3+2022＝2025，
故选：B．
【变式3】已知方程2x+y＝4 的一个解是x=my=−1，则m的值为（ ）
A．2B．52C．32D．1
【答案】B
【解答】解：把x=my=−1代入原方程得：2m﹣1＝4，
解得：m=52，
∴m的值为52．
故选：B．
题型3 二元一次方程组的定义
【典例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x+y=5xy=6B．x−2y=41x+1y=5
C．x−y=1x+3y=4D．2x+y=3x+z=4
【答案】C
【解答】解：A、第二个方程中的xy是二次的，故该选项错误；
B、该方程组中的第二个方程是分式方程，故该选项错误；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义；
D、该方程组中有三个未知数，故该选项错误．
故选：C．
【变式1】下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
①x−2y=3y+2z=7；②1x+y=4y−2x=−1；③3(x−4)−2x=1x−y=5；④x2−y3=12x+3y=12．
A．①②③B．②③C．③④D．①②
【答案】C
【解答】解：①x−2y=3y+2z=7，含有三个未知数，是三元一次方程组，故不符合题意；
②1x+y=4y−2x=−1，各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意；
③3(x−4)−2x=1x−y=5，是二元一次方程组，故符合题意；
④x2−y3=12x+3y=12，是二元一次方程组，故符合题意；
故是二元一次方程组是③④，
故选：C．
题型4 二元一次方程组的解
【典例1】阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号abcd称为2×2阶行列式，并且规定：abcd=a×d−b×c，23−2−1=2×(−1)−3×(−2)．二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解可以利用2×2阶行列式表示为：x=DxD，y=DyD；其中D=a1b1a2b2，Dx=c1b1c2b2，Dy=a1c1a2c2．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组2x+y=13x−2y=12时，下面说法错误的是（ ）
A．D=213−2=−7
B．Dx＝﹣14
C．Dy＝27
D．方程组的解为x=2y=−3
【答案】C
【解答】解：根据新定义运算逐项分析判断如下：
D=213−2=2×(−2)−1×3=−4−3=−7，
则A正确，不符合题意；
Dx=1112−2=1×(−2)−1×12=−2−12=−14，
则B正确，不符合题意；
Dy=21312=2×12−1×3=24−3=21≠27，
则C错误，符合题意；
x=DxD=−14−7=2，y=DyD=21−7=−3，
因此方程组的解为x=2y=−3，
则D正确，不符合题意；
故选：C．
【变式1】若方程组3x−y=4k−52x+6y=k的解中x+y＝2024，则k等于（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
【答案】B
【解答】解：3x−y=4k−5①2x+6y=k②，
①+②，得5x+5y＝5k﹣5，
∴x+y＝k﹣1，
∵x+y＝2024，
∴k﹣1＝2024，
∴k＝2025，
故选：B．
【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
A．﹣1B．7C．1D．2
【答案】C
【解答】解：3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，
①﹣②得2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
代入x﹣y＝4，可得m+3＝4，
解得：m＝1，
故选：C．
【变式3】已知方程组3x+5y=m+25x+3y=m的解x、y互为相反数，则有m的值 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵x与y互为相反数，
∴y＝﹣x，
将y＝﹣x代入方程组得：
3x−5x=m+25x−3x=m
化简得：
−2x=m+2①2x=m②，
①+②得：m+2+m＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
过 关 验 收
1．已知关于x、y的方程2xa﹣2﹣y2+b＝1是二元一次方程，则ab的值为（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
【答案】D
【解答】解：∵关于x、y的方程2xa﹣2﹣y2+b＝1是二元一次方程，
∴a﹣2＝1，2+b＝1，
解得a＝3，b＝﹣1，
∴ab＝3×（﹣1）＝﹣3．
故选：D．
2．方程2x+y＝9在正整数范围内的解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：由题意，得
x=9−y2，
要使x，y都是正整数，则合适的y的值只能是y＝1，3，5，7，
相应的x的值为x＝4，3，2，1．
答案是4个．
故选：D．
3．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c”变更方程”为cx+by＝a．
（1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为 4x+2y＝3 ；
（2）方程2x+3y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 x=−1y=2 ；
（3）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值．
【答案】（1）4x+2y＝3；
（2）x=−1y=2；
（3）2025．
【解答】解：（1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为4x+2y＝3；
故答案为：4x+2y＝3；
（2）方程2x+3y＝4的“变更方程”为4x+3y＝2，
联立得：2x+3y=4①4x+3y=2②，
②﹣①得：2x＝﹣2，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：﹣2+3y＝4，
解得：y＝2，
则方程组的解为x=−1y=2；
故答案为：x=−1y=2；
（3）方程ax+by＝c的“变更方程”为cx+by＝a，
联立得：ax+by=ccx+by=a，
解得：x=−1y=a+cb，
∵a+b+c＝0，
∴a+c＝﹣b，即y＝﹣1，
∴把x=−1y=−1代入方程mx+ny＝p得：m+n＝﹣p，
则原式＝﹣pm﹣p（n+p）+2025
＝﹣p（m+n）﹣p2+2025
＝p2﹣p2+2025
＝2025．
4．写出一个解为x=1y=4的二元一次方程组 x+y=5x−y=−3（答案不唯一） ．
【答案】x+y=5x−y=−3（答案不唯一）．
【解答】解：方程组为x+y=5x−y=−3，
故答案为：x+y=5x−y=−3（答案不唯一）．
5．若关于x，y的二元一次方程组y=2x−1y=ax+2无解，则a的值是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：y=2x−1①y=ax+2②，
①﹣②，得（2﹣a）x﹣3＝0，
∴（2﹣a）x＝3，
∵关于x，y的二元一次方程组y=2x−1y=ax+2无解，
∴2﹣a＝0，
∴a＝2，
故答案为：2．
6．若关于x，y的方程组x+y=a3x+5y=b的解x=5，y=6，则方程组(x−2)+y+3=a，3(x−2)+5(y+3)=b的解为 x=7y=3 ．
【答案】x=7y=3．
【解答】解：设x﹣2＝m，y+3＝n，则方程组可化为m+n=a3m+5n=b，
∵关于x，y的方程组x+y=a3x+5y=b的解为x=5y=6，
∴m＝5，n＝6，即x﹣2＝5，y+3＝6，
解得：x＝7，y＝3，
∴方程组(x−2)+y+3=a3(x−2)+5(y+3)=b的解为x=7y=3．
故答案为：x=7y=3．
7．已知关于x，y的方程组2x−my=44x+y=1的解是自然数，则整数m＝ ﹣4 ．
【答案】﹣4
【解答】解：2x−my=4①4x+y=1②，
①×2﹣②得，﹣2my﹣y＝7，
解得y=7−2m−1，
把y=7−2m−1代入②得，x=m+44m+2，
由方程组有自然数解，得到x与y都为自然数，由y得到﹣2m﹣1＝1或7，
解得：m＝﹣1，﹣4，
当m＝﹣1时，不合题意，
所以m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
8．方程组2x+y=●2x−y=12的解为x=5y=★，则●＝ 8 ★＝ ﹣2 ．
【答案】8；﹣2
【解答】解：将x＝5代入2x﹣y＝12，得：10﹣y＝12，
解得：y＝﹣2，
将x＝5、y＝﹣2代入2x+y，得：2x+y＝10﹣2＝8，
故答案为：8、﹣2．
9．已知关于x、y的方程组3x−y=1ax−by=3和2x+3y=8ax+by=−5的解相同，求a和b的值．
【答案】a=−1b=−2．
【解答】解：由题意得：3x−y=12x+3y=8的解即为ax−by=3ax+by=−5的解，
对于3x−y=12x+3y=8，
将3x﹣y＝1等号两边同乘3，可得9x﹣3y＝3，
两式相加，可得9x﹣3y+2x+3y＝3+8，
解得x＝1，
将x＝1代回3x﹣y＝1中，即3×1﹣y＝1，
解得y＝2，
3x−y=12x+3y=8的解为x=1y=2，
由条件可知a−2b=3a+2b=−5，
两式相加，可得a﹣2b+a+2b＝3﹣5，
解得a＝﹣1，
将a＝﹣1代回a﹣2b＝3中，即﹣1﹣2b＝3，
解得b＝﹣2，
∴a=−1b=−2．
10．已知方程组2x−3y=3ax+by=−1与3x+2y=112ax+3by=3的解相同，求a2+2ab+b2的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由方程组2x−3y=3ax+by=−1与3x+2y=112ax+3by=3的解相同，
得2x−3y=33x+2y=11①，ax+by=−12ax+3by=3②，
解①得x=3y=1，
把x=3y=1代入②得3a+b=−16a+3b=3，
解得a=−2b=5，
则a2+2ab+b2＝（a+b）2＝（﹣2+5）2＝9．
11．若关于x，y的方程组4x+y=3ax−3y=−1与2x=5+3y2x+1=by有相同的解．
（1）求a+b的值．
（2）阅读理解：我们把mnpq称作二阶行列式，规定它的运算法则为mnpq=mq﹣np．例如2345=2×5﹣3×4＝﹣2，求a+bxa2y的值．
【答案】（1）﹣7；（2）18．
【解答】解：（1）根据题意可知，4x+y=32x=5+3y，
解该方程组得：x=1y=−1，
∴a+3＝﹣1，2+1＝﹣b，
解得：a＝﹣4，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣4+（﹣3）＝﹣7；
（2）将x＝1，y＝﹣1，a＝﹣4，b＝﹣3代入a+bxa2y，
∴a+bxa2y=−71−4−2=(−7)×(−2)−(−4)×1=18．题型1 二元一次方程的定义
题型2 二元一次方程的解
题型3 二元一次方程组的定义
题型4 二元一次方程组的解
解｜题｜知｜识
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
解｜题｜知｜识
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
解｜题｜知｜识
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
解｜题｜知｜识
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．