初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）第五章 二元一次方程组3 二元一次方程组的应用第1课时导学案

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）第五章 二元一次方程组3 二元一次方程组的应用第1课时导学案，共8页。学案主要包含了学法指导，例题导析等内容，欢迎下载使用。

1.能根据 “鸡兔同笼” 及类似古算题的题意，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解，掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本方法.
2.通过对比算术推理、一元一次方程、二元一次方程组三种解法，理解二元一次方程组在解决含两个未知量问题时的优势，强化数学模型思想.
学习重点：掌握用二元一次方程组解决 “鸡兔同笼” 及类似实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答）；能从实际问题中准确找出等量关系，列出二元一次方程组.
学习难点：理解二元一次方程组设元的思路，体会其与一元一次方程设元的区别与优势；准确解读古算题的文字表述，提炼复杂情境中的等量关系.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P120-P121页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣，其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛，飘洋过海流传到了日本等国.
●探究一：应用二元一次方程组解古算题
◆1.“鸡兔同笼”题为:今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何?
提示：“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”的意思是什么?
你能算出鸡兔各几只吗？
译文：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚.问笼子里鸡和兔各有多少只?
思考：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？
已知条件是： ；
所求问题是： ；
隐藏的条件是： .
◆2.小组讨论：你能用几种方法解决这一问题？
【解法一】算术推理
如果都是鸡，35 头应该有 70 只脚，实际有 94 只脚，多出 只脚，应该是 的，
每只兔子多两只脚，所以兔子应该有 只.所以鸡有 （列式算）.
【解法二】用一元一次方程求解
思考：趣题中有怎样的等量关系？
解：设有鸡 x 只，则有兔（35－x）只．
由题意得 ．
解得： ．
所以 兔的只数为： ．
答：有鸡 只，兔 只．
【解法三】用二元一次方程组求解
设鸡有 x 只，有兔y 只，
根据表格你能列出方程吗？
【解答】解：设有鸡 x 只，兔 y 只．
由题意得：
解得：
答：有鸡 只，兔 只.
对比三种解法，总结优势：
◆3.小组讨论：“算术法、一元一次方程法、二元一次方程组法，这三种方法各有什么优缺点？”
总结：
算术法：优点是无需设 ，缺点是逻辑推理复杂，仅适用于简单问题；
一元一次方程法：优点是比算术法更系统，缺点是需用一个未知量表示 ，列方程时易出错；
二元一次方程组法：优点是直接设 未知量，更贴合问题的数量关系，列方程更直观，缺点是需要解方程组，计算步骤稍多，但整体更易理解和掌握.
总结：“当实际问题中含有两个未知量，且有两个等量关系时，用 解决更便捷.”
◆4.总结归纳：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
审题：弄清题意和题目中的 ；
设元：用字母表示题目中的 （设两个未知数）；
列方程组：根据两个等量关系列出 ；
解方程组：利用 或加减消元法解出未知数的值；
检验并答：检验所求的解是否符合 意义，然后作答.
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1：今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的 10 钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多 5 倍；
如果乙得到甲的 10 钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱?
【分析】等量关系： ， .
【解答】解：设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y ，根据题意，得

解这个方程组，得：
答：甲带了 钱，乙带了 钱.
例2 隔壁听到人分银，不知人数不知银. 只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？
【分析】等量关系： ， .
【解答】解：设人数为x人，银两为y两，依题意得：

解这个方程组，得：
答：人数为 人，银两为 两.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何列二元一次方程解决古代数学问题，重点探讨如何找等量关系；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.

1．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为 （ ）
D.&x+y=5&y-x=21
C.&x+y=5&x-y=21
B.&x-y=5&x+y=21
A.&y-x=5&x+y=21
2.古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为 ．
3.《算法统宗》是我国明代著名数学家程大位的数学名著，它里面有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店有客房x间，房客y人，根据题意，可列方程组为 ．（只列不解）
4.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有羊又有牛，且银两须全部用完)，且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
题型一 鸡兔同笼问题
1．我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ）
A．x+y=162x+4y=44B．x+y=162x+2y=44
C．x+y=164x+4y=44D．x+y=164x+2y=44
2．如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（ ）
A．3，4B．4，3C．2，5D．5，2
3．我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（ ）两．
A．35B．107C．2021D．3421
4．鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答）
5．我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”．其大意是“现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答．
题型二 和、差、倍分问题
6．现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元．则其中面额100元的人民币有（ ）
A．12张B．14张C．20张D．21张
7．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货 吨．
8．开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的13买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的34买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？
9．如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15，两根铁棒的长度之和为55，求两根铁棒的长度．
10．北大附中畅春园校区教学楼有4层，其中初一、初二的班级教室都在2﹣4层，共有35个班，1200名学生．进出教学楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．周一早上参加升旗仪式时，各班从教室出发，如果通过两道正门和一道侧门走到操场，那么4分钟可以集合完毕；如果通过两道侧门和一道正门走到操场，那么5分钟可以集合完毕（出门跑到操场指定位置的时间忽略不计）．
求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？
题型三 盈不足问题
11．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组（ ）
A．3y+5=x5(y-1)=xB．3x+5=y5(x-1)=y
C．3y+5=x5y=x-5D．3y=x+55y=x-5
12．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ）
A．7x+7=y9(x-1)=yB．7x+7=y9(x+1)=y
C．7x-7=y9(x-1)=yD．7x-7=y9(x+1)=y
13．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两；则①人数为 人；②银子共有 两．
14．一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官和士兵各有多少名？
15．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
▲1．总结归纳：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
审题：弄清题意和题目中的 ；
设元：用字母表示题目中的 （设两个未知数）；
列方程组：根据两个等量关系列出 ；
解方程组：利用 或加减消元法解出未知数的值；
检验并答：检验所求的解是否符合 意义，然后作答.
鸡
兔
合计
只数
x
y
35
脚数
94