北师大版（2024）八年级上册（2024）1 平均数与方差优秀学案

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）1 平均数与方差优秀学案，共24页。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 算术平均数
【典例1】若x1，x2，x3，x4的平均数为4，x5，x6，x7，⋯，x10的平均数为6，则x1，x2，x3，⋯，x10的平均数为（ ）
A．4.8B．5C．5.2D．5.4
【变式1】如果一组数据6，x，2，4的平均数是3，那么x是（ ）
A．0B．3C．4D．2
【变式2】有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，15，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法错误的是（ ）
A．这组数据的下四分位数是4
B．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18
C．墨水污染的数据有一个是15
D．这组数据的平均数是10
【变式3】已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在函数y＝2x﹣5的图象上，若数据x1，x2，x3的平均数为3，方差是2，则另一组数据y1、y2、y3的平均数是 ，方差是 ．
题型2 加权平均数
【典例1】学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：
若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ）
A．86B．87C．88D．89
【变式1】学生体育成绩的计算方法是将日常、期中、期末三项成绩，分别按2：3：5的比例计算出学期的最终成绩．若小明这学期的三项成绩分别为90分、90分、96分，则小明本学期的体育最终成绩为 分．
【变式2】在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%．八年级一班这三项成绩分别为70分，80分和90分，求该班卫生检查的总成绩 分．
【变式3】某校“五四青年节”举办演讲比赛，其中综合内容分占40%，现场演讲分占60%，小明参加了比赛，并在综合内容和现场演讲中分别取得95分和80分的成绩，则小明的最终成绩为 分．
题型3 众数
【典例1】一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则x为（ ）
A．1B．2C．4D．3
【变式1】水是生命之源．为了倡导节约用水，物业随机抽取了某小区8户家庭上个月家里的用水量（单位：吨）情况，数据为7，8，6，8，8，9，10，9，则这组数据的众数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式2】已知一组数据1，0，﹣3，5，x，2，﹣3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ）
A．﹣3B．5C．﹣3和5D．1和3
【变式3】某校举行“喜迎中国共产党建党100周年”党史知识竞赛，如表是10名决赛选手的成绩．这10名决赛选手成绩的众数是（ ）
A．85B．90C．95D．100
题型4 方差
【典例1】某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为196cm的队员换下场上身高为190cm的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（ ）
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
【变式1】某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【变式2】甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定
B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定
C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定
D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定
【变式3】求一组数据方差的算式为：s2=1n×[(6−x)2+(8−x)2+(8−x)2+(6−x)2+(7−x)2]．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．n的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
题型5 标准差
【典例1】已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（ ）
A．2，2B．3，3C．2，2D．3，3
【变式1】（1）已知一组数据1，3，5，7，9，求这组数据的标准差．
（2）某商场统计了去年1～5月A，B两种品牌冰箱的销售情况，如表所示：
①分别求出A，B品牌的销售量的平均数；
②分别求出A，B品牌的销售量的方差，并比较品牌的销售量的稳定性．
过 关 验 收
1．射击比赛中，某选手的10次射击成绩如表所示：
则该选手的平均成绩是 环．
2．为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给801班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则801班平均得分是 ．
3．某校规定学生综合素质评价成绩满分为100分，其中思想品德占15%，学业水平成绩占30%，艺术素养占10%，身心健康占20%，社会实践占15%，劳动教育占10%．小兵这学期的六项成绩依次为80分，90分，85分，95分，90分，85分，则小兵这学期的综合素质评价成绩是 ．
4．学校食堂为了让同学们品尝不同品类的午餐，提供了每份8元、10元、12元的三种盒饭，经食堂统计，有30%的同学选择了8元/份的盒饭，有60%的同学选择了10元的盒饭，有10%的同学选择了12元的盒饭，请你计算该学校学生午餐平均每人花费 元．
5．“最是书香能致远，腹有诗书气自华”，2023年4月23日是第28个世界读书日，某校举行了“读书遇见美好”演讲大赛，小玉的演讲内容、语言、表达、效果四项得分分别是86分、88分、90分、94分，若将四项得分依次按4：4：1：1的比例确定最终成绩，则小玉的最终比赛成绩为 分．
6．某校团委要招聘一名节目主持人，A、B、C三位同学报名并参加了3个项目的素质测试，测试成绩如表（单位：分）．
（1）计算得A同学的总成绩的平均分为80分，请求出B、C两同学的平均分；
（2）对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经验的成绩按3：3：4的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？
7．某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）
（1）请算出三人的民主评议得分；
（2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用；
（3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
8．某校为了提开初中学生学习数学的兴趣，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙两个小组进入决赛，评委从准备工作、研究报告、小组展示、答辩四个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙两个小组各项得分如下表：
（1）计算各小组的平均成绩，哪个小组的成绩高？
（2）如果按2：1：3：4的比来计算，求各小组的成绩，哪个小组的成绩高？
9．一组数据2，4，x，2，4，7的众数是2，则这组数据的平均数是 ．
10．已知一组数：3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为M，方差为N，那么数组：x1，x2，x3，x4的平均数及方差分别是（ ）
A．3M+2，9NB．M−23，N2−29
C．M−23，N9D．M−23，N−29
11．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ）
A．S甲2＜S乙2， x甲=x乙
B．S甲2=S乙2 ，x甲＞x乙
C．S甲2＞S乙2， x甲=x乙
D．S甲2=S乙2， x甲＜x乙
12．某校足球训练队开展体能测试，训练队共20人，小亮没有参加本次集体测试．老师对余下19人的测试成绩进行了统计分析，19人的平均分为90分，方差s2＝38.4．后来小亮进行了补测，成绩恰为90分．该训练队20人的测试成绩与该队19人的测试成绩相比，下列说法正确的是（ ）
A．平均分和方差都不变
B．平均分不变，方差变大
C．平均分不变，方差变小
D．平均分和方差都改变
13．已知样本x1、x2，…，xn平均数是5，方差是3，则样本3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数和方差是（ ）
A．5，3B．20，3C．20，27D．5，27
14．初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如下：
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．35，2B．36，4C．35，3D．36，3
15．如图是甲、乙两地11月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为s甲2 s乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）
16．小丽计算数据方差时，使用公式s2=15[（5−x）2+（8−x）2+（13−x）2+(14−x）2+（15−x）2]，则公式中x= ．
17．已知4个数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差是4；另外6个数据x5，x6，x7，x8，x9，x10的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，则这10个数据的方差为 ．
18．一组数据的方差s2=17[(x1−3)2+(x2−3)2+⋯+(x7−3)2]，则该组数据的总和是 ．
19．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是10，方差是2，数据2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差是 ．
20．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是2，那么3，4，6，m+1，n+1五个数据的方差是 ．题型1 算术平均数
题型2 加权平均数
题型3 众数
题型4 方差
题型5 标准差
解｜题｜知｜识
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
解｜题｜知｜识
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息.
姓名
读
听
写
小莹
92
80
90
解｜题｜知｜识
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
分数
100
95
90
85
人数
1
4
3
2
解｜题｜知｜识
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn−x）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
甲
乙
丙
丁
平均数
205
217
208
217
方差
4.6
4.6
6.9
9.6
解｜题｜知｜识
（1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．
公式：s＝s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]
（2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
A品牌（台）
15
17
16
13
14
B品牌（台）
10
14
15
16
20
成绩/环
10
9
8
7
6
次数
3
4
1
0
2
知识积累
人文素养
实践经验
A
80
78
82
B
78
86
79
C
79
87
74
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
76
80
90
面试
93
71
68
小组
准备工作
研究报告
小组展示
答辩
甲
85
78
85
73
乙
73
80
82
83
编号
1
2
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37