数学八年级上册（2024）第四章 一次函数4 一次函数的应用优秀学案及答案

这是一份数学八年级上册（2024）第四章 一次函数4 一次函数的应用优秀学案及答案，共24页。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 一次函数图象上点的坐标特征
【典例1】已知点（﹣3，y1），（1，y2），（﹣2，y3）都在直线y=−45x+b上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y3＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1
【答案】A
【解答】解：∵k=−45＜0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵三个点的横坐标满足﹣3＜﹣2＜1，
∴y1＞y3＞y2，
即 y2＜y3＜y1．
故选：A．
【变式1】对于函数y＝﹣3x﹣2，说法正确的是（ ）
A．点A（1，﹣1）在这个函数图象上
B．y随着x的增大而增大
C．它的图象必过一、三象限
D．当x＞1时，y＜﹣5
【答案】D
【解答】解：由题知，
因为一次函数的解析式为y＝﹣3x﹣2，
则当x＝1时，y＝﹣3×1﹣2＝﹣5≠﹣1，
所以点A（1，﹣1）不在这个函数图象上，
故A选项不符合题意；
因为﹣3＜0，
所以y随着x的增大而减小，
故B选项不符合题意；
因为该函数图象经过第二、三、四象限，
故C选项不符合题意；
当x＞1时，
﹣3x＜﹣3，
则﹣3x﹣2＜﹣5，
即y＜﹣5，
故D选项符合题意．
故选：D．
【变式2】如图，直线y=−34x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论：
①AB＝10；
②∠OBC＝∠DBC；
③直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；
④点D的坐标为(245，125)．
正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：∵直线y＝﹣x+6分别与x、y轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB=OB2+OA2=10，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，∠OBC＝∠DBC，故②正确；
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴（8﹣OC）2＝16+OC2，
∴OC＝3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+6，
∴0＝3k+6，
∴k＝﹣2，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故③正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD＝OC＝3，
∴CA＝5，
∵S△ACD=12AC×DH=12CD×AD，
∴DH=3×45=125，
∴当y=125时，125=−34x+6，
∴x=245，
∴点D（245，125），故④正确；
故选：D．
【变式3】若正比例函数的图象经过点（﹣2，4），则这个图象必经过点（ ）
A．（3，6）B．（﹣3，﹣6）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）
【答案】D
【解答】解：由题意可得：4＝﹣2k，
解得：k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
A．由当x＝3时，y＝﹣6，则（3，6）不在正比例函数的图象上，故本选项错误，不符合题意；
B．由当x＝﹣3时，y＝6，则（﹣3，﹣6）不在正比例函数的图象上，故本选项错误，不符合题意；
C．由当x＝﹣2时，y＝4，则（﹣2，1）不在正比例函数的图象上，故本选项错误，不符合题意；
D．由当x＝﹣1时，y＝2，则（﹣1，2）在正比例函数的图象上，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
题型2 待定系数法求一次函数解析式
【典例1】已知点A（m，n），B（m+1，n﹣8）在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（ ）
A．y＝x+8B．y＝﹣x﹣8C．y＝8x+1D．y＝﹣8x+1
【答案】D
【解答】解：由题意，设直线为y＝kx+b（k≠0），
又∵直线过A（m，n），B（m+1，n﹣8），
∴mk+b=n(m+1)k+b=n−8．
∴k＝﹣8．
∴ABC均不可能，D可能．
故选：D．
【变式1】已知一次函数的图象经过点P（﹣3，0），且与两坐标轴截得的三角形面积为4，则此一次函数的解析式为y=89x+83或y=−89x−83 ．
【答案】y=89x+83或y=−89x−83
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
设一次函数图象与y轴交于点Q（0，m），
则S△POQ=12×|﹣3|×|m|＝4，
∴m＝±83．
设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
当m=83时，将（﹣3，0），（0，83）代入y＝kx+b，得：−3k+b=0b=83，
解得：k=89b=83，
∴一次函数的解析式为y=89x+83．
当m=−83时，同理可求出一次函数的解析式为y=−89x−83．
故答案为：y=89x+83或y=−89x−83．
【变式2】如图，已知在平面直角坐标系中，点P（a，3）在直线l1：y＝x+2上，过点P的直线l2：y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，PH⊥x轴于点H．
（1）求直线l2的函数解析式和点B的坐标；
（2）在直线l2上是否存在点C，使得△PHC的面积等于四边形OBPH的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x+4，B（0，4）；
（2）C（15，﹣11）或（﹣13，17）．
【解答】解：（1）∵点P（a，3）在直线l1：y＝x+2上，
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴P（1，3），
把P（1，3），点A（4，0），代入y＝kx+b得k+b=34k+b=0，
解得k=−1b=4，
∴直线l2的函数解析式为y＝﹣x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4）；
（2）∵PH⊥x轴于点H，
∴H（1，0），
∴OH＝1，PH＝3，OB＝4，
设C（m，﹣m+4），
∵△PHC的面积等于四边形OBPH的面积的6倍，
∴12×3×|m﹣1|＝6×12（3+4）×1，
∴m＝15或m＝﹣13，
∴C（15，﹣11）或（﹣13，17）．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣3）在直线OA上，直线AC交y轴于点C（0，﹣2），交x轴于点B．
（1）求直线OA和直线AC的函数表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）动点P在直线OA和直线AB上运动，如果存在一点P，使得S△OCP=32S△OCA，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）直线OA的函数表达式为y＝3x，直线AC的函数表达式为y＝x﹣2；
（2）3；
（3）(32，92)或(−32，−92)或(32，−12)或(−32，−72)．
【解答】解：（1）设直线OA的函数表达式为y＝k1x（k1≠0），
将点A（﹣1，﹣3）代入得：﹣k1＝﹣3，解得k1＝3，
则直线OA的函数表达式为y＝3x；
设直线AC的函数表达式为y＝k2x+b2（k2≠0），
将点A（﹣1，﹣3），C（0，﹣2）代入得：−k2+b2=−3b2=−2，解得k2=1b2=−2，
则直线AC的函数表达式为y＝x﹣2．
（2）在y＝x﹣2中，
当y＝0时，x＝2，
∴B（2，0），OB＝2，
∵A（﹣1，﹣3），
∴△OAB的OB边上的高为|﹣3|＝3，
则△OAB的面积为12×2×3=3．
（3）∵A（﹣1，﹣3），
∴S△OCA=12×2×1=1，
①当动点P在直线OA上运动时，则设点P的坐标为（m，3m），
∴S△OCP=12×2|m|=|m|，
∵S△OCP=32S△OCA，
∴|m|=32×1，
∴m=±32，
当m=32时，3m=92，此时点P的坐标为(32，92)，
当m=−32时，3m=−92，此时点P的坐标为(−32，−92)；
②当动点P在直线AB上运动时，则设点P的坐标为（n，n﹣2），
∴S△OCP=12×2|n|=|n|，
∵S△OCP=32S△OCA，
∴|n|=32×1，
∴n=±32，
当n=32时，n−2=−12，此时点P的坐标为(32，−12)，
当n=−32时，n−2=−72，此时点P的坐标为(−32，−72)；
综上，点P的坐标为(32，92)或(−32，−92)或(32，−12)或(−32，−72)．
题型3 待定系数法求正比例函数解析式
【典例1】点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣15B．15C．−35D．−53
【答案】D
【解答】解：∵点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，
∴﹣5＝3k，
解得：k=−53，
故选：D．
【变式1】已知函数y＝（k+5）xk2﹣24是关于x的正比例函数，则表达式为y＝10x ．
【答案】y＝10x．
【解答】解：由正比例函数的定义可得，
k+5≠0且k2﹣24＝1，
解得k≠﹣5且k＝±5．
∴k＝5．
∴y＝10x．
故答案为：y＝10x．
【变式2】已知，正比例函数经过点（﹣1，2），该函数解析式为y＝﹣2x ．
【答案】y＝﹣2x
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵图象经过点（﹣1，2），
∴2＝﹣k，
此函数的解析式是：y＝﹣2x；
故答案为：y＝﹣2x
题型4 一次函数与一元一次方程
【典例1】如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ）
A．x=12B．x＝1C．x＝2D．x＝4
【答案】B
【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故选：B．
【变式1】如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A，方程kx+b＝3的解是 x＝2 ．
【答案】x＝2．
【解答】解：由函数图象可知：当x＝2时y＝kx+b＝3，
所以关于x的方程kx+b＝3的解为x＝2，
故答案为：x＝2．
【变式2】一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为 x＝﹣2 ．
【答案】x＝﹣2．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可得y＝0时，x＝﹣2，
因此关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2．
【变式3】对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．
例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
（1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 （1，3） 与 （3，1） ；
（2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 ﹣4 ；
（3）若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标．
【答案】（1）（1，3），（3，1）；
（2）﹣4；
（3）（6，﹣7）或（6，1）．
【解答】解：（1）∵Q（4，﹣1），
∴a＝4+（﹣1）＝3，b﹣（﹣1）＝1，
∴点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是（1，3）与（3，1），
故答案为：（1，3），（3，1）；
（2）∵点A（8，y），
∴a＝8+y，b＝﹣y，
∴点A（8，y）的一对“相伴点”的坐标是（8+y，﹣y）和（﹣y，8+y），
∵点A（8，y）的一对“相伴点”重合，
∴8+y＝﹣y，
∴y＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（3）设点B（x，y），
∵点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），
∴x+y=−1−y=7或−y=−1x+y=7，
∴x=6y=−7或x=6y=1，
∴B（6，﹣7）或（6，1）．
题型5 两条直线相交或平行问题
【典例1】在同一平面直角坐标系中，对于函数：①y＝﹣x﹣1，②y＝x+1，③y＝﹣x+1，④y＝﹣2（x+1）的图象，下列说法正确的是（ ）
A．通过点（﹣1，0）的是①和③
B．交点在y轴上的是②和④
C．①和③都与函数y＝﹣x的图象平行
D．关于x轴对称的是②和③
【答案】C
【解答】解：A、由题意，将点（﹣1，0）代入①y＝﹣（﹣1）﹣1＝0，通过；②y＝﹣1+1＝0，通过；③y＝﹣（﹣1）+1＝2≠0，不通过；④y＝﹣2（﹣1+1）＝0，通过，通过的是①②④，
∴A错误；
B、由题意，交点在y轴上需x＝0时y值相等，x＝0时，①y＝﹣1，②y＝1，③y＝1，④y＝﹣2，②和④y值不相等，
∴B错误；
C、由题意，对于y＝kx+b，当k相等时，两直线平行，又∵函数y＝﹣x的k＝﹣1，①k＝﹣1，③k＝﹣1，
∴均与y＝﹣x平行，
∴C正确；
D、由题意，∵②y＝x+1与③y＝﹣x+1，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但x＝0时均为1，不相反，
∴D错误；
故选：C．
【变式1】如图，直线l1，l2相交于点A（3，2），l1，l2与x轴分别交于点B（1，0）和C（﹣2，0），则当y2＞y1＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x＞1C．1＜x＜3D．﹣2＜x＜3
【答案】C
【解答】解：如图，∵直线l1，l2相交于点A（3，2），l1，l2与x轴分别交于点B（1，0）和C（﹣2，0），
∴当y2＞y1＞0时，自变量x的取值范围是1＜x＜3，
故选：C．
【变式2】两条直线y＝ax+b与y＝bx+a在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：设y＝ax+b为①，y＝bx+a为②，
A、若①是y＝ax+b，则a＞0，b＞0，则②不可能是y＝bx+a的图象，不符合题意；
B、若①是y＝ax+b，则a＞0，b＜0，则②可能是y＝bx+a的图象，符合题意；
C、若①是y＝ax+b，则a＞0，b＞0，则②不可能是y＝bx+a的图象，不符合题意；
D、若①是y＝ax+b，则a＞0，b＜0，则②不可能是y＝bx+a的图象，不符合题意；
故选：B．
【变式3】如果一次函数y＝2x+a与y＝﹣x+1在平面直角坐标系中的图象都经过点（﹣2，b），那么a﹣b的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解答】解：∵点（﹣2，b）在一次函数y＝2x+a图象上，
∴b＝﹣4+a，
∴a﹣b＝4，
故选：B．
题型6 一次函数的应用
【典例1】哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟50m，哥哥骑自行车每分钟行驶150m，如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（ ）
A．他们家与学校之间的距离为750米
B．哥哥与弟弟相距的最大距离是500米
C．B点时弟弟的步行时间为9分钟
D．BC的函数表达式为y＝﹣100x+1000
【答案】D
【解答】解：∵哥哥的速度始终大于弟弟的速度，
∴在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，
∴点A表示哥哥已经到达学校，此时哥哥已经骑行了150×5＝750（m），
∴他们家与学校之间的距离为750m，
∴A选项正确，不符合题意；
哥哥与弟弟相距的最大距离是（150﹣50）×5＝500（m），
∴B选项正确，不符合题意；
设坐标B（t，a），
根据题意，得100(12−t)=a50(t−5)=500−a，解得t=9a=300，
∴B点时弟弟的步行时间为9分钟，
∴C选项正确，不符合题意；
设BC的函数表达式为y＝kx+b，
将坐标B（9，300）和C（12，0）分别代入y＝kx+b，
得9k+b=30012k+b=0，解得k=−100b=1200，
∴BC的函数表达式为y＝﹣100x+1200，
∴D选项错误，符合题意，
故选：D．
【变式1】国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离y（km）与两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．乙车的速度是100km/h
B．乙车比甲车晚出发1h，却早到1h
C．乙车出发后1.5h追上甲车
D．当甲、乙两车相距50km时，t=54或154
【答案】D
【解答】解：设甲的函数关系式为y＝kt，乙的函数关系式为y1＝k1t+b1，
由函数图象得，将（5，300）代入到甲的函数关系式中，（1，0），（4，300）代入到乙的函数关系式中，
∴5k＝300，1×k1+b1=04×k1+b1=300，
解得k=60，k1=100b1=−100，
∴甲的函数关系式为y＝60t，乙的函数关系式为y1＝100t﹣100，
A、乙车速度为300÷（4﹣1）＝100km/h，该选项正确，不符合题意；
B、乙车在t＝1时出发，在t＝4到达，甲车在t＝0时出发，在t＝5到达，则乙车比甲车晚出发1h，却早到1h，该选项正确，不符合题意；
C、联立两个函数解析式得y=60ty1=100t−100，
解得t=2.5y=150，
∵乙车在t＝1时出发，
∴乙车出发后1.5h追上甲车，该选项正确，不符合题意；
D、当乙出发前（0≤t＜1）：60t＝50，
解得t=56，选项中没有；
乙出发后到甲到达前（1≤t≤5）：|60t﹣100（t﹣1）|＝50，
解得t=54或t=154；
乙到达后（t＞4）：300﹣60t＝50
解得t=256，选项中也没有，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
【变式2】一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（单位：h）．两车之间的距离为y（单位：km）．图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列结论：
①a＝3.75；
②当快车到达终点时，普通列车距离甲地540km；
③普通列车行驶8h时，到达终点甲地；
④经过176ℎ或196ℎ两车相距60km．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解答】解：由图象可得，两车的速度和为1080÷3＝360（km/h），
a＝（1080+270）÷360＝3.75，故①正确；
由函数图象可得4.5h时，动车到达终点，甲乙两地的距离为1080km，
动车的速度为1080÷4.5＝240（km/h），
则普通列车的速度为360﹣240＝120（km/h），
1080﹣4.5×120＝540（km），
则当快车到达终点时，普通列车距离甲地540km，故②正确；
普通列车到达终点甲地的时间为1080÷120＝9（h），故③错误；
设经过xh，两车相距60km，
相遇前：（120+240）x+60＝1080，得x=176；
相遇后：（120+240）x﹣60＝1080，得x=196；
即经过176ℎ或196ℎ两车相距60km，故④正确；
综上，正确的结论有①②④．
故选：B．
【变式3】甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为36米的时刻不可能是（ ）
A．5分钟B．9分钟C．11分钟D．17分钟
【答案】B
【解答】解：由图象可得，甲的路程为240米，时间为20分钟，
可得甲的速度为240÷20＝12米/分钟，
当0≤x≤4时，乙的路程为60米，时间为4分钟，
可得当0≤x≤4时，乙的速度为60÷4＝15米/分钟，
当4＜x≤14时，由乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，
可得当4＜x≤14时，乙的速度为24米/分钟，
即甲的路程y甲与时间x的函数关系式为y甲＝12x+60（0≤x≤20），
乙的路程y乙与时间x的函数关系式为y乙=15x(0≤x≤4)24x−36(4＜x≤14)，
由甲、乙两人距地面的高度差为36米，得|y甲﹣y乙|＝36，
当0≤x≤4时，（12x+60）﹣15x＝36，
解得x＝8（不合题意，舍去）；
当4＜x≤14时，|（12x+60）﹣（24x﹣36）|＝36，
解得x＝5或x＝11；
当14＜x≤20时，300﹣（12x+60）＝36，
解得x＝17，
综上所述，x的值为5或11或17，得不可能为9，
故答案为：B．
过 关 验 收
1．如图，已知A点的坐标为（23，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，若∠α＝75°，则b＝ 2 ．
【答案】2
【解答】解：∵直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，A点的坐标为 （23，0），
∴该直线与x轴的夹角为45°，点B（0，b），OA＝23，
∵∠α＝75°，
∴∠BAO＝75°﹣45°＝30°，
∴tan30°=OBOA=b23，
解得，b＝2，
故答案为：2．
2．直线y=kx+2k−4k−1(k≠1)．无论k取除1外的任何数，都经过一个定点，定点坐标为 （2，4） ．
【答案】（2，4）．
【解答】解：∵直线y=kx+2k−4k−1，
∴y（k﹣1）＝kx+2k﹣4，
整理，得：k（y﹣x﹣2）﹣（y﹣4）＝0，
∵无论k取除1外的任何数，都经过一个定点，
∴y−x−2=0y−4=0，
解得x=2y=4，
∴直线必经过定点（2，4），
故答案为：（2，4）．
3．关于函数y＝kx+b（k≠0），已知点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，且（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号，则图象不经过第 四 象限．
【答案】四．
【解答】解：∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，且（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号，
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0．
∵b≥0，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0，b≥0）的图象不经过第四象限，
故答案为：四．
4．如图，一次函数y=−3x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，以点A为圆心，AB为半径画弧与x轴负半轴交于点C，则线段BC的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：在一次函数y=−3x+3中，
当x＝0时，y=3，当y＝0时，x＝1，
∴B（0，3），A（1，0），
由勾股定理得：AB=(3)2+12=2，
∴C（﹣1，0），
∴BC=(3)2+12=2，
故答案为：2．
5．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣3x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是 92 ．
【答案】92．
【解答】解：将A、B、C的横坐标代入到一次函数中；
解得A（﹣1，m+3），B（1，m﹣3），C（2，m﹣6）．
由一次函数的性质可知，三个阴影部分三角形全等，底边长为2﹣1＝1，高为（m﹣3）﹣（m﹣6）＝3，
可求得阴影部分面积为：S=12×1×3×3=92，
故答案为92．
6．在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝2|x﹣1|﹣3性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）如表是x与y的对应值：
①a＝ 3 ；
②若点A（m，c）、B（n，c）都在该函数图象上，则m+n＝ 2 ．
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的两条性质：
① 当x＞1时，y随x的增大而增大 ；② 当x＜1时，y随x的增大而减小 ．
（3）已知函数y1＝﹣x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程2|x﹣1|﹣3＝﹣x+1的解x＝ ﹣2或2 ．
【答案】（1）①3；②2；
（2）
当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小；
（3）﹣2或2．
【解答】解：（1）①当x＝4时，y＝2×|4﹣1|﹣3＝3，
∴a＝3，
故答案为：3；
②由表格中数据可知：若A（m，c），B（n，c）为该函数图象上纵坐标相同，而横坐标不同的两点，
则m+n＝2；
故答案为：2；
（2）如图所示，
观察函数图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小；
故答案为：当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小；
（3）观察图象可知：当y1＝y时，x＝﹣2或2，
∴方程2|x﹣1|﹣3＝﹣x+1的解x＝﹣2或x＝2．
故答案为：﹣2或2．
7．如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）在x轴上找一点D，使得S△ACD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）点P在y轴上，且三角形AOB的面积是三角形AOP面积的2倍，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）（0，2）．
（2）（0，0）或（﹣4，0）．
（3）（0，2）或（ 0，﹣2）．
【解答】解：（1）由直线y＝2x+4与y轴交于点B，
令x＝0，得y＝4，即B（0，4），
∴OB＝4，
∵点C是OB的中点．
∴BC＝OC＝2，即C（0，2）．
（2）由直线y＝2x+4与x轴交于点A，
令y＝0，得x＝﹣2，
∴OA＝2，
∴S△ABC=12BC⋅OA=12×2×2=2，
设点D的坐标为（a，0），则AD＝|a﹣（﹣2）|＝|a+2|，
∴S△ACD=12AD⋅OC=12|a+2|×2=|a+2|，
∵S△ABC＝S△ACD，
∴|a+2|＝2，解得：a＝0或a＝﹣4，
即点D的坐标为（0，0）或（﹣4，0）．
（3）∵OA＝2，OB＝4，
∴S△AOB=12OA•OB=12×2×4=4，
设点P的坐标为（0，b），则OP＝|b|，
∴S△AOP=12OA⋅OP=|b|，
∵三角形AOB的面积是三角形AOP面积的2倍，
∴4＝2|b|，解得：b＝2或b＝﹣2，
即点P的坐标为（0，2）或（ 0，﹣2）．
8．已知直线l1：y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于A，B两点，直线l2：y＝7x与l1交于C点，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形则k的值为 ﹣7或﹣1或7 ．
【答案】﹣7或﹣1或7．
【解答】解：联立y=−x+8y=7x，
解得：x=1y=7，
∴C（1，7）．
分三种情况讨论：
1．若l3∥l1，可得k＝﹣1，此时l3：y＝﹣x+2，与l1不重合，符合题意．
2．若l3∥l2，可得k＝7，此时l3：y＝7x﹣14，与l2不重合，符合题意．
3．若l3经过交点C，三条直线共点，不能围成三角形，
由条件得：7＝k﹣2k，
解得k＝﹣7，符合题意．
故答案为：﹣7或﹣1或7．
9．三条直线2x+y＝4，x﹣y＝﹣1，3x﹣ay＝5相交于同一点，则a的值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：由方程组2x+y=4x−y=−1，解得：x=1y=2，
∴直线2x+y＝4，x﹣y＝﹣1的交点坐标为（1，2），
又∵三条直线2x+y＝4，x﹣y＝﹣1，3x﹣ay＝5相交于同一点，
∴点（1，2）在直线3x﹣ay＝5上，
∴3×1﹣a×2＝5，
解得：a＝﹣1，
∴a的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−12x+m的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（2，4）．
（1）m的值为 5 ，l2的解析式为y＝2x ；
（2）直线y=−12x+m上是否存在一点M，使得△AOM的面积是△BOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）一次函数y＝kx+2的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．
【答案】（1）5，y＝2x；
（2）M的坐标为（6，2）或（14，﹣2）．
（3）k的值为1或−12或2．
【解答】解：（1）正比例函数的图象l2与一次函数y=−12x+m图象l1交于点C（2，4），
∴−12×2+m=4，
解得m＝5；
设直线l2的解析式为y＝ax（a≠0），
将点C（2，4）代入得：2a＝4，解得a＝2，
则直线l2的解析式为y＝2x．
故答案为：5，y＝2x；
（2）在直线y=−12x+m上存在点M，使得△AOM的面积是△BOC面积的2倍；理由如下：
当y＝0时，则−12x+5＝0，
解得x＝10，
∴A（10，0），
当x＝0时，y=−12x+5＝5，
∴点B坐标为（0，5），
∴OB＝5，
∴S△BOC=12OB⋅xC=12×5×2=5，
∵S△AOM＝2S△BOC，
∴S△AOM=12OA⋅|yM|=12×10×|yM|=10，
解得|yM|＝2，
当y＝﹣2时，﹣2=−12x+5，
解得：x＝14，
∴点M为（14，﹣2）；
当y＝2时，2=−12x+5，
解得：x＝6，
∴点M为（6，2）；
综上所述，M的坐标为（6，2）或（14，﹣2）．
（3）由条件可知：
①当l3经过点C（2，4）时，则2k+2＝4，解得k＝1，
②当l3∥l1时，则k=−12，
③当l3∥l2时，则k＝2，
综上，k的值为1或−12或2．
11．甲、乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图．下列说法：①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③甲、乙两船航行0.6小时相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0≤t≤2.5．其中正确的说法的是 ①②④ ．
【答案】①②④．
【解答】解：乙船从B到C共用时3小时，走过路程为120千米，
因此乙船的速度是40千米/时，①正确；
乙船经过0.6小时走过0.6×40＝24千米，甲船0.6小时走过60﹣24＝36千米，所以甲船的速度是36÷0.6＝60千米/时，
开始甲船距B点60千米，因此经过1小时到达B点，②正确；
航行0.6小时后，甲乙距B点都为24千米，但是乙船在B点前，甲船在B点后，二者相距48千米，因此③错误；
开始后，甲乙两船之间的距离越来越小，甲船经过1小时到达B点，此时乙离B地40千米，
航行2.5小时后，甲离B地：60×1.5＝90千米，乙离B地：40×2.5＝100千米，此时两船相距10千米，当2.5＜t≤3时，甲乙的距离小于10，因此④正确；
综上所述，正确的说法有①②④，
故答案为：①②④．
12．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是 64 ℃．
【答案】64．
【解答】解：根据表格中的数据可知温度T随时间t的增加而上升，且每分钟上升3℃，
则关系式为：T＝3t+10，
当t＝18时，T＝3×18+10＝64（℃）．
故24分钟时的温度是64℃．
故答案为：64．
13．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是41cm，此时挂重物为 7 kg．
【答案】7．
【解答】解：∵秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，
∴设一次函数的解析式为y＝kx+2.5（k≠0），
当x＝1时，y＝8，
∴k+2.5＝8，
解得k＝5.5，
∴一次函数的解析式为y＝5.5x+2.5，
当y＝41时，5.5x+2.5＝41，
解得x＝7，
∴所挂物重7kg．
故答案为：7．
14．A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s（km）与骑车时间t（h）的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 3007 km．
【答案】3007．
【解答】解：甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为（0，100），
∴设甲的函数图象为s＝k1t，乙的函数图象为s＝k2t+100，
则30＝2k1，80＝k2+100，
解得k1＝15，k2＝﹣20，
∴甲的函数图象为s＝15t，乙的函数图象为s＝﹣20t+100，
联立s=15ts=−20t+100，
解得t=207s=3007，
故答案为：3007．
15．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：m/s）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系v＝﹣3t+60．而滑行距离s=120−3t2•t，则飞机在着陆后滑行 600 m停下．
【答案】600
【解答】解：当v＝0时，﹣3t+60＝0，
∴t＝20s，
∴s=120−3×202×20=600m，
故答案为：600．
16．“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车每日所需费用为y1元，租用乙公司的车每日所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
（2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同；
（3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设y1＝k1x+80，
把点（1，95）代入，可得：95＝k1+80，
解得k1＝15，
∴y1＝15x+80（x≥0）；
设y2＝k2x，
把（1，30）代入，可得
30＝k2，即k2＝30，
∴y2＝30x（x≥0）；
（2）当y1＝y2时，15x+80＝30x，
解得x=163；
答：当租车时间为163小时时，两种方案所需费用相同；
（3）由（2）知：当y1＝y2时，x=163；
当y1＞y2时，15x+80＞30x，
解得x＜163；
当y1＜y2时，15x+80＜30x，
解得x＞163；
∴当租车时间为163小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于163小时，选择方案二合算；当租车时间大于163小时，选择方案一合算．
17．我市为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，对居民用水采用价格调控手段以期待达到节水的目的，如图是某户居民某月用水量x吨与水费y元的函数图象（水费按月结算）．
（1）填空：我市居民用水价目表；
（2）当12＜x≤17时，写出水费y（元）与用水量x之间的关系式；
（3）小明家因家庭装修11月的水费共101.25元，求小明家11月份的用水量．
【答案】（1）4.65，8；
（2）y＝4.65x﹣13.8（12＜x≤17）；
（3）小明家11月份的用水量为21.5吨．
【解答】解：（1）∵（65.25﹣42）÷（17﹣12）＝4.65（元/吨），（97.25﹣65.25）÷（21﹣17）＝8（元/吨），
∴当12＜x≤17时，单价为4.65元/吨，当x＞17时，单价为8元/吨；
故答案为：4.65，8；
（2）当12＜x≤17时，y＝42+4.65（x﹣12）＝4.65x﹣13.8，
∴水费y（元）与用水量x之间的关系式为y＝4.65x﹣13.8（12＜x≤17）；
（3）由图象可知，小明家11月份的用水量超过17吨，
根据题意得：65.25+8（x﹣17）＝101.25，
解得x＝21.5，
∴小明家11月份的用水量为21.5吨．题型1 一次函数图象上点的坐标特征
题型2 待定系数法求一次函数解析式
题型3 待定系数法求正比例函数解析式
题型4 一次函数与一元一次方程
题型5 两条直线相交或平行问题
题型6 一次函数的应用
解｜题｜知｜识
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
解｜题｜知｜识
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
解｜题｜知｜识
步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式．
解｜题｜知｜识
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
解｜题｜知｜识
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
解｜题｜知｜识
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
1
﹣1
﹣3
﹣1
1
a
…
时间/分钟
0
5
10
15
20
25
温度/℃
10
25
40
55
70
85
x/kg
0
1
2
y/cm
2.5
8
13.5
每月水用量（吨）
单价（元）
0≤x≤12
3.5元/吨
12＜x≤17
4.65 元/吨
x＞17
8 元/吨