初中数学苏科版九年级上册2.6 正多边形与圆优秀学案

专题2.30 正多边形与圆（知识梳理与考点分类讲解）

【要点一】正多边形的概念
　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
构成正多边形的条件：　(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
【要点二】正多边形的相关概念
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是.

要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
【要点三】正多边形的性质
　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
　　　
    4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.

【要点四】正多边形的画法
1.用量角器等分圆
　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
　　　①正四、八边形.
　　     
　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
　　②正六、三、十二边形的作法.
　　      
　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.

【考点一】正多边形与圆➼➻求正多边形的中心角

【例1】如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G．

（1）试判断与的位置关系，并说明理由．（2）求的度数．

【答案】（1）,理由见分析；（2）

【分析】（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论．

（2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得．

（1）解：．

理由：如图，连接，

∵正方形内接于，

∴．

∵与相切于点D，

∴，即．

∴，

∴．

（2）解：∵四边形是正方形，

∴，，

∴．

∵点F是的中点，

∴，

∴．

∵，

∴．

【点拨】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质．

【举一返三】

【变式1】如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　）

A．     B．     C．      D．

【答案】D

【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．

解：∵五边形是的内接正五边形，

∴五边形的中心角的度数为，

故选D．

【点拨】本题考查圆内接正多边形的中心角．熟练掌握正多边形的中心角的计算公式：，是解题的关键．

【变式2】如图，点O是正六边形的中心，以为边构造正五边形，则           ．

【答案】/48度

【分析】连接，根据正六边形的性质得出是等边三角形，得到，再根据正五边形的内角和求出的度数，即可得到答案．

解：连接,

∵点O是正六边形的中心，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

故答案为：．

【点拨】此题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．

【考点二】正多边形与圆➼➻求正多边形的边数

【例2】【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．

【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．

【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．

【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6

【分析】类比探究：通过证明可得，则．

拓展应用：通过证明可得，则．

解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，

∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，

∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点

∴∠BOM=∠CON，

∴△BOM≌△CON，

∴．

拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，

∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，

∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点

∴∠BOM=∠CON，

∴△BOM≌△CON，

∴．

∵四边形面积为，

∴正六边形的面积为6．

【点拨】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．

【举一返三】

【变式1】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．

解：这个多边形的边数是，

故选：C．

【点拨】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．

【变式2】如图，内接于，，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数是        ．

【答案】5

【分析】如图所示，连接，由圆周角定理得到，则该多边形的中心角为，由此即可得到答案．

解：如图所示，连接，

∵，

∴，

∴，

∴该正多边形是正五边形，

故答案为：5．

【点拨】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角，难度不大．

【考点三】正多边形与圆➼➻证明★★求解

【例3】已知的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．

（1）如图1，若，求的长．

（2）如图2，若E为弦的中点，求证：．

（3）连结、、，若是的内接正n边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积．

【答案】（1）；（2）见分析；（3）

【分析】（1）先根据垂径定理和弧、圆心角的关系可求得，进而利用含30度角的直角三角形的性质求解即可；

（2）先根据垂径定理得到，再利用三角形的中位线性质得到，，证明得到即可证得结论；

（3）先求得、、所对的圆心角的度数，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而求得即可求解．

（1）解：如图1，∵，垂足为点F，，

∴，则，

∴，

又∵，

∴；

（2）解：如图2，连接，

∵为直径，，

∴，

又∵，

∴，，

∴，

∵、，

∴，

∴，

∴；

（3）解：如图，连接，

∵是的内接正n边形的一边，是的内接正边形的一边，

∴，

则，

解得：．

经检验：是原方程的根．

∴，，

∵，，

∴，

∴，则，

则，

．

【点拨】本题考查圆的综合，涉及垂径定理，圆周角定理，弧、圆心角的关系、含30度角的直角三角形的性质，三角形的中位线性质，全等三角形的判定与性质、正多边形的中心角等知识，熟练掌握圆的相关知识的运用是解答的关键．

【举一返三】

【变式1】如图，正六边形内接于，点P在上，点Q是的中点，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接，根据圆内接正六边形的性质和点Q是的中点，得到，，得到，根据圆周角定理即可得到的度数．

解：如图，连接，

∵正六边形内接于，Q是的中点，

∴，，

∴，

∴，

故选：B．

【点拨】此题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，熟练掌握正多边形和圆的知识是解题的关键．

【变式2】如图所示，在正五边形中，是的中点，点在线段上运动，连接，当的周长最小时，的度数为        ．

【答案】

【分析】根据对称的定义得出当点在同一条直线上时，的周长最小，由正五边形的性质可得，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质和三角形外角的定义进行计算即可得到答案．

解：如图，当点在同一条直线上时，的周长最小，

  ，

五边形是正五边形，

，，

，

是的中点，

是正五边形的一条对称轴，

，

，

，

故答案为：．

【点拨】本题主要考查了正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定义、对称的性质，熟练掌握正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定义、对称的性质，是解题的关键．

【考点四】尺规作图➼➻画正多边形

【例4】已知：射线

求作：，使得点在射线上，，．

作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接．

∵ 为⊙的直径，

∴__________．

∵，

∴等边三角形．

∴．

∵点，都在⊙上，

∴．（ ）（填推理的依据）

∴．

即为所求的三角形．

【答案】（1）见分析；（2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

【分析】（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可；

（2）证明：连接．由为⊙的直径，得到90．证明等边三角形，得到，由此得到即为所求的三角形．

解：（1）补全的图形如图所示：            

（2）证明：连接．

∵ 为⊙的直径，

∴90．

∵，

∴等边三角形．

∴．

∵点，都在⊙上，

∴．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据）

∴．

即为所求的三角形．

故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．

．

【点拨】此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键．

【举一返三】

【变式1】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：

甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；

乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；

对于甲、乙两人的作法，可判断（  ）

A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对

C．两人都不对 D．两人都对

【答案】D

【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等

解：甲：

∵BF是中垂线  

∴四边形OCDE是菱形   

∴△OCD, △OED都是等边三角形，

同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形   

∴∠BOC=∠EOF=60°

∴△OBC, △OEF也是等边三角形

∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°

∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形

乙：

∵AB=AO=BO=AF=OF

∴△OAB, △OAF都是等边三角形，

同理可得△OCD, △OED也是等边三角形   

∴∠BOC=∠EOF=60°

∴△OBC, △OEF也是等边三角形

∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°

∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形

故选D

【点拨】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等

【变式2】如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则      ．

【答案】12

【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题．

解：如图，连接OA、OC、OB．

∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边，

∴，，

∴，

由题意得：，

∴12，

故答案为：12．

【点拨】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键．