初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）22.1 比例线段第3课时教学设计

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）22.1 比例线段第3课时教学设计，共17页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质；(重点)
2.会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题；(难点)
3.了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.
若有含糖a千克的糖水b千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖e千克的糖水f千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变.可表示为eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq \f(a,b).
二、合作探究
探究点一：比例的性质
【类型一】 比例的基本性质
已知eq \f(a＋3b,2b)＝eq \f(7,2)，求eq \f(a,b)的值.
解：解法一：由比例的基本性质，得2(a＋3b)＝7×2b.∴a＝4b，∴eq \f(a,b)＝4.
解法二：由eq \f(a＋3b,2b)＝eq \f(7,2)，得eq \f(a＋3b,b)＝7，∴eq \f(a,b)＋eq \f(3b,b)＝eq \f(a,b)＋3＝7，∴eq \f(a,b)＝4.
方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.
【类型二】 合比性质
如图，已知eq \f(AB,DB)＝eq \f(AC,EC).
求证：(1)eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)；(2)eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AE).
解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1，便可证明(1)成立；先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形，即可证明(2)成立.
证明：(1)∵eq \f(AB,DB)＝eq \f(AC,EC)，∴eq \f(AB－DB,DB)＝eq \f(AC－EC,EC)，即eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)；
(2)∵eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)，∴eq \f(DB,AD)＝eq \f(EC,AE).∴eq \f(DB＋AD,AD)＝eq \f(EC＋AE,AE)(合比性质).∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)，即eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AE).
方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质是解决问题的关键.
【类型三】 等比性质
已知正数a、b、c，且eq \f(a,b＋c)＝eq \f(b,c＋a)＝eq \f(c,a＋b)＝k，则下列四个点中，在正比例函数y＝kx图象上的点是( )
A.(1，eq \f(1,2)) B.(1，2) C.(1，－eq \f(1,2)) D.(1，－1)
解析：求出k的值是关键.∵a、b、c为正数，∴a＋b＋c≠0.由等比性质，得eq \f(a＋b＋c,2（a＋b＋c）)＝k，即k＝eq \f(1,2)，∴y＝eq \f(1,2)x.当x＝1时，y＝eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,2)，∴点(1，eq \f(1,2))在正比例函数y＝kx的图象上.故选A.
方法总结：当已知条件中有连等式时，可考虑运用等比性质，前提条件是分母之和不为0.在解题时需注意这一点.
探究点二：黄金分割
【类型一】 利用黄金分割进行计算
如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，BC＝mAB，求m的值.
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(5)－1,2).又∵BC＝mAB，∴AC＝(1－m)AB，∴eq \f(（1－m）AB,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2)，即1－m＝eq \f(\r(5)－1,2)，∴m＝eq \f(3－\r(5),2).
方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC，BC，AB之间的表达式，再利用BC＝mAB变形，求出m的值.
【类型二】 黄金分割的实际应用
如图所示，乐器上有一根弦AB，两个端点A、B固定在乐器的面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，若DC的长度为d，试求这根弦AB的长度.
解：根据黄金分割的定义，可知eq \f(AC,AB)＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(\r(,5)－1,2)，∴AC＝BD＝eq \f(\r(,5)－1,2)AB，∴AD＝AB－BD＝AB－eq \f(\r(,5)－1,2)AB.
∴CD＝AC－AD＝eq \f(\r(,5)－1,2)AB－(AB－eq \f(\r(,5)－1,2)AB)＝(eq \r(,5)－2)AB＝d.
∴AB＝eq \f(1,\r(,5)－2)d＝(eq \r(,5)＋2)d.
【板书设计】
eq \a\vs4\al(比例,的性,质与,黄金,分割)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(比例的性质\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(基本性质,合比性质,等比性质)),黄金分割\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(定义,黄金分割点：一条线段有两个黄金,分割点,黄金比：较长线段∶原线段＝,\f(\r(,5)－1,2)∶1))))