初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）25.1 比例线段优秀第1课时综合训练题

这是一份初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）25.1 比例线段优秀第1课时综合训练题，文件包含沪科版九年级数学上册_第二十一章_第2课时_二次函数yax²+bx+c的图象和性质第2课时_讲义与练习_教师版docx、沪科版九年级数学上册_第二十一章_第2课时_二次函数yax²+bx+c的图象和性质第2课时_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样判断四条线段是否成比例？线段成比例能为我们带来哪些可直接使用的结论？
一、学习目标
1. 理解两条线段的比与成比例线段的概念，能计算线段的比并判断四条线段是否成比例
2. 掌握比例的基本性质，能利用它求比例式中的未知数，理解比例中项的意义
3. 理解黄金分割的定义，能求线段上黄金分割点的位置，认识黄金比 (5−1)2 ≈ 0.618 及其应用价值
二、重点
• 成比例线段的概念与判断方法
• 比例的基本性质 ad = bc 与比例中项
• 黄金分割与黄金比
三、难点
• 理解成比例线段中四条线段的对应顺序；由比例中项条件列一元二次方程求黄金分割点并正确舍根
学习支架
求比例中项（黄金分割点位置）的步骤
1. 设所求线段长为 x
2. 由比例中项（或黄金分割）条件列出方程
3. 解方程并舍去不符合“长度为正”的根
4. 作答并检验（如检验黄金比是否约为 0.618）
黄金比
四、知识要点
1. 两条线段的比
要研究相似图形，先要掌握“线段的比”：选用同一度量单位，线段 a 和 b 的长度分别为 m 和 n，我们把 m 与 n 的比叫作线段 a 与 b 的比，记作
a:b = m:n，或 ab = mn。理解要点：1. 两条线段的比必须选用同一度量单位（都换算成 m 或都换算成 cm），否则不能直接相比；2. 比不带单位，它只表示两条线段长度之间的倍数关系；3. 比的顺序不能颠倒：a:b 与 b:a 互为倒数，意义不同。实际应用：比例尺 = 图上距离 : 实际距离。已知实际距离和比例尺可以求图上距离，反过来也可以由图上距离求实际距离。
2. 成比例线段
在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即
ab = cd，那么称这四条线段叫作成比例线段（prprtinal segments），此时也称这四条线段成比例。判断方法：1. 先求 a:b 与 c:d 两个比的值；2. 比值相等，则成比例，否则不成比例；3. 注意顺序：“a，b，c，d 成比例”指 a:b = c:d，四条线段的位置顺序不能随意交换。例如教材中 AE:AH = 0.8:0.6 = 4:3，OP:OG = 1.6:1.2 = 4:3，两个比值相等，所以线段 AE，AH，OP，OG 是成比例线段。
3. 比例的基本性质与比例中项
比例的基本性质：如果 ab = cd，那么 ad = bc（等式两边同乘 bd 即可得到）；反过来，如果 ad = bc，且 b≠0，d≠0，那么 ab = cd。注意：除法中分母不能为 0，所以由 ad = bc 推出比例式时，必须保证 b≠0 且 d≠0。比例中项：特别地，如果 ab = bc，即 b² = ac，就把 b 叫作 a，c 的比例中项。在几何问题中，线段长度都是正数，所以线段 a，c 的比例中项长为 b = ac。
4. 黄金分割与黄金比
在线段 AB 上有一点 C，如果点 C 把 AB 分成的两条线段 AC 和 BC 满足
ACBC = ABAC（等价于 AC² = AB·BC，即 AC 是 AB 与 BC 的比例中项），那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，ACAB 叫作黄金比。由 AC² = AB·BC 可以解出
ACAB = (5−1)2 ≈ 0.618，这就是黄金比的精确值。注意：1. 每条线段上的黄金分割点都有两个（距一端约 0.618 倍处和距另一端约 0.618 倍处，即距一端约 0.382 倍处）；2. 黄金分割具有艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，在建筑、艺术、自然界中应用广泛，如东方明珠塔、五角星、人体美学与优选法“0.618法”等。
五、典型例题
【例1】
教材图 25.1-1(2) 中，已知 AE = 0.8 m，AH = 0.6 m，OP = 1.6 m，OG = 1.2 m。求 AE:AH 与 OP:OG，并判断线段 AE，AH，OP，OG 是否成比例，说明理由。
图 25.1-1(2) 中相关线段的长度
【解答】求比：AE:AH = 0.8:0.6 = 8:6 = 4:3
OP:OG = 1.6:1.2 = 16:12 = 4:3
比较：两个比值都等于 43，即
AEAH = OPOG。结论：线段 AE，AH，OP，OG 是成比例线段。理由：按成比例线段的定义，四条线段中 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比（这里 AE 对应 AH，OP 对应 OG），所以这四条线段成比例。检验：AE、AH 同用 m 作单位，OP、OG 同用 m 作单位，符合“同一度量单位”的前提。
【点拨】求线段的比之前，先确认两条线段是否选用同一度量单位；判断成比例时，四条线段要按顺序两两对应，不能随便配对。
【例2】
(1) 已知 ab = cd（b≠0，d≠0），说明 ad = bc；(2) 已知线段 a = 3 cm，b = 12 cm，求 a，b 的比例中项。
【解答】(1) 由 ab = cd，等式两边同乘 bd（bd≠0），得
(ab)·bd = (cd)·bd，即 ad = bc。这就是比例的基本性质。(2) 设 a，b 的比例中项线段长为 x，则 x 应满足
x² = a·b = 3×12 = 36。所以 x = ±6。因为线段长度为正数，舍去 −6，得 x = 6 cm。答：a，b 的比例中项是 6 cm。检验：6² = 36 = 3×12，即 36 = 612，符合比例中项的定义。
【点拨】比例中项的关键条件是 b² = ac；在几何问题中线段长为正，负根必须舍去。得到结果后可以用 ab = bc 回代检验。
【例3】
如图，点 C 把线段 AB 黄金分割（AC>BC），且 AB = 2 cm。求 AC 的长。
线段 AB 的黄金分割示意图（AC>BC）
【解答】设 AC = x cm，则 BC = (2 − x) cm。由黄金分割的定义 ACBC = ABAC，即 AC² = AB·BC，得
x² = 2(2 − x)。整理，得 x² + 2x − 4 = 0。用公式法求解：x = (−2±22+4×4)2 = (−2±20)2 = (−2±25)2 = −1 ± 5。线段长度为正数，所以
AC = −1 + 5 ≈ 1.24（cm）。检验：ACAB = (5−1)2 ≈ 0.618，符合黄金比；BC ≈ 2 − 1.24 = 0.76（cm），ACBC ≈ 1.63，ABAC ≈ 1.61，两者近似相等（误差来自取近似值）。
【点拨】黄金分割条件 ACBC = ABAC 与 AC² = AB·BC 等价，本质是比例中项；列出方程后按“长度为正”舍去负根，最后用黄金比 0.618 检验。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 线段 a 的长为 4.5 cm，线段 b 的长为 6 cm，则 a 与 b 的比值是（________）。
2. 线段 a 的长为 12 cm，线段 b 的长为 20 cm，则 a 与 b 的最简整数比是（________）∶（________）。
3. 在一幅比例尺为 1:200000 的地图上，量得 A、B 两地的图上距离为 3.5 cm，则 A、B 两地的实际距离是（________）km。
4. 线段 a = 2 cm，b = 3 cm，c = 4 cm，d = 6 cm 是成比例线段。（ ）
5. 如果 ad = bc，那么 ab = cd 一定成立。（ ）
6. 已知线段 a = 2 cm，b = 8 cm，则 a，b 的比例中项是（________）cm。
7. 如果 x6 = 43，那么 x =（________）。
8. 已知 a:b = 3:4，且 b = 12，那么 a =（________）。
9. 每条线段上的黄金分割点都有两个。（ ）
10. 点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC>BC），AB = 10 cm，则 AC ≈（________）cm（结果保留一位小数）。
★★ 能力提升
11. 下列四组线段中，成比例的是（________）。
A. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B. 2 cm，3 cm，4 cm，6 cm
C. 2 cm，4 cm，3 cm，5 cm
D. 1 cm，3 cm，4 cm，9 cm
12. 若点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC>BC），AB = 4 cm，则 AC 的长约为（________）。
A. 1.5 cm B. 2.0 cm
C. 2.5 cm D. 3.0 cm
13. 已知 a5 = b7，且 a + b = 36，求 a，b 的值。
14. 一张长方形照片的长为 12 cm，宽为 9 cm。按同样比例放大后，宽变为 13.5 cm，新照片的长是多少厘米？
★★★ 拓展延伸
15. 上海东方明珠塔的高为 468 m，塔上装有下球体（距地面 68~118 m）、中球体（250~295 m）和上球体（335~349 m）。(1) 若塔被某一点黄金分割，求该点距地面的高度（结果保留整数）；(2) 这个黄金分割点位于哪个球体内？请说明理由。
16. 如图，点 C 在线段 AB 上，且 AC 是 AB 与 BC 的比例中项。若 AB = 10 cm，求 AC 的长。（图中 AC>BC）
线段 AB 上的比例中项点 C（示意）
参 考 答 案
第1题：0.75
【解析】两条线段同用 cm 作单位，可以直接求比：4.5÷6 = 0.75，即 a:b = 3:4。[错因:方法]
第2题：3:5
【解析】12:20 的前项和后项同时除以 4，得 3:5，这就是最简整数比。[错因:计算]
第3题：7 km
【解析】比例尺 = 图上距离:实际距离，实际距离 = 3.5×200000 = 700000 cm = 7000 m = 7 km。[错因:单位]
第4题：√
【解析】a:b = 2:3，c:d = 4:6 = 2:3，两个比值相等，所以这四条线段成比例。[错因:方法]
第5题：×
【解析】不一定成立。比例的基本性质反过来使用时必须附加条件 b≠0 且 d≠0。例如 a = 0，b = 0，c = 3，d = 5 时，ad = 0 = bc，但 ab 无意义，不能说 ab = cd。[错因:理解]
第6题：4 cm
【解析】设比例中项为 x，则 x² = a·b = 2×8 = 16，x = ±4。线段长度为正数，取 x = 4。[错因:计算]
第7题：8
【解析】由比例的基本性质，3x = 6×4 = 24，所以 x = 8。[错因:计算]
第8题：9
【解析】a:b = 3:4 即 a12 = 34，由比例的基本性质得 4a = 36，a = 9。[错因:计算]
第9题：√
【解析】这是教材结论：在线段 AB 上，距 A 端约 0.618 倍处和距 A 端约 0.382 倍处（即距 B 端约 0.618 倍处）各有一个黄金分割点。[错因:知识]
第10题：6.2 cm
【解析】黄金比 ACAB = (5−1)2 ≈ 0.618，所以 AC ≈ 10×0.618 = 6.18 ≈ 6.2 cm。[错因:理解]
第11题：B
【解析】A：1:2 ≠ 3:4；B：2:3 = 4:6 = 2:3，成比例；C：2:4 = 1:2 ≠ 3:5；D：1:3 ≠ 4:9。[错因:方法]
第12题：C
【解析】AC = AB×(5−1)2 ≈ 4×0.618 = 2.472 ≈ 2.5 cm。[错因:计算]
第13题：a=15，b=21
【解析】设 a = 5k，b = 7k（k≠0），则 5k + 7k = 36，得 12k = 36，k = 3。所以 a = 15，b = 21。检验：155 = 3，217 = 3，比值相等，且 15 + 21 = 36。[错因:方法]
第14题：18 cm
【解析】放大前后照片的长、宽对应成比例：12:9 = 新长:13.5，即 9×新长 = 12×13.5，新长 = 18 cm。[错因:方法]
第15题：约 289 m；位于中球体内
【解析】(1) 黄金比约为 0.618，黄金分割点距地面的高度为 468×0.618 ≈ 289.2 ≈ 289 m。(2) 289 m 落在 250~295 m 之间，所以位于中球体内。理由：下球体区间为 68~118 m，中球体区间为 250~295 m，上球体区间为 335~349 m，289.2 ∈ [250, 295]，故该点位于中球体。补充：每条线段上有两个黄金分割点，另一个点距地面约 468×0.382 ≈ 178.8 m，不在三个球体区间内。本解用到的数学思想：建模思想（把塔高抽象为线段、球体区间抽象为线段上的区间）与估算。[错因:理解]
第16题：AC=55−5（≈6.18 cm）
【解析】设 AC = x cm，则 BC = (10 − x) cm。AC 是 AB 与 BC 的比例中项，得 AC² = AB·BC，即 x² = 10(10 − x)，整理得 x² + 10x − 100 = 0。用公式法：x = (−10±102+4×100)2 = (−10±105)2 = −5 ± 55。线段长度为正数，取 x = −5 + 55 ≈ 6.18（cm）。检验：ACAB ≈ 0.618，BC ≈ 3.82 cm，ACBC ≈ 1.62，ABAC ≈ 1.62，符合黄金分割关系。本解用到的数学思想：方程思想与转化思想（把几何条件转化为一元二次方程）。[错因:方法]线段
长度(m)
AB
2.8
AD
2
AE
0.8
AH
0.6
NB
0.6
OP
1.6
OG
1.2