初中数学23.1 平均数与加权平均数精品第1课时课时作业

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本课核心问题
面对同一组数据，为什么不同的人可能算出不同的“平均数”？怎样计算才能真实合理地反映一组数据的平均水平？
一、学习目标
1. 理解算术平均数的意义，能计算一组数据的算术平均数并解释其含义
2. 理解频数对平均数的影响，会用频数加权和基准数两种方法计算平均数
3. 理解加权平均数的意义，能按给定权重计算加权平均数并说明权的作用
4. 会用分布式方法求分组数据的整体平均数，会用多次测量的平均数估计实际量
二、重点
• 算术平均数的意义与计算
• 加权平均数的意义与计算
• 频数与权对平均数的影响
三、难点
• 理解“权”的含义，正确区分算术平均数与加权平均数，并根据实际问题合理选用
学习支架
小麦品种试验田产量表（教材观察与思考）
品种A、B各块试验田产量（教材图23.1-1数据）
20个鸭蛋质量频数表（教材做一做）
加权平均数计算步骤
1. 确定每个数据的权w1，w2，…，wn（数量、人数、百分比或比例）
2. 求“数据×权”各项的乘积并求和
3. 求权的和w1+w2+…+wn
4. 加权平均数=第2步结果÷第3步结果
5. 结合情境解释结果的意义
100名九年级男生体重分组统计（教材例2）
四、知识要点
1. 算术平均数的意义与计算
在对数据进行收集、整理和描述后，还需要对数据进行分析。统计学中常用平均数作为一组数据的代表值来反映这组数据的平均水平。定义：n个数据x1，x2，…，xn的算术平均数为 x拔=(x1+x2+…+xn)n，即这n个数据的和与n的比值，读作“x拔”。例如，某农科院在面积相同的5块试验田上试种品种A小麦，产量分别为95、93、82、90、100 kg，则平均产量为(95+93+82+90+100)5=92(kg)；4块试验田上品种B的平均产量为(94+100+105+85)4=96(kg)。由于同一品种在不同试验田上的产量有差异，要比较两个品种哪个产量高，通常情况下是比较它们的平均产量，因此就试验结果来看，品种B更适合当地种植。关键结论：平均数是一组数据的代表值，它反映了数据的“一般水平”，体现了数据的“集中趋势”。
2. 频数对平均数的影响与两种巧算
当一组数据中某些数据重复出现时，不能把不同的取值直接相加再除以取值个数。先整理成频数表：每个取值乘以其频数再求和，再除以数据总个数。例如20个鸭蛋的质量（单位：g）为：80、85、70、75、85、85、80、80、75、85、85、80、75、85、80、75、85、70、80、75。整理得：70 g出现2次、75 g出现5次、80 g出现6次、85 g出现7次，则平均质量=(70×2+75×5+80×6+85×7)20=1590÷20=79.5(g)。若像小明那样直接算(70+75+80+85)4=77.5(g)，就错了。关键结论：由于70、75、80、85出现的频数不同，它们对平均数的影响也不同，频数对平均数起着权衡轻重的作用。巧算一（频数法）：数据重复出现时，用“取值×频数”加权求和再除以总个数。巧算二（基准数法）：当各数据都接近同一个数a时，先把各数据同时减去a，求出新数据的平均数x′，则原平均数 x拔=a+x′。例如上述鸭蛋质量都接近80，先同时减去80，新数据（0、5、-10、-5、5、5、0、0、-5、5、5、0、-5、5、0、-5、5、-10、0、-5）的平均数为(−10)20=-0.5，所以 x拔=80+(-0.5)=79.5(g)。两种方法结果一致。
3. 平均数的重要性质
性质：对于一组数据x1，x2，…，xn，设其平均数为x拔，则(x1-x拔)+(x2-x拔)+…+(xn-x拔)=0，即各数据与平均数的差的和等于0。理解：数据中有的大于平均数、有的小于平均数，它们与平均数的偏差相互抵消，所以取平均数可以抵消各数据之间的差异。推论：n个数据的和等于平均数乘以数据个数，即x1+x2+…+xn=n·x拔。因此，已知一组数据的平均数和数据个数，就能求出这组数据的和。易错提醒：性质说的是“差的和为0”，不是“差的平方和为0”。
4. 加权平均数
实际问题中，一组数据的各个数据在总体中的“重要程度”常常不同。例如小红三次购买西红柿，单价分别为6、5、4元/千克，购买数量分别为1、2、3千克。她购买不同单价的西红柿的数量不同，所以平均价格不是三个单价的平均数，而是总花费金额与购买总量的比值：(6×1+5×2+4×3)(1+2+3)=28÷6≈4.67(元/千克)；小惠每次买2千克，平均价格为(6×2+5×2+4×2)6=30÷6=5(元/千克)。从平均价格看，小红买的西红柿要便宜些。定义：已知n个数x1，x2，…，xn，若w1，w2，…，wn为一组正数，则把(x1w1+x2w2+…+xnwn)(w1+w2+…+wn)叫作这n个数的加权平均数，w1，w2，…，wn分别叫作这n个数的权重，简称权。关键结论：一组数据的加权平均数，不仅与组中的每个数据有关，还跟每个数据的“重要程度”（即权重）有关。权可以是购买数量、人数、百分比或比例等。按算术平均数排名次，是把各项成绩同等看待；而按加权平均数排名次，是对每项成绩分配不同的权，体现每项成绩的重要程度不同。当各数据的重要程度不同时，一般采用加权平均数作为一组数据的代表值。算术平均数可以看作各权都相等的加权平均数。
5. 分布式计算方法
当数据已经按小组（分组）给出各组平均数和各组人数时，全体数据的平均数可以借助已算出的各组平均数加权求出：整体平均数=各组平均数按其人数加权的平均数，权重为各组人数所占的比例（人数÷总人数）。例如，某校从全体九年级男生中任意选出100人，分5组测量体重（单位：kg）：第1组15人平均48 kg，第2组18人平均53 kg，第3组20人平均56 kg，第4组25人平均60 kg，第5组22人平均63 kg。则这100名男生的平均体重=(15×48+18×53+20×56+25×60+22×63)100=5680÷100=56.8(kg)。关键结论：这种利用各小组平均数和人数计算整体平均数的方法称为分布式计算方法，其结果为各小组平均数的加权平均数，权重为各小组人数所占的比例。注意：不能把各小组平均数相加再除以小组数。
6. 用多次测量的平均数估计实际量
在实际生活中，我们经常要对某个量进行测量（或估测），而测量（或估测）往往会产生误差。为了得到比较准确的结果，可以进行多次测量（或估测），用这些测量（或估测）值的平均数作为这个量的估计值。例如，用8辆轿车上的里程表测量同一段公路的长度，测量结果（单位：km）为：100、102、98、102、97、102、100、98，则这段公路长度的估计值为这些数据的平均数：(100+102+98+102+97+102+100+98)8=799÷8=99.875≈99.9(km)。关键结论：多次测量取平均，各次测量误差相互抵消一部分，估计值更接近真实值。教材“做一做”中目测黑板宽度的活动正是这一思想的应用：先分组计算各组估测数据的平均数，再汇总各组人数与平均数求全班估测数据的平均数。
五、典型例题
【例1】
某班一次数学测验，10名同学的成绩（分）为：85、88、90、92、85、90、88、90、85、92。(1)把成绩整理成频数表；(2)求这10名同学的平均成绩。
【例2】
学校举办校园歌手大赛，评委从演唱、台风、创作三方面打分，满分均为10分。小王的得分分别为9.6分、8.0分、7.0分，小李的得分分别为8.0分、8.5分、9.0分。(1)按三项得分的算术平均数排名，谁的名次在前？(2)若按演唱60%、台风30%、创作10%计算加权平均分，谁的名次在前？
【例3】
学校组织九年级同学体检，随机抽取100名同学测量身高，按班级分成4组统计：甲组20人平均身高160 cm，乙组30人平均身高165 cm，丙组25人平均身高162 cm，丁组25人平均身高168 cm。求这100名同学的平均身高。
同 步 练 习
我来整理频数表
★ 基础巩固
1. 一组数据5、7、9、11、13的平均数是（________）。
2. 若20个数据的平均数为12.5，则这20个数据的和为（________）。
3. 某兴趣小组10名同学一周内参加体育锻炼的次数分别为：3、4、5、5、6、6、6、7、7、8。(1)把数据整理成频数表（填写下表）；(2)求这10名同学一周内平均锻炼次数。
锻炼次数频数表
4. 某班学习小组8人的数学小测成绩为：82分3人、88分2人、90分3人，全组的平均分是（________）分。
5. 平均数是这组数据的代表值，任何一个数据的改变都会影响平均数的大小。（ ）
6. 若一组数据的平均数为a，则这组数据中各个数据与a的差的平方和为0。（ ）
7. 某同学期末综合成绩按“平时成绩:期中成绩:期末成绩=2:3:5”计算，他平时得90分、期中得88分、期末得92分，综合成绩为（________）分。
8. 某次测验，10名同学的成绩为：91、88、94、90、92、89、93、90、91、92。这些成绩都接近90，请用“各数据同时减去90”的方法求平均成绩。
★★ 能力提升
9. 下列说法正确的是（________）。
A. 一组数据的平均数一定是这组数据中的一个数据
B. 一组数据的平均数只有一个
C. 加权平均数中的权重只能用百分数表示
D. 平均数能准确表示这组数据中每个数据的大小
10. 某公司招聘，笔试和面试的满分分别为100分和50分，规定按笔试占60%、面试占40%计算总评成绩。下列计算总评成绩的方法正确的是（________）。
A. 总评=笔试得分×60%+面试得分×40%
B. 总评=笔试得分×60%+面试得分×2×40%
C. 总评=(笔试得分+面试得分)÷2
D. 总评=笔试得分×60%+面试得分×80%
11. 某班50名同学的身高情况如下表，求全班同学的平均身高。
某班50名同学身高统计表
12. 植树节，一班30人平均每人植树5棵，二班40人平均每人植树6棵，三班30人平均每人植树5棵。求全年级平均每人植树多少棵。
13. 小华三次买苹果，价格分别为2元/千克、3元/千克、4元/千克，每次买2千克；小丽三次每次都花12元买苹果。从平均价格看，（________）。
A. 小华买得更便宜 B. 小丽买得更便宜
C. 两人一样便宜 D. 条件不足，无法比较
★★★ 拓展延伸
14. 某同学期末总评按“平时40%、期中20%、期末40%”计算。他平时得90分，期中得88分。(1)若期末得92分，他的总评成绩是多少？(2)若他想让总评成绩不低于90分，期末至少应得多少分？
15. 某次数学竞赛，甲组12人平均分82分，乙组8人平均分88分。(1)两组共20人的平均分是多少？(2)若要使两组总平均分达到85分，乙组平均分不变，甲组平均分应是多少？
16. 某小区抽查60户居民的月用电量，分组情况如下表。用各组组中值作为代表值（如第一组的组中值为(100+150)2=125），估算这60户居民的平均月用电量（结果保留一位小数）。
60户居民月用电量分组统计表
17. 小明用同一把刻度尺多次测量一支铅笔的长度，8次测量结果（单位：cm）为：18.2、18.1、18.3、18.2、18.0、18.2、18.1、18.3。(1)求这8次测量结果的平均数（结果保留一位小数）；(2)把(1)的结果作为这支铅笔长度的估计值，你同意吗？请说明理由。
品种
各块试验田产量/kg
块数
品种A
95、93、82、90、100
5
品种B
94、100、105、85
4
质量/g
70
75
80
85
合计
频数
2
5
6
7
20
小组编号
1
2
3
4
5
人数
15
18
20
25
22
平均体重/kg
48
53
56
60
63
次数/次
3
4
5
6
7
8
合计
次数/次
3
4
5
6
7
8
合计
身高/cm
155
160
165
170
175
人数
6
12
18
10
4
月用电量/度
(100,150]
(150,200]
(200,250]
(250,300]
户数
10
18
20
12