初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）23.4 数据的方差精品第4课时当堂检测题

这是一份初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）23.4 数据的方差精品第4课时当堂检测题，文件包含冀教版九年级数学上册_第二十三章_第4课时_数据的方差_讲义与练习_教师版docx、冀教版九年级数学上册_第二十三章_第4课时_数据的方差_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
材料复核提示
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本课核心问题
怎样用一个数来刻画一组数据的波动大小？方差能帮助我们怎样比较和决策？
一、学习目标
1. 理解方差的概念，掌握方差的计算公式，能正确计算一组数据的方差
2. 理解方差的意义，能通过比较方差的大小判断两组数据波动的大小（稳定性）
3. 能综合运用平均数和方差对路线选择、产品质量等实际问题进行分析和决策
二、重点
• 方差的计算方法：先求平均数，再求各偏差的平方和，最后除以数据个数
• 方差的意义：方差越小，数据波动越小，越稳定
三、难点
• 理解“偏差之和为0”决定了不能用偏差和刻画波动，必须求偏差平方的平均数；以及怎样利用方差解决实际问题
学习支架
方差的计算公式
甲、乙射击成绩（单位：环）
A、B两条路线所用时间（单位：min）
A、B路线所用时间折线统计图（据上表数据绘制）
四、知识要点
1. 数据的波动（离散程度）
在分析一组数据的特征时，平均数、中位数、众数刻画的是数据的集中趋势，但两组数据的集中趋势相同，波动情况也可能差别很大。例如甲、乙两名射击选手的成绩，平均数和中位数都是7环，但甲的成绩在4环到10环之间大幅摆动，乙的成绩集中在6环到8环之间，两人成绩的波动明显不同。因此，刻画一组数据的特征，除了集中趋势，还必须关注这组数据的离散程度（波动程度）。怎样用数量来刻画波动大小，就是本课要解决的问题。
2. 偏差与离差平方和
设一组数据x₁，x₂，…，xₙ的平均数为x̄，那么每个数据与平均数的差 xᵢ−x̄ 叫作这个数据的偏差。我们知道，所有数据与其平均数的偏差之和为0，即 (x₁−x̄)+(x₂−x̄)+…+(xₙ−x̄)=0。偏差正负抵消，所以直接用偏差和无法刻画波动的大小。教材给出了两种修正思路：把偏差的绝对值相加，或者把偏差的平方相加。把偏差平方后相加，得到这组数据的离差平方和：(x₁−x̄)²+(x₂−x̄)²+…+(xₙ−x̄)²。偏差的平方都是非负数，不再互相抵消。
3. 方差的定义与计算
两组数据的个数可能不同（如甲射击8次、乙射击10次），为了消除数据个数不同对结果的影响，不能直接比较离差平方和，而要把离差平方和除以数据个数n，得到一个偏差平方的平均数。这个偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用s²表示：s² = [(x₁−x̄)2+(x₂−x̄)2+…+(xₙ−x̄)2]n
计算方差的一般步骤：①求平均数x̄；②求每个数据的偏差xᵢ−x̄；③求各偏差的平方并求和；④把偏差平方和除以数据个数n。
4. 方差的意义
由方差的意义可以看出：当一组数据分布比较分散时，方差较大；当一组数据分布比较集中时，方差较小。因此，方差的大小反映了这组数据的离散程度（或波动程度）。换句话说：方差越小，数据的波动越小，越稳定；方差越大，数据的波动越大，越不稳定。当一组数据全部相等时，方差为0。注意两点：① 比较两组数据的波动大小，必须比较方差，而不是离差平方和（数据个数不同时离差平方和不可比）；② 平均数相同或接近时，用方差比较稳定性才最有意义，平均数不同时应把两者综合起来看。
5. 集中趋势与离散程度的综合分析
在统计分析中，往往需要对数据的集中趋势和数据的离散程度进行综合分析：平均数（或中位数、众数）回答“平均水平怎么样”，方差回答“波动大不大”。在实际决策中，两者要结合情境一起使用。例如选择乘车路线：上班可用时间很短时，要选择“超过时限的记录少”的路线；可用时间充裕时，更看重波动小、每天都能按时到达的路线。先算平均数看平均水平，再算方差看稳定性，最后回到原始数据核对极端情况，这就是完整的统计决策流程。
五、典型例题
【例1】
甲、乙两名业余射击选手参加射击训练，甲射击8次、乙射击10次，成绩如下（单位：环）：甲：4，5，6，7，7，8，9，10
乙：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9
（1）求甲、乙射击成绩的平均数；（2）求甲、乙射击成绩的方差；（3）判断谁的射击成绩更稳定，并说明理由。
【例2】
张老师乘公交车上班，从家到学校有A、B两条路线可选择。第一周（5个工作日）选择A路线，第二周（5个工作日）选择B路线，每天两趟，记录所用时间如下表：序号：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
A路线所用时间/min：35，52，35，36，54，38，41，34，55，40
B路线所用时间/min：45，49，44，45，47，46，50，48，50，46
（1）分别计算A、B两条路线所用时间的平均数和方差；（2）如果某天上班可用时间只有40 min，应选择走哪条路线？（3）如果某天上班可用时间为50 min，又应选择走哪条路线？
【例3】
（1）求数据 10，12，14，16 的方差；（2）若把这组数据的每个数都加上100，得到 110，112，114，116，求新数据的方差；（3）若再把（2）中的每个数都乘2，得到 220，224，228，232，求新数据的方差；（4）由此你能发现数据的变化对方差有什么影响？
同 步 练 习
填写甲、乙每次射击成绩与平均成绩的偏差（单位：环；甲只射击8次，第9、10次填“—”）
★ 基础巩固
1. 一组数据的方差是各个数据与其平均数的偏差的平方的（________），它用来刻画这组数据的（________）程度。
2. 数据 2，4，6，8 的方差是（________）。
3. 数据 6，6，6，6，6 的方差是（________），这组数据（________）波动。（第二空填“有”或“没有”）
4. 一组数据的方差一定是非负数（不小于0）。（ ）
5. 两组数据的个数不同时，离差平方和大的那组数据波动一定大。（ ）
6. 方差越小，说明这组数据的波动越小，越稳定。（ ）
7. 求数据 3，5，7，9，11 的平均数和方差。
8. 求数据 2，2，3，4，4 的平均数和方差。
★★ 能力提升
9. 甲、乙两组同学数学成绩的平均分相同，甲组成绩的方差是2.4，乙组成绩的方差是1.6。下列说法正确的是（________）。
A. 甲组成绩的波动小
B. 乙组成绩的波动大
C. 乙组成绩的波动小、更稳定
D. 两组成绩的波动情况无法比较
10. 数据组A：5，5，5，5；数据组B：1，3，5，7。下列说法正确的是（________）。
A. 两组数据的方差相等
B. A组数据的方差为0，B组数据的方差为6，B组数据的波动大
C. A组数据的方差为6，B组数据的方差为0
D. 两组数据的平均数不同，无法比较波动大小
11. 小明和小华5次数学测验的成绩如下：小明：85，90，88，92，85
小华：88，89，87，89，87
（1）分别计算两人的平均成绩和方差；（2）谁的成绩更稳定？请说明理由。
小明和小华5次数学测验成绩（单位：分）
12. 甲、乙两名射箭选手各射5箭，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，9，8，8
乙：7，7，9，9，8
（1）两人的平均成绩各是多少？（2）谁的发挥更稳定？（3）如果只能派一人参加团体赛（团体赛更看重整体稳定发挥），应派谁？
★★★ 拓展延伸
13. （1）求数据 10，12，14，16 的方差；（2）若把这组数据的每个数都加上100，得到 110，112，114，116，新数据的方差是多少？（3）若再把（2）中的每个数都乘2，得到 220，224，228，232，方差又是多少？（4）由此你能发现数据的变化对方差有什么影响？
14. 某机床厂检验两条生产线加工的零件直径（单位：mm），标准直径为10 mm，各随机抽取5个零件测量，结果如下：甲线：10.1，10.0，9.9，10.0，10.0
乙线：10.0，10.2，9.8，10.0，10.0
（1）两条生产线的平均直径各是多少？（2）哪条生产线加工的零件更稳定？（3）若要求零件直径与标准直径的偏差不超过0.2 mm，两条生产线的产品是否都合格？
两条生产线零件直径测量结果（单位：mm）
15. 两名跳远运动员平时的训练成绩（单位：m）的平均成绩都是5.80 m，甲的成绩方差为0.09，乙的成绩方差为0.04。学校要派一名选手参加市运动会。（1）请从统计的角度为教练提出建议，并说明理由；（2）如果教练了解到乙在最近一次比赛中跳出了6.10 m的个人最好成绩，你的建议会改变吗？请说明你的想法。
选手
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
第9次
第10次
甲
4
5
6
7
7
8
9
10
—
—
乙
5
6
6
7
7
7
7
8
8
9
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A路线所用时间/min
35
52
35
36
54
38
41
34
55
40
B路线所用时间/min
45
49
44
45
47
46
50
48
50
46
射击序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
姓名
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
小明
85
90
88
92
85
小华
88
89
87
89
87
生产线
1
2
3
4
5
甲线
10.1
10.0
9.9
10.0
10.0
乙线
10.0
10.2
9.8
10.0
10.0