冀教版（2024）九年级上册（2024）第二十三章 数据分析与统计估计23.2 中位数与众数优秀第2课时同步训练题

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本课核心问题
当平均数不能如实反映一组数据的“中心”时，中位数和众数能提供什么信息？我们怎样根据数据特点和实际背景，选择更客观合理的代表值？
一、学习目标
1. 理解中位数和众数的意义，能正确求出任意一组数据（含频数分布表数据）的中位数和众数
2. 能结合具体情境说明平均数、中位数、众数三种统计量的特点，体会极端值对平均数的影响
3. 能根据实际问题的背景，选择合适的统计量作为一组数据的代表值并说明理由
二、重点
• 中位数、众数的概念与求法（排序定位、累计人数定位）
• 根据数据特点与实际问题选择合适代表值
三、难点
• 当一组数据存在极端值或较多重复数据时，理解为什么中位数或众数比平均数更能代表数据的集中趋势，并能用于实际决策
学习支架
小琴7次听力成绩在数轴上的位置（中位数是第4个数28）
选班长投票结果
选班长投票结果统计图
14名销售人员6月份销量统计表
某企业50名职工月工资分布表
平均数、中位数、众数对比表
四、知识要点
1. 中位数的概念与求法
把 n 个数据按大小顺序排列后：- 若 n 为奇数，处于中间位置的那个数据叫作这组数据的中位数；- 若 n 为偶数，处于中间位置的两个数据的平均数叫作这组数据的中位数。中位数是一种位置量数：它只取决于数据的位置，与数据的整体大小变动关系不大。求法三步：①按大小顺序排列数据；②确定中间位置——n为奇数时是第 (n+1)2 个数，n为偶数时是第 n2 个与第 n2+1 个数的平均数；③取值。例如：7个数 8，25，27，28，28，29，30 按大小排列后，第4个数28就是这组数据的中位数。
2. 众数的概念
把一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数。注意三点：- 众数是“出现次数最多的数据”本身，不是它出现的次数；- 一组数据的众数可能不止一个：当两个或多个数据出现次数并列最多时，它们都是众数；- 一组数据也可能没有众数：当每个数据出现的次数都相同时。当一组数据中有较多的重复数据时，可以用众数作为这组数据的代表值。例如选班长投票中，2号得票18次最多，这50个号码的众数就是2号，2号当选。
3. 平均数与中位数的选择：极端值的影响
平均数与一组数据中的每个数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动：- 当每个数据的大小差异不大时，平均数是这组数据的一个较好的代表值；- 当有个别数据与其他数据的大小差异很大时（存在极端值），平均数就不是一个好的代表值了。这时可以用中位数作为这组数据的代表值来描述数据的集中趋势。因为中位数只由数据的位置决定：把极端值8换成别的数，只要它仍在两端，7个数的中位数28就不会改变；而平均数会随之变动。小琴的例子：7次听力成绩 28，25，27，28，30，29，8 的平均数是25分，被意外低分8分明显拉低；中位数是28分，与平时成绩更接近，用它评价小琴的实际水平更合理。
4. 平均数、中位数、众数的比较与选择
取平均数、中位数和众数都是刻画一组数据集中趋势的方法。因为方法不同，得到的结论也可能不同；不同的方法没有对错之分，能够更客观地反映实际背景的方法要好一些。三个统计量各有特点：- 平均数：与每个数据都有关，便于进一步计算（平均工资×人数＝工资总额），但易受极端值影响；- 中位数：位置量数，不受极端值影响，能回答“我在全体数据中大概排在什么位置”；- 众数：出现最多的数据，适合大量重复数据（商店进货的鞋码、投票结果）。在14个销量数据中，1500和1360两个较大的数据导致平均数偏大，因此用中位数或众数作定额比平均数更客观。决策时还要结合背景：企业经理关心平均工资（便于算总额），普通职工关心中位数（便于知道自己的位置）。
5. 频数分布表中求三个统计量
当数据以“数值—人数（频数）”的分布表呈现时：- 平均数＝（各组数值×各组人数）的总和÷总人数；- 中位数：按人数从小到大累计，n为奇数时找到第 (n+1)2 个数据所在的组，n为偶数时找到第 n2 个与第 n2+1 个数据所在的组，该组对应的数值（或两组数值的平均数）就是中位数；- 众数：人数最多的那一组对应的数值。例：某企业50名职工的月工资中，3500元6人、4000元12人、4500元18人……累计人数依次为6、18、36，所以第19至36个数都是4500元，第25、26个数都是4500元，中位数为4500元；18人最多，众数也是4500元。
五、典型例题
【例1】
小琴的英语听力成绩一直很好，七次测试的得分（满分30分）分别为：28，25，27，28，30，29，8。其中第七次测试因耳机故障只得了8分。(1) 求这7个分数的平均数；(2) 把这7个分数按大小顺序排列，并求中位数和众数；(3) 用平均数还是中位数评价小琴英语听力的实际水平更合理？为什么？
【例2】
某公司销售部统计了14名销售人员6月份销售某商品的数量，结果如下表：6月份销量/件：1500，1360，500，460，400
人数：1，1，5，4，3
(1) 分别求销量数据的平均数、中位数和众数；(2) 公司在制订销售人员月销量定额时有三种观点：观点一认为平均数是数据的代表值，应该用平均数作定额；观点二认为只有两人的销量超过平均数，应该用中位数作定额；观点三认为众数出现的次数最多，应该用众数作定额。你认为哪种观点更合理些？
【例3】
某企业50名职工的月工资分为5个档次，分布情况如下表：月工资额/元：3500，4000，4500，5000，5500
人数：6，12，18，10，4
(1) 求月工资的平均数、中位数和众数；(2) 相对来说，企业经理更关心哪个数？普通职工更关心哪个数？为什么？
同 步 练 习
我来填写：求各组数据的平均数、中位数和众数
★ 基础巩固
1. 数据 3，5，7，9，11 的中位数是（________）。
2. 数据 4，6，8，10，12，14 的中位数是（________）。
3. 数据 2，5，5，7，9 的中位数是（________），众数是（________）。
4. 数据 1，2，2，3，3，4 的中位数是（________），众数是（________）。
5. 求一组数据的中位数，必须先按大小顺序重新排列数据。（ ）
6. 一组数据的众数一定只有一个。（ ）
7. 一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数据。（ ）
8. 求数据 12，8，15，12，20，12 的平均数、中位数和众数。
9. 五名同学立定跳远的成绩（单位：米）分别为 1.9，2.0，2.0，2.1，2.2。(1) 求这组数据的平均数、中位数和众数；(2) 众数在这里表示什么含义？
★★ 能力提升
10. 下列说法正确的是（________）。
A. 平均数一定是这组数据中的某一个数
B. 中位数一定是这组数据中的某一个数
C. 众数一定是这组数据中的某一个数
D. 一组数据的中位数只有一个，众数也只有一个
11. 6名同学的身高（单位：cm）为 148，152，152，155，158，182。要表示这组身高的“一般水平”，用（________）更合适。
A. 平均数 B. 中位数或众数
C. 最大值 D. 最小值
12. 某单位10名员工向灾区捐款，捐款金额（单位：元）如下：50，100，100，200，200，200，200，200，500，1000。(1) 求捐款金额的平均数、中位数和众数；(2) 哪个数能更好地反映捐款金额的“集中程度”？为什么？
13. 在某届奥运会男子50米步枪射击决赛中，某著名选手10次射击的成绩（单位：环）为：9.4，10.4，9.3，10.4，9.5，10.1，9.9，9.4，10.0，0。其中第10次射击意外地射向别人的靶子，得0环。(1) 分别求这组数据的平均数和中位数；(2) 平均数和中位数哪个更能反映这名选手的真实射击水平？为什么？
14. 某班40名同学最喜欢的球类运动调查结果如下：篮球10人，足球14人，乒乓球8人，羽毛球5人，其他3人。(1) 根据调查结果完成条形统计图（画出各项目的直条）；(2) 哪个项目最受欢迎？这组数据的众数是什么？
某班同学最喜欢的球类运动统计图
15. 某班40名同学每周课外阅读时间统计如下表：每周课外阅读时间/小时：2，3，4，5，6
人数：4，10，14，8，4
(1) 求这40个数据的平均数、中位数和众数；(2) 老师说“多数同学每周阅读4小时”，他依据的是哪个统计量？
每周课外阅读时间统计表
★★★ 拓展延伸
16. 对于一组数据 1，2，3，4，5，6，7，8，9，100：(1) 求这组数据的平均数和中位数；(2) 去掉100后，平均数和中位数分别是多少？(3) 比较(1)(2)的结果，说明哪个统计量受极端值影响更大；(4) 若把100改为10（其余数据不变），平均数和中位数分别是多少？由此你发现了什么？
17. 平均数和中位数都是一组数据的代表值，但代表的意义有所不同。设数据 1，4，6，9，15 的平均数为 x̄，中位数为 m。(1) 求 x̄ 和 m；(2) 计算 A1＝|1－m|＋|4－m|＋|6－m|＋|9－m|＋|15－m| 和 A2＝|1－x̄|＋|4－x̄|＋|6－x̄|＋|9－x̄|＋|15－x̄|，并比较 A1 与 A2 的大小；(3) 计算 B1＝(1－m)²＋(4－m)²＋(6－m)²＋(9－m)²＋(15－m)² 和 B2＝(1－x̄)²＋(4－x̄)²＋(6－x̄)²＋(9－x̄)²＋(15－x̄)²，并比较 B1 与 B2 的大小；(4) 根据计算结果猜想：中位数和平均数分别是“使什么和最小”的数据代表值？
18. 某公司销售部12名销售人员6月份的销量（单位：件）如下：310，320，320，330，330，330，340，340，350，380，500，520。(1) 求这组数据的平均数、中位数和众数；(2) 公司准备确定6月份的月销量定额。若按平均数定额，有多少人达不到定额？这样定合理吗？(3) 请你根据(1)的结果，提出一个你认为较合理的定额方案，并说明理由。
● 8
● 25、27
● 28,28、29、30
0
5
10
15
20
25
30
35
候选人
1号
2号
3号
4号
5号
合计
票数
7
18
10
9
6
50
6月份销量/件
1500
1360
500
460
400
人数
1
1
5
4
3
月工资额/元
3500
4000
4500
5000
5500
人数
6
12
18
10
4
统计量
怎么求
优点与适用
局限
平均数
所有数据之和÷数据个数
与每个数据有关，便于进一步计算（如工资总额）；数据差异不大时是较好的代表值
易受极端值影响
中位数
排序后取中间位置（偶数个时取中间两数平均数）
不受极端值影响，能反映多数人大致的位置
没有利用全部数据的信息
众数
出现次数最多的数据
适合重复数据多的情形（进货码数、投票结果）
可能不止一个，也可能没有
数据
平均数
中位数
众数
每周课外阅读时间/小时
2
3
4
5
6
人数
4
10
14
8
4