初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）29.1.1 圆的有关概念优秀巩固练习

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）29.1.1 圆的有关概念优秀巩固练习试卷主要包含了圆的定义，等弧，下列说法正确的是，下列说法，下列命题不正确的是，下列条件中，只能确定一个圆的是等内容，欢迎下载使用。

知识点01
圆的形成与定义
1．圆的定义
动态定义：如图，在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P随之旋转所形成的图形叫做圆。
①固定的端点O叫做圆心，线段OP叫做 ；
②以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“圆O”。
2.圆的集合定义及本质特征
静态理解：圆心为O，半径为r的圆是平面内 的集合。
核心性质：
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）。
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注意：
①圆心确定圆的 ，半径确定圆的 ；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线。
历史溯源：《墨子》中记载“圆，一中同长也”（意为：圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离相等）。
3.点与圆的位置关系
画圆的过程，可以得到平面内点和圆的位置有三种关系： 。
数量判定标准：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d。
点P在圆外⟺
点P在圆上⟺
点P在圆内⟺
4.常见基础结论
矩形四个顶点在同一个圆上（因为矩形对角线相等且互相平分，所以四个顶点到对角线交点距离相等）。
【即学即练】
1．参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都____________，这个距离就是这个圆的_____________．
2．以5cm为半径可以画________个圆；以点O为圆心可以画________个圆；以点O为圆心，以5cm为半径可以画________个圆．
3．已知⊙O的直径为10，点P到圆心O的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．无法确定
知识点02
圆的有关概念
1.弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
【注意】：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径。
2.弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以A、B为端点的弧记作AB⌢，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
【注意】：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧。
3．同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
圆心不同，半径相等的两个圆叫做 ；同圆或等圆的半径相等。
4．等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做 。
【注意】：①等弧成立的前提条件是在 中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等。
【即学即练】
4．下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
5．已知A、B为⊙O上的两点，若⊙O的半径为3，则AB的长不可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
6．下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径B．过圆心的线段是直径
C．圆中最长的弦是直径D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形
7．下列说法：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）经过圆内一点可以作无数条直径；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，AB是⊙O的弦，且AB=OA，则∠B=（ ）
A．30∘B．45∘C．60∘D．90∘
知识点03
过三点的圆
1.确定一个圆的条件
核心定理：不在同一条直线上的 确定一个圆。
①过一个点：能作无数个圆（圆心不定）。
②过两个点：能作无数个圆（圆心在这两点连线段的垂直平分线上）。
③过不在同一条直线上的三个点：能作一个且只能作一个圆。
作法：分别作两条线段（如AB、BC）的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到任意一点的距离即为半径。
【即学即练】
9．下列命题不正确的是（ ）
A．过一点有无数个圆
B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
C．过三点能作一个圆
D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
10．下列条件中，只能确定一个圆的是（ ）
A．过定点A
B．过定点A、B，且半径为R
C．过不在同一直线上的三点
D．过不在同一直线上的四点
11．已知线段AB=6．
(1)作半径为4的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能作几个？
(2)作半径为3的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能作几个？
(3)作半径为2的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能作几个？
知识点04
三角形的外接圆与外心
1.三角形的外接圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边 的交点，叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。
2.三角形外心的性质
①三角形的外心到三角形各顶点的 ；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
3.三角形外心的位置
锐角三角形ABC外接圆的圆心O在它的 （如图1）；直角三角形ABC外接圆的圆心O在 （即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形ABC外接圆的圆心O在它的 （如图3）。
【即学即练】
12．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的是（ ）
A．B．
C．D．
13．如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线的交点）上，点O是（ ）
A．△ACD的外心B．△ABC的外心
C．△ACD的内心D．△ABC的内心
14．如图，△ABC顶点都在网格格点上，△ABC外接圆的圆心是（ ）
A．1,3B．2,3C．2,2D．1,2
15．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
知识点05
反证法
1.反证法
步骤：
①先提出与结论相反的假设；
②根据假设进行推导，得出与已知定义、基本事实、定理或题设相矛盾的结论；
③由矛盾断定假设不成立，从而证明原命题成立。
2.经典应用
证明：经过同一条直线上的三个点不能作圆（假设能作，则圆心必须在两条垂直平分线上，但这两条线平行不相交，矛盾）。
证明：两直线平行，同位角相等（假设同位角不相等，过直线外一点能作两条平行线，与公理矛盾）。
证明：同一平面内，若一条直线与两条平行线中的一条相交，必定与另一条也相交；一个三角形中不能有两个角是直角。
【即学即练】
16．用反证法证明时，假设“点在圆内或圆外”，经过推理后得出矛盾，则点和圆的位置关系是（ ）
A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不确定
17．求证：两直线平行，内错角相等．
如图1，若AB∥CD，且AB，CD被EF所截，求证：∠AOF=∠EO′D．
以下是打乱的用反证法证明的过程：
①如图2，过点O作直线A′B′，使∠A′OF=∠EO′D；
②依据“内错角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD；
③假设∠AOF≠∠EO′D；
④∴∠AOF=EO′D；
⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．
证明步骤的正确顺序是___________．
18．用反证法证明：在三角形中，大角对大边．
题型01 圆的基本概念辨析
【典例1】已知圆的半径为4，则圆中一条弦的长度不可能的是（ ）
A．2B．4C．8D．10
【典例2】下列说法中，正确的是（ ）．
A．直径不是弦B．相等的弦所对的弧相等
C．在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长D．同一条弦所对的两条弧是等弧
（1）考查方向：考查圆的定义、弦（直径）、弧（优弧/劣弧）、等圆、等弧等基础概念的易混淆点辨析，常以判断正误题形式出现。
（2）核心方法：紧扣定义解题。特别注意：“直径是最长的弦”、“等弧不仅长度相等，必须能够完全重合且仅在“同圆或等圆”中成立”。

【变式1】下列说法：
①相等的圆心角所对的弧相等；
②相等的弧所对的弦相等；
③相等的弦所对的弧相等；
④半径相等的两个半圆是等弧，
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】如图，在⊙O中，OA，OB为半径，AB是弦．若∠OAB=45°，OA=2，则AB的长为（ ）
A．2B．2C．22D．4
【中考链接1】如图，扇形OAB，点C在AB上．若∠AOB=60°，则∠ACB的度数是（ ）
A．150°B．140°C．130°D．120°
【中考链接2】如图，在△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D．以点A为圆心，AC长为半径画弧，以点C为圆心，AD长为半径画弧，两弧在直线BC下方交于点E，连接AE交BC于点F．若AB=3，BC=5，DF=15，则AF长为（ ）
A．2B．95C．85D．75
题型02 弦与直径的相关性质
【典例1】如图，在⊙O中，弦的条数是（ ）
A．2B．3C．4D．以上均不正确
【典例2】已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，则AB的长度a的取值范围是________．
（1）考查方向：考查圆中弦的条数计数，以及利用直径是圆中最长的弦进行长度范围判断。
（2）核心方法：根据弦的定义直接查找端点；当遇到最长弦问题时，考虑将该弦视为直径代入求解。

【变式1】如图，A，B，C，E四点在⊙O上，点A，O，B，点C，O，D，点B，D，E分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，以点C(1,0)为圆心，半径为2作⊙C，直线y=kx+1交⊙C于A、B两点，若AB=4，则k的值为__________．
【中考链接】如图，坐标平面内圆A，已知圆A的半径为2，圆心A5,4，下列直线中，与圆A相交，且被圆A所截得的弦最长的是（ ）
A．y=xB．y=−xC．y=45xD．y=−54x
题型03 圆的周长与面积计算
【典例1】已知圆O的直径为8，则其半径为_____________，周长为_____________．
【典例2】由边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环（如图）的面积S为____．
（1）考查方向：考查圆的周长、面积公式的直接应用，以及圆环面积、组合图形中阴影面积的割补计算。
（2）核心方法：熟记公式C=2πr和S=πr2；遇到组合图形时，常采用“整体面积减去局部面积”或“割补拼接法”进行计算。

【变式1】如图，战机白帝号顺着大半圆从A地飞到B地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从A地到B地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（ ）
A．a=bB．abD．无法确定
【变式2】在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（ ）
A．12B．22C．1D．2
【变式3】如图，在半径为10cm的圆形铁片中挖去4个半径为xcm的小圆，剩余部分的面积为ycm2，则y与x之间的关系式为（ ）
A．y=40π−4πx2B．y=100π−2πx2
C．y=100π−4πx2D．y=200π−2πx2
【变式4】定义：一个圆的面积与周长的数值之差，称为该圆的“关联值”．
例如：若⊙O的半径为1，则⊙O的“关联值”为−π．
(1)若⊙O的半径为2，则 ⊙O的“关联值”为 ；
(2)若⊙O的“关联值”为π，求⊙O的半径；
(3)是否存在两个半径分别为r1、r2的圆（r1、r2都是正整数，且r1>r2)，两圆的“关联值”相差21π？若存在，求出r1、r2的值；若不存在，请说明理由．
【中考链接】在一张长为8，宽为6的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆：
方式①：剪1个大圆；
方式②：剪2个等圆．
设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为S1、S2，若q=S1S2，则q的取值范围是（ ）
A．12