人教版（2024）九年级上册（2024）26.1 二次函数的概念导学案

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）26.1 二次函数的概念导学案，共14页。学案主要包含了二次函数的识别-关系式，二次函数的识别-文字叙述，根据二次函数的定义求参数的值，列二次函数解析式-销售利润问题，列二次函数解析式-增长率问题，列二次函数解析式-几何问题，二次函数的识别解答题综合等内容，欢迎下载使用。
1.理解二次函数定义：形如 是常数， 的函数叫做二次函数，
其中 x 是自变量；
2.分清各项名称： 为二次项系数， 为一次项系数， 为常数项；重点牢记二次项系数
课标要点
可以为 0；
3.会判断一个函数是否为二次函数：先化为整式一般形式，看最高次数为 2，且二次项系数
不为 0。
4.能根据实际问题列二次函数解析式，注意实际问题中自变量 x 的取值范围。
重点：
1.牢记二次函数一般形式 ，抓住核心条件 。
2.识别二次项、一次项、常数项，准确读出对应系数。
3.辨析二次函数，区分二次函数、一次函数、正比例函数。
学习重难点
难点：
1.忽略 这个前提，当题目含参数时，既要保证最高次数是 2，同时二次项系数不能等
于 0。
2.函数没有整理化简就直接判断是不是二次函数，要先化成整式一般形式再判断。
3.实际应用问题，容易漏掉自变量的实际取值范围。
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知识点 二次函数的概念
1.二次函数定义
一般地，形如 (a、b、c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，x 是自变量。
2.各项名称
①a：二次项系数，a≠0 是二次函数必不可少的条件
②b：一次项系数
③c：常数项
随学随练
1．（25-26 九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量 y 与变量 x 之间
是二次函数关系的是（ ）
A．铅笔的单价不变，总价 y 与支数 x
B．路程一定，列车运行的平均速度 y 与时间 x
C．正方体的表面积 y 与它的棱长 x
D．速度一定，列车的行驶路程 y 与行驶时间 x
2．（25-26 九年级上·安徽安庆·期末）若函数 是关于 x 的二次函数，则 a 的值
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为_____．
3．（25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）某楼盘 8 月份以每平方米 20000 元的均价对外销售，受市场
经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为 x，则 10 月份楼盘出售均价 y 元与平均
每月降价的百分率 x 之间的函数关系式__________．
4．（25-26 九年级下·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为 ．
(1)若绳长为 ，则 与 的关系式为， 是 的函数；
(2)若矩形的面积是 ，则 与 的关系式为， 是 的函数；
(3)若矩形的周长为 ，矩形的面积为 ，则 与 的关系式为， 是 的函数．
拓展 根据几何变化写二次函数关系式（常考）
题型特征：几何图形边长增加/减少，求周长、面积关于变化量 c 的函数，判断是一次还是二次函数。
1.写出新的边长
原边长±变化量，把新的长、宽用含 x 代数式表示。
2.套用几何公式
·周长： ，周长展开后不会出现 x²项，一般是一次函数。
·面积：S=长×宽，两个含 x 式子相乘会出现 x²,一般是二次函数。
3.整理化成标准形式
：一次函数； 才是正比例函数；
：二次函数。
活学活用
1．（25-26 九年级下·北京·阶段检测）如图，矩形 的面积为 ，点 在 边上，点 在
边上，四边形 是正方形，记线段 的长为 的长为 ，正方形 的面积为
．当 在一定范围内变化时， 随 的变化而变化，则 与 满足的函数关系分别是（ ）
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A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系
2．（25-26 九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为 , ,现将矩形绿地的长、
宽各增加 .设新绿地的周长为 ,面积为 ，当 x 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，
则 与 , 与 满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系
D．正比例函数关系，一次函数关系
3．（25-26 九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 是 轴
上一动点，连接 ，作线段 的垂直平分线 ，过点 作 轴的垂线 ，记 ， 的交点为 ，改变点
的位置，可以得到相应的点 ，设点 的坐标是 ，则 关于 的函数解析式为_______________．
题型一 二次函数的识别-关系式
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解题贴士
一般地，形如 ， 的函数叫做二次函数。
关键点：
①自变量最高次数是 2 次；
②二次项系数
③等式右边是整式(分母、根号里面不能含有 x);
④b、c 可以等于 0。
▌例 1（25-26 九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
▌对点练 1-1．（25-26 九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中， 一定是关于 的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
▌对点练 1-2．（25-26 九年级上·江苏盐城·期末）下列函数，一定属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 二次函数的识别-文字叙述
▌例 2（25-26 九年级下·甘肃兰州·开学考试）下面问题中，y 与 满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为 的矩形中，矩形的长 与宽 的关系；
②底面圆的半径为 的圆柱中，侧面积 与圆柱的高 的关系；
③某商品每件进价为 80 元，在某段时间内以每件 x 元出售，可卖出 件．利润 y（元）与每件售
价 （元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
▌对点练 2-1．（25-26 九年级下·四川绵阳·开学考试）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量 y 与变
量 x 之间是二次函数关系的是（ ）
A．铅笔的单价不变，总价 y 与支数 x
B．路程一定，列车运行的平均速度 y 与时间 x
C．正方体的表面积 y 与它的棱长 x
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D．速度一定，列车的行驶路程 y 与行驶时间 x
▌对点练 2-2．（25-26 九年级上·浙江·单元复习）下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体质量 x 之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系
C．等边三角形的周长 C 与边长 a 之间的关系
D．圆的面积 S 与半径 R 之间的关系
题型三 根据二次函数的定义求参数的值
解题贴士
标准解题思路(固定两步法)
步骤 1：根据“最高次数=2”列方程，解出参数所有候选解
看 x 右上角的指数，令指数=2，解方程，得到参数的可能取值。
步骤 2：根据“二次项系数≠0”进行取舍
把上面算出来的每一个解，代入二次项系数；
如果代入后系数等于 0，这个解要舍去；系数不等于 0 才保留。
口诀：先定次数，再卡系数；算完一定要检验系数!
▌例 3（25-26 八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数 是关于 x 的二次函数，
则 _______．
▌对点练 3-1．（25-26 九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数 的常数
项为零，则 的值为_____．
▌对点练3-2．（25-26 九年级上·福建龙岩·期末）若 是二次函数，则 的值为______
．
题型四 列二次函数解析式-销售利润问题
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解题贴士
第 1 步：设未知数
两种常见设元方式：
方式①：设每件涨价(或降价)x 元(中考最常用)
方式②：设每件售价为 x 元
优先选①：涨价/降价为 x,列式简单，不容易出错。
第 2 步：翻译题目，写出两个代数式
①单件利润：原来每件利润±变化的钱
涨价 x 元：单件利润=原单件利润+x
降价 x 元：单件利润=原单件利润—x
②销售量：涨价卖得少，降价卖得多
涨价 x 元，每涨 1 元，少卖多少件：销售量=原销售量一每涨 1 元减少销量·x
降价 x 元，每降 1 元，多卖多少件：销售量=原销售量+每降 1 元增加销量·x
关键点：涨价→销量减；降价→销量加。不要搞反加减!
第 3 步：总利润=单件利润×销售量，列出关系式
W=(单件利润)(销售量)
展开、合并同类项，得到 W=ax²+bx+c,就是二次函数解析式。
第 4 步：写出自变量 x 实际取值范围(大题必写)
要满足现实：
1.单件利润不能是负数；
2.销售量不能是负数；解不等式，得到 x 的取值。
▌例 4 （25-26 九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品
在不超过进价 的情况下可以自行定价．若每件商品售价为 x 元，可卖出 件商品，则商店
所得利润 y（元）与售价 x（元）的函数关系式是______，自变量 x 的取值范围为______．
▌对点练 4-1．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为 2 元，据市场调查，销售单价是
13 元时，平均每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，平均每天就可以多售出 10 件．若设降价后
售价为 元，每天利润为 元，则 与 之间的函数关系为________．
▌对点练 4-2．（25-26 九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，
据市场分析，若每千克按 50 元销售，一个月能售出 500 千克，如果销售单价每千克涨 1 元，则月销售量就
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减少 10 千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克 55 元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元．
(2)设销售单价为每千克 元 ，月销售利润为 元，用含 的式子表示 ．
(3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到 8000 元，销售单价应为多少元？
题型五 列二次函数解析式-增长率问题
解题贴士
①连续两次增长
设初始基数为 ,平均增长率为 ,两次之后的总量为 。
第一次增长后：
连续增长两次后：
展开整理： ，属于二次函数。
②连续两次下降
基数为 ,平均下降率为 ,两次之后总量为 。
展开整理：
▌例 5（25-26 九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规
定．经销商统计某品牌头盔，7 月份售出 1500 个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率 ，请问 9
月份的销售量 关于每月增加的百分率 的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
▌对点练 5-1．（25-26 九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）一部售价为 5000 元的手机，一年内连续两次
降价，如果每次降价的百分率都是 x，则两次降价后的价格 y（元）与每次降价的百分率 x 之间的函数关系
式是______．
▌对点练 5-2．（2025 九年级·全国·专题练习）报告显示，2023 年全球金属增材制造市场的总收入达到
28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________
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．
题型六 列二次函数解析式-几何问题
▌例 6（25-26 九年级上·安徽淮南·期末）长为 ，宽为 的矩形，四个角上分别剪去边长为
的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为 的无盖的长方体盒子，则 与 之间的函数关系式为
（）
A． B．
C． D．
▌对点练 6-1．（25-26 九年级上·河北沧州·期中）用长为 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设
为 （单位：米），则窗框的透光面积 （单位： ），关于 （单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗
细忽略不计）（ ）
A． B．
C． D．
▌对点练 6-2．（25-26 九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用 81 米长的铁栅栏围成三
个相连的长方形仓库，仓库总面积为 平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了 1 米宽的缺口作通道，
在平行于墙的一边留下一个 1 米宽的缺口作为小门，若设 米，则 关于 的函数关系式为
________________________．
▌对点练 6-3．（2025 九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形 的边长为 1， 是 边上的
一点，过 作 边的垂线，交 于 ，用 表示线段 的长度，显然线段 的面积 是线段长
度 的函数，这个函数的表达式是________．
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题型七 二次函数的识别解答题综合
▌例 7（2026·河南周口·二模）某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨 元，物价部门规定销售单
价不低于进价，且不高于每吨 元．经市场调研：当售价定为每吨 元时，每日可售出 吨；售价
每提高 元，每日销量减少 吨．设每吨售价提高 元．
(1)写出每日销售量 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
(2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少?
▌对点练 7-1．（25-26 九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进
价为 元/千克的荔枝，以 元/千克售出时，每天能售出 千克．市场调研表明：当售价每降低 元/千克
时，平均每天能多售出 千克．设降价 元．
(1)设销售利润为 元，请写出 关于 的函数关系式；
(2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到 元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？
▌对点练 7-2．（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空
地上修建一个矩形绿化带 ，绿化带一边 靠墙（ 的长不超过墙长），另三边用总长为 的栅
栏围住，设 边长为 ，绿化带的面积为 ．如图，若墙长为 ．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；
(2)当绿化带的面积为 时，求 x 的值；
(3)求绿化带的面积最大时 边长．
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基础通关
1．（26-27 九年级上·全国·单元复习）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（26-27 九年级上·全国·课后作业）已知二次函数 ，则其二次项系数 a、一次项系数
b、常数项 c 分别为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
3．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数 的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
4．（25-26 九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程 （米）与所经过的时间 （秒）
之间的关系为 ．则表格中 的值为（ ）
（秒） 0 1 2 3 4 …
（米） 0 20 …
A．40 B．50 C．80 D．160
5．（25-26 九年级上·甘肃临夏·期中）物理学中对一定值电阻 R 通电后，在限定时间 t 内产生的热量计
算公式为 ，即热量 Q（单位：焦耳）随电流 I（单位：A）的变化而变化，则 Q 与 I 的函数图象大
致是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26 九年级上·陕西榆林·期末）若函数 是关于 x 的二次函数，则
m 的值为_______．
7．（25-26 九年级上·陕西榆林·阶段检测）一个边长为 的正方形，若边长增加 ，面积增加
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，则 与 之间的函数关系式为______．
8．（25-26 九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均 1 人会传染 x 个人，若
最初 1 个人感染该病毒，经过两轮传染，共有 y 人感染，则 y 与 x 的函数关系式为______．
9．（25-26 八年级下·江苏苏州·开学考试）若 ，且 与 成正比例， 与 成正比例，
当 时， ；当 时， ；
(1)求 y 与 x 的函数关系式；
(2) 时，函数的值为多少？
10．（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件 15 元的商品，售价为每件 25 元时，每天可售
出 50 件；售价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 2 件.设每件商品的售价为 元（ 且 为整数），每
天的销售量为 件.
(1)求 与 的函数关系式；
(2)设每天的销售利润为 元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
11．（25-26 九年级上·浙江杭州·期末）如图，一块直角三角形铁皮 ，
,现要从这块铁皮上剪出一个矩形 ，且满足点 D，E，F 分别在
上．
(1)设 ，请用含 x 的代数式表示矩形 的面积 S．
(2)当剪出的矩形 面积最大时，求 的长以及矩形面积．
素养提升
1．（2025·辽宁·一模）在高中的有机化学中，存在一种 的有机物，其中 和 满足某种函数关系，
如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知 与 满足函数关系式（ ）
A． B． C． D．
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2．（25-26 九年级上·北京朝阳·期末）用一个圆心角为 （ 为常数， ）的扇形作圆锥的
侧面，记扇形的半径为 ，所作的圆锥的底面圆的周长为 ，侧面积为 ，当 在一定范围内变化时， 与 都
随 的变化而变化，则 与 与 满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
3．（2025 九年级·全国·专题练习）若函数 是 关于 的二次函数，则以 和 4
为两边长的等腰三角形的周长为______．
4．（25-26 九年级上·辽宁大连·期中）已知有 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场
次数为 m，则 m 关于 n 的函数解析式为________．
5．（2026·云南楚雄·二模）如图，在 中， ， ．点 D 在边 上，线段
交 于 M，连接 ， ．
(1)若 ，求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 D 为 的中点，四边形 是平行四边形， ，试求出四边形 的面积 与 的函数关
系式．
6．（25-26 九年级上·安徽宿州·期末）春节时，家家户户挂红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯
笼已成为我国的一种传统文化．某超市在春节前购进一批成本为 30 元/对的灯笼，经市场调查发现，若灯笼
每对售价 40 元时，每天可售出 120 对，售价每提高 1 元，则每天少售出 2 对．物价部门规定其销售单价不
高于每对 72 元，设灯笼每对涨价 元，超市一天售出灯笼获得利润 元．
(1)求 与 之间的函数表达式，并直接写出自变量 的取值范围；
(2)当 取何值时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
7．（2025 九年级上·浙江·专题练习）如图 1 所示风筝的筝面可以抽象成图 2 的筝形 ，
，风筝的骨架由 3 条竹棒 组成，其中 E，F 分别是 和 的中点．现
有一根总长为 的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面 的材料，作了如下探究：
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(1)设筝面 的面积为 s（ ），骨架 的长度为 x（ ），求 s 关于 x 的函数关系式；
(2)在图 3 中画出（1）中 s 关于 x 的函数图象；
(3)利用图象分析，当骨架 长度大于 长度且筝面的面积超过 时，骨架 的长度范围．
迁移创新
1．（25-26 九年级上·山东潍坊·期末）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，经统计，
近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度 2017 2018 2019 2020
年度纯收入（万元）
若记 2017 年度为第 1 年度，2018 年度为第 2 年度，……，在直角坐标系中用点
表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列
三个函数模拟甲农户从 2017 年度开始的年度纯收入变化趋势： ， ，
，以便估算甲农户 2022 年度的纯收入．
(1)能否选用函数 进行模拟？请说明理由；
(2)你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明理由；
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(3)甲农户准备在 2022 年底购买一台价值 16 万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数解析式，预测甲农
户 2022 年度的纯收入能否满足购买该农机设备的资金需求．
2．（25-26 九年级上·吉林·期末）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快
慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分
析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图 1 所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静
止释放．从弹珠运动到 点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间 、
运动快慢 、运动路程 的数据．
【收集整理数据】
运动时间 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢
12 10 8 6 4 2 …
运动路程 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
(1)【猜想】根据表格中的数据分别在图 2、图 3 的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：
函数图象要画在答题卡上）
① 与 之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”）
② 与 之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”）
(2)【检验】直接写出 与 ， 与 之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
(3【) 应用】当弹珠到达水平轨道上 点时，前方 点处有一辆电动小车以 的速度向前匀速直线运动．当
时，弹珠刚好追上小车，则 ， 两点间的距离为________ ．
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