数学有理数的乘法与除法优秀导学案及答案

这是一份数学有理数的乘法与除法优秀导学案及答案，文件包含32代数式的值初中数学七年级上册同步讲义人教版2024原卷版docx、32代数式的值初中数学七年级上册同步讲义人教版2024解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 倒数
【典例1】−15的倒数是（ ）
A．−15B．﹣5C．15D．5
【答案】B
【解答】解：∵（−15）×（﹣5）＝1，
∴−15的倒数是﹣5，
故选：B．
【变式1】下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．﹣3与3B．﹣3与|﹣3|C．﹣3与13D．﹣3与−13
【答案】D．
【解答】解：A．∵﹣3×3≠1，∴﹣3和3不互为倒数，故不符合题意；
B．|﹣3|＝3，∵﹣3×3≠1，∴﹣3和|﹣3|不互为倒数，故不符合题意；
C．∵﹣3×13≠1，∴﹣3和13不互为倒数，故不符合题意；
D．∵﹣3×（−13）＝1，∴﹣3和−13互为倒数，故符合题意．
故选：D．
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．倒数等于它本身的数是1、﹣1和0
B．相反数等于本身的数只有1和﹣1
C．绝对值等于自身的数只有0和1
D．0既不是正数，也不是负数
【答案】D
【解答】解：A、0没有倒数，故A不符合题意；
B、相反数等于本身的数只有0，故B不符合题意；
C、非负数的绝对值等于自身，则绝对值等于自身的数只有0和1说法错误，故C不符合题意；
D、0既不是正数，也不是负数，说法正确，故D符合题意．
故选：D．
【变式3】下列说法中正确的个数是（ ）
①互为倒数的两个数，它们的符号相同；
②互为相反数的两个数，它们的符号不同；
③任何一个非零有理数的偶次幂都是正数；
④若|a+b|＝﹣（a+b），则a+b＜0；
③绝对值等于其相反数的数是负数；
⑥分数都可以化为小数．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【解答】解：①互为倒数的两个数，它们的符号相同，符合题意；
②0的相反数是0，故原说法错误，不符合题意；
③任何一个非零有理数的偶次幂都是非负数，不符合题意；
④若|a+b|＝﹣（a+b），则a+b≤0，不符合题意；
③绝对值等于其相反数的数是非正数，不符合题意；
⑥分数都可以化为小数，符合题意，
故选：A．
【变式4】|﹣3|与﹣（﹣3）的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数
C．互为倒数D．积为﹣9
【答案】A
【解答】解：|﹣3|＝3，﹣（﹣3）＝3，
故选：A．
【变式5】已知b的倒数为12，则b ＞ 12．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案】＞．
【解答】解：∵b的倒数为12，
∴b＝2．
∵2＞12，
∴b＞12，
故答案为：＞．
【变式6】已知A和B互为倒数，那么A3×B7= 121 ．
【答案】121．
【解答】解：∵A和B互为倒数，
∴A×B＝1，
∴A3×B7=A×B3×7=A×B21=121，
故答案为：121．
题型2 有理数的乘法
【典例1】计算（﹣3）×（﹣2）的结果等于（ ）
A．﹣6B．6C．﹣5D．5
【答案】B
【解答】解：（﹣3）×（﹣2）
＝+（3×2）
＝6．
故选：B．
【变式1】有理数a，b在数轴上的位置如图，下列各式成立的是（ ）
A．b＞0B．|a|＞﹣bC．a+b＞0D．ab＜0
【答案】D
【解答】解：由数轴可得，
b＜0＜a，|a|＜|b|，
则a+b＜0，|a|＜﹣b，a﹣b＞0，ab＜0，
选项D正确．
故选：D．
【变式2】下列说法正确的有（ ）
①已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1时，则|a|a+|b|b+|c|c的值为1或﹣3；
②已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0时，则b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值为﹣1或3；
③若|a|＝|b|且|a−b|=23，则式子a﹣2b的值为1．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解答】解：①∵a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1
∴|abc|＞0．
∴abc＜0．
∴a、b、c三数中有一个负数，两个正数或三个均为负数，
当a、b、c三数中有一个负数，两个正数时，
|a|a+|b|b+|c|c=−1+1+1＝1．
当a、b、c三数均为负数时，
|a|a+|b|b+|c|c=−1﹣1﹣1＝﹣3．
故①符合题意．
②∵a+b+c＝0．
∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a．
∵abc＜0．
∴a、b、c三数中有一个负数，两个正数，
当a、b、c三数中有一个负数，两个正数时，
可令a为负，b和c为正．
则b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|=−a−a+−bb+−cc=1﹣1﹣1＝﹣1．
∵a+b+c＝0，
∴a、b、c三数不能同时为负，
故②不符合题意．
③∵|a|＝|b|．
∴a＝±b．
∵|a﹣b|=23．
∴a﹣b＝±23．
∴a=13，b=−13或a=−13，b=13．
∴a﹣2b＝1或﹣1．
故③不符合题意．
故选：B．
【变式3】已知非零有理数x，y满足x|x|+|y|y=−2，则−xy|xy|为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】B
【解答】解：∵非零有理数x，y满足x|x|+|y|y=−2，
∴x＜0，y＜0，
∴xy＝|xy|，
∴−xy|xy|=−1．
故选：B．
【变式4】水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降4cm，那么3天后水位变化用算式正确的为（ ）
A．（+4）×（+3）B．（+4）×（﹣3）C．（﹣4）×（+3）D．（﹣4）×（﹣3）
【答案】C
【解答】解：∵水位上升为正，水位下降为负，
∴每天变化为﹣4cm，经过3天，
∴（﹣4）×3＝﹣12，
即水位下降了12cm，总变化为（﹣4）×（+3），
故选：C．
【变式5】下列说法正确的是（ ）
A．0减去任何数都得原数
B．任何数都有倒数
C．同号两数相乘，符号不变
D．0的绝对值和相反数都是0
【答案】D
【解答】解：A.0减去任何数a，得﹣a，而非a，故该选项错误，不符合题意；
B.0没有倒数，而非任何数都有倒数，故该选项错误，不符合题意；
C．如两个负数相乘，是同号两数相乘，结果为正，故该选项错误，不符合题意；
D．|0|＝0，且0的相反数为0，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式6】已知|x|＝6，y＝8．
（1）若xy＞0，求x+y的值；
（2）若|x+y|＝x+y，求x﹣y的值．
【答案】（1）14；（2）﹣2或﹣14．
【解答】解（1）∵|x|＝6，y＝8，xy＞0，
∴x＝6，y＝8，
∴x+y＝6+8＝14；
（2）∵|x+y|＝x+y，
∴x+y＞0，
∵|x|＝6，y＝8，
∴x＝±6，y＝8，
∴x﹣y＝6﹣8＝﹣2，
或x﹣y＝﹣6﹣8＝﹣14，
∴x﹣y的值是﹣2或﹣14．
题型3 有理数的除法
【典例1】有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：
①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④ab＞0．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】B
【解答】解：根据图示，可得a＜0，b＞0，|a|＜b，
∴①b﹣a＞0，故正确；
②|a|＜|b|，故正确；
③a+b＞0，故正确；
④ba＜0，故错误．
∴正确的是①②③．
故选：B．
【变式2】下面运用了“转化”思想方法的有（ ）
①23÷59=23×95
②
③
④
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①除法转化为乘法运算，运用了转化思想，符合题意；
②把小数的乘法转化为整数的乘法，运用了转化思想，符合题意；
③求平行四边形的面积转化为求长方形的面积，运用了转化思想，符合题意；
④求圆柱体的体积转化为求长方体的体积，运用了转化思想，符合题意．
综上所述，用了“转化”思想方法的有①②③④．
故选：D．
【变式3】我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（ ）
A．1B．3C．13D．19
【答案】A
【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]
＝9×19
＝1，
故选：A．
【变式4】如果a+b＜0，ba＞0，那么下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＞0
【答案】B
【解答】解：∵ba＞0，
∴a和b同号．
又∵a+b＜0，
∴a＜0，且b＜0．
故选：B．
【变式5】下列说法：①a与﹣a互为相反数；②不相等的两个数绝对值不相等；③若m＜n＜0，则|m|＞|n|；④若ab=−1，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】D
【解答】解：①a与﹣a互为相反数；
②不相等的两个数绝对值有可能相等，例如3≠﹣3，|3|＝|﹣3|＝；
③若m＜n＜0，则|m|＞|n|；
④若ab=−1，则a、b互为相反数．
故选：D．
【变式6】洛阳宫灯2008年6月被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．制作一套洛阳宫灯，需要用到以下材料：灯架主杆长180厘米，合 1.8 米；包裹灯架的竹篾（miè）重3千克80克，合 3.08 千克；粘贴灯面的桑皮纸面积是25平方分米，合 0.25 平方米．
【答案】1.8；3.08；0.25．
【解答】解：180厘米＝180÷100＝1.8米，
∵80克＝80÷1000＝0.08千克，
∴3千克80克＝3+0.08＝3.08千克，
25平方分米＝25÷100＝0.25平方米．
故答案为：1.8；3.08；0.25．
过 关 验 收
−|−13|的倒数是（ ）
A．3B．13C．−13D．﹣3
【答案】D
【解答】解：−|−13|=−13．
−13的倒数是﹣3．
故选：D．
若a，b互为倒数，且a+ab＝3，则b＝ 12 ．
【答案】12
【解答】解：∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∵a+ab＝3，
∴a+1＝3，
∴a＝2，
∴2b＝1，
∴b=12．
故答案为：12．
在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（ ）
A．−32B．−12C．−12或−32D．−32或﹣2
【答案】B
【解答】解：设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3，
当x+x+1+x+3＝x时，x＝﹣2，
a＝﹣2，b＝﹣1，c＝1，
abc＞0，不合题意；
当x+x+1+x+3＝x+1时，x=−32，
a=−32，b=−12，c=32，
abc＞0，不合题意；
当x+x+1+x+3＝x+3时，x=−12，
a=−12，b=12，c=52，
abc＜0，符合题意，
故选：B．
下列说法：
①符号相反的数互为相反数；
②﹣a一定是一个负数；
③正整数、负整数统称为整数；
④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；
⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积必为正数；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：①只有符号相反的数互为相反数，原说法错误；
②﹣a不一定是一个负数，例如当a＝0时，﹣a＝0，此时不是负数，原说法错误；
③正整数、负整数和0统称为整数，原说法错误；
④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，原说法正确；
⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积不一定为正数，例如有乘数为0时，结果为0，不是正数，原说法错误；
∴说法正确的只有1个，
故选：A．
①﹣a一定是负数；②﹣1是最大的负整数；③倒数等于它本身的数为±1；④绝对值等于它本身的数是正数；⑤如果几个不为0的数相乘，积为正数，则其中负因数的个数为偶数．正确的有（ ）
A．①②③B．②④⑤C．②③⑤D．①③④
【答案】C
【解答】解：①﹣a不一定是负数，若a为0，则﹣a也是0，故原说法不正确；
②﹣1是最大的负整数，正确；
③倒数等于它本身的数为±1，正确；
④正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，所以绝对值等于它本身的数是正数和0，故原说法不正确；
⑤如果几个不为0的数相乘，积为正数，则其中负因数的个数为偶数，正确；
综上所述，说法正确的有②③⑤，
故选：C．
现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解答】解：①∵正有理数、负有理数和0可以统称为有理数，
∴①说法正确；
②∵若两个数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，比如：5﹣（﹣1）＝6，
∴②的说法错误；
③∵每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，
∴③的说法正确；
④∵若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，
∴④的说法错误；
⑤∵多个数相乘法则：几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数，
∴⑤的说法正确；
⑥∵数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3，
∴⑥的说法正确，
综上可知：说法正确的有4个，
故选：C．
若|m|＝4，|n|＝3，且mn＜0，则m+n＝ 1或﹣1 ．
【答案】1或﹣1
【解答】解：∵|m|＝4，|n|＝3，
∴m＝±4，n＝±3，
∵mn＜0，
∴m＝4，n＝﹣3或m＝﹣4，n＝3，
∴m+n＝1或﹣1，
故答案为：1或﹣1．
若|a|=12，|b|＝3，且ab＜0，则a+b的值为（ ）
A．52B．−52C．±25D．±52
【答案】D
【解答】解：∵|a|=12，|b|＝3，
∴a＝±12，b＝±3，
∵ab＜0，
∴a=12，b＝﹣3，a+b=−52，
a=−12，b＝3，a+b=52，
∴a+b＝±52．
故选：D．
已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中：①a＞b；②a+b＞0；③a﹣b＞0；④ab＜0；⑤ba＞0；正确的是（ ）
A．①②⑤B．③④C．①③⑤D．②④
【答案】C
【解答】解：由数轴知，b＜a＜0，
∴①a＞b，选项正确，符合题意；
②a+b＜0，选项错误，不符合题意；
③a﹣b＞0，选项正确，符合题意；
④ab＞0，选项错误，不符合题意；
⑤ab＞0，选项正确，符合题意；
故选：C．
下列说法中错误的是（ ）
A．零除以任何非零数都是零
B．−79的倒数的绝对值是97
C．相反数等于它本身的数是零和一切正数
D．除以一个数，等于乘以它的倒数
【答案】C
【解答】解：根据被除数为0的有理数的除法法则可知A正确；
根据倒数和绝对值的定义可知B正确；
相反数等于它的本身的数只有0，C错误；
根据被除数为0的有理数的除法法则可知D正确．
故选：C．
小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出200g二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收0.15g二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（ ）
A．1332盆B．1333盆C．1334盆D．1335盆
【答案】C
【解答】解：一个快递包装排放200g二氧化碳，每盆绿萝每天吸收0.15g．
需要绿萝的盆数为：200÷0.15=1333.3.（盆），
由于绿萝盆数必须为整数，且1333盆仅能吸收1333×0.15＝199.95（g），
剩余200﹣199.95＝0.05g未被吸收，
因此需增加1盆，即至少需要1334盆，
1334盆可吸收1334×0.15＝200.1g满足全部吸收要求．
故选：C．
下列结论：①若|x|＝2，则x一定是2；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；
③若|a+b|＝a﹣b，则a≥0，b＝0或a＝0，b≤0；④若a，b互为相反数，则ab=1．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：①若|x|＝2，那么x＝±2，故说法错误；
②若干个有理数相乘，如果含有0因数，则乘积是0，故说法错误；
③|a+b|＝a﹣b，则a≥0、b＝0或a＝0、b≤0，故正确；
④若a、b（a，b不为0）互为相反数，则ab=−1，故说法错误．
所以正确的个数有1个，
故选：A．
1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5→×3+116→÷28→÷24→÷22→÷21如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 10或64 ．
【答案】10或64
【解答】解：如图，利用倒推法可得：
由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，
由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，
由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8
由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，
由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，
由第1次计算后得5，可得原数为10，
由第1次计算后32，可得原数为64，
故答案为：10或64．
某公园进行扩建，要栽一批树，已知这批树的成活率在80%～90%，如果要保证栽活1800棵，最少要栽 2250 棵树．
【答案】2250．
【解答】解：由题意可得：1800÷80%＝2250（棵），
∴最少要栽2250棵树．
故答案为：2250．
如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 −72 ；从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 105 ．
【答案】（1）−72；
（2）105．
【解答】解：（1）由题意可得：抽取﹣7，+2，最小的商是−72，
故答案为：−72；
（2）由题意可得：抽取﹣7，﹣3，5，最大的乘积是105．
故答案为：105．
阅读下面解题过程并解答问题：计算：(−15)÷(−12×253)÷16．
解：原式=(−15)÷(−256)×6（第一步）
＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）
=−35第三步）
（1）上面解题过程有两处错误：
第一处是第 二 步，错误原因 没有按同级运算从左至右运算 ；
第二处是第 三 步，错误原因是 符号错误 ；
（2）请写出正确的解题过程．
【答案】（1）二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错
（2）1085．
【解答】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算，
第二处是第三步，错误原因是符号弄错，
故答案为：二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号错误；
（2）(−15)÷(−12×253)÷16．
=−15÷(−256)×6
=15×625×6
=1085．
阅读下面解题过程并解答问题：
计算：(−15)÷(−12×253)÷16
解：原式=(−15)÷(−256)×6（第一步）
＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）
=−35（第三步）
（1）上面解题过程有两处错误：
第一处是第 二 步，错误原因是 没有按同级运算从左至右运算 ；
第二处是第 三 步，错误原因是 符号弄错 ；
（2）请写出正确的结果 1085 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算．
第二处是第三步，错误原因是符号弄错．
（2）原式＝﹣15÷（−256）×6
＝15×625×6
=1085．
故答案为：（1）二，没有按同级运算从左至右运算．三，符号弄错．
1085．
随着工程进行，每天民工的经验都在增加，每天都比前一天多修一些．但是，到后半程，因为劳累，每天比前一天少修一些，每天递增的量一样、递减的量一样．最开始一天修了50丈，最后一天修了85丈，请问最中间一天修了多少丈？
【答案】最中间一天修了67.5丈．
【解答】解：（50+85）÷2＝135÷2＝67.5（丈），
答：最中间一天修了67.5丈．题型1 倒数
题型2 有理数的乘法
题型3 有理数的除法
解｜题｜知｜识
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
解｜题｜知｜识
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
解｜题｜知｜识
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•1b （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．