初中人教版（2024）有理数优秀学案及答案

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内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 有理数
【典例1】在3.14，72，π3，0，0.2020020002中，有理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】下列各数，既是分数又是负数的是（ ）
A．12B．﹣2C．−12D．0
【变式2】下列说法中不正确的是（ ）
A．﹣3.14既是负数，也是分数，还是有理数
B．0既不是正数，也不是负数，但是整数
C．﹣2024既是负数，也是整数，但不是有理数
D．0是正数和负数的分界
【变式3】最大的负整数与最小的正整数的和是 ．
题型2 数轴
【典例1】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．﹣2.5B．﹣1.5C．﹣0.5D．0.5
【变式1】用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．2D．6
【变式2】点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动3个单位长度可到点B，则比点B所表示的数小1的数为（ ）
A．0B．1或﹣5C．0或﹣4D．0或﹣6
【变式3】如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第 （填序号）段上有三个整数．
题型3 相反数
【典例1】−14的相反数是（ ）
A．−14B．4C．﹣4D．14
【变式1】下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．+（﹣2）与﹣（+2）B．﹣（﹣3）与|﹣3|
C．﹣32与（﹣3）2D．﹣23与（﹣2）3
【变式2】下列化简，正确的是（ ）
A．﹣（﹣7）＝﹣7B．﹣[﹣（﹣15）]＝﹣15
C．﹣（+2）＝2D．﹣[﹣（+8）]＝﹣8
【变式3】若a与2a﹣3互为相反数，则a的值 ．
题型4 绝对值
【典例1】﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．13C．−13D．﹣3
【变式1】下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．3和13B．3和﹣3
C．|−13|和13D．13和−(−13)
【变式2】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A．﹣3.5B．+2.5
C．﹣0.6D．+0.7
【变式3】下列说法不正确的是（ ）
A．一个数的绝对值一定不小于它本身
B．互为相反数的两个数的绝对值相等
C．任何数的绝对值都不是负数
D．任何有理数的绝对值都是正数
题型5 非负数的性质：绝对值
【典例1】如果有理数x、y满足|x﹣1|+|y+3|＝0，那么x+y的等于（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
【变式1】如果x为有理数，式子2025﹣|x+4|存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2025B．2024C．2023D．2022
【变式2】如果|m|＝﹣m，那么（ ）
A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0
【变式3】如果x为有理数，式子2025﹣|x﹣2025|存在最大值，这个最大值是 ．
题型6 有理数大小比较
【典例1】在下列四个数中，最小的数是（ ）
A．1.5B．﹣2C．﹣4D．3
【变式1】数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣a＜﹣b＜a＜bC．﹣b＜a＜﹣a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a
【变式2】下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】下列有理数的大小比较，错误的是（ ）
A．|﹣2|＞﹣3.1B．−17＜−16C．﹣4.5＜﹣3.5D．0＜|﹣0.001|
过 关 验 收
下列选项中，列举的数不合适的是（ ）
A．正整数：+3B．负分数：﹣12%
C．正有理数：3.313131…D．负有理数：0
下列关于有理数的描述
①有限小数和循环小数都是有理数；
②0是非负有理数；
③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；
④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
图中阴影部分表示的有理数可以是（ ）
A．0B．10C．﹣2.5D．﹣1
下列各数是正分数的是（ ）
A．﹣5B．1.01C．πD．0
最大的负整数是 ．
下列数轴画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（ ）
A．1B．﹣3C．1或﹣5D．1或﹣4
有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．a+b＜0B．b﹣a＞0C．ab＞0D．|a|＞|b|
数轴上的点A到原点的距离是4，则点A表示的数为（ ）
A．4B．﹣4C．4或﹣4D．2或﹣2
在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离是 ．
如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是﹣5，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）．
两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若手势相同，则结果为平局），移动规则如下：
①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；
②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度；
③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度；
前四局的部分情况如下表：
若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是5，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是 ．
在3.14，−227，0，π3，65%，﹣2.4040040004…（每两个4之间依次多1个0），﹣2025中，有理数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
时光流转，我们共同迎来2026年的学习生活，愿同学们在知识的陪伴下，脚踏实地，努力前行．现在，让我们从数学的视角开启这一年：2026的相反数是（ ）
A．2026B．﹣2026C．12026D．−12026
小宇同学在数轴上表示﹣3时，由于粗心，将﹣3画在了它相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（ ）
A．向左移6个单位B．向右移6个单位
C．向左移3个单位D．向右移3个单位
若a、b互为相反数，则a+b﹣（﹣2）的值为（ ）
A．﹣2B．0C．2D．±2
﹣20的相反数是（ ）
A．−120B．20C．120D．﹣20
若|a|＝﹣a，则a是（ ）
A．非负数B．负数C．正数D．非正数
设abc≠0，且a+b+c＝0，则a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的值可能是（ ）
A．0B．±1C．±2D．0或±2
已知|a|＝a，|b|＝﹣b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
若x为有理数，则式子|x﹣2|+2023的最小值为 ．
如果x为有理数，式子2021﹣|x﹣3|存在最大值是 ，此时x＝ ．
我国是最早认识和使用负数的国家．下列负数中，最小的是（ ）
A．﹣1B．−12C．﹣3D．﹣π
几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（ ）
A．水银B．酒精C．水D．乙醚
已知a，b，c的大小关系如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ）
①b+c＜0；
②a﹣b+c＞0；
③|a|a+|b|b+|c|c=1；
④|a﹣b|﹣|a+b|＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型1 有理数
题型2 数轴
题型3 相反数
题型4 绝对值
题型5 非负数的性质：绝对值
题型6 有理数大小比较
解｜题｜知｜识
我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数．
我们还学习过正分数，如12，23，157，0.1，5.32，0.3⋅，……；负分数，如−52，−23，−17，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数．
进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=21；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3=−31；0也可以写成分数的形式01．这样，整数可以写成分数的形式．
可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．
0.1=110，﹣0.5=−12，0.3⋅=13，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数．
解｜题｜知｜识
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
解｜题｜知｜识
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
解｜题｜知｜识
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
解｜题｜知｜识
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
解｜题｜知｜识
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
局次
第一局
第二局
第三局
第四局
甲的手势
剪刀
剪刀
布
布
乙的手势
剪刀
布
石头
液体
水银
酒精
水
乙醚
凝固温度（℃）
﹣39
﹣114
0
﹣117