初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘方导学案

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知识目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc28498" 【知识点1：乘方的核心概念】 PAGEREF _Tc28498 \h 1
\l "_Tc17239" 【知识点2：有理数乘方的运算规律】 PAGEREF _Tc17239 \h 4
\l "_Tc13339" 【知识点3：易混淆表达式辨析】 PAGEREF _Tc13339 \h 6
\l "_Tc14729" 【知识点4：有理数乘方的混合运算详解】 PAGEREF _Tc14729 \h 8
\l "_Tc1918" 【知识点5：科学计数法】 PAGEREF _Tc1918 \h 10
巩固与提升
【知识点1：乘方的核心概念】
定义：从运算本质来看，乘方是“相同因数乘法的简便运算”，具体指求n个相同因数a积的运算，记为an，其中乘方运算的结果被称为“幂”。这一概念的核心是“简化表达”——当需要书写或计算多个相同因数相乘时，乘方能极大精简形式。比如3×3×3×3，是4个相同因数3连续相乘，若用乘法书写，因数个数越多越繁琐，而用乘方表示为34，既清晰又高效。
再举实例：2×2可表示为22（2个2相乘），(-5)×(-5)×(-5)可表示为−53（3个-5相乘），这些都体现了乘方对相同因数乘法的简化作用。需要注意的是，乘方是一种“运算”，就像加法、乘法一样是独立的运算形式，而“幂”是这种运算的结果，二者不可混淆。
各部分名称：乘方表达式的组成、名称及含义如下所示：
特殊说明：指数为1时，通常省略不写，比如a1=a，也就是说任何数的1次方都等于它本身。
【练习加强：乘方的核心概念】
对于算式−23，正确的说法是（ ）
A．2是底数，3是指数B．−2是底数，3是幂
C．2是底数，3是幂D．−2是底数，3是指数
【答案】A
【分析】本题考查乘方表达式中底数、指数和幂的概念。在算式 −23 中，负号不是底数的一部分，指数运算优先于负号，因此底数是2，指数是3．
【详解】解：∵−23=−23，
∴ 底数是2，指数是3，
故选：A．
计算：6×6×6×⋯×67+7+7+⋯+7（分子是x个6相乘，分母是y个7相加），则计算结果是（ ）
A．6x7yB．x67yC．6xy7D．6x7y
【答案】D
【分析】本题主要考查乘方运算，理解乘方的意义是解题的关键；根据分子是幂运算（x个6相乘），分母是乘法运算（y个7相加），直接计算即可．
【详解】∵ 分子是x个6相乘，
∴ 分子=6x；
∵ 分母是y个7相加，
∴ 分母=7×y=7y；
∴ 原式=6x7y；
故选：D．
下列说法不正确的是（ ）
A．2×5可表示两个5相加B．2×5可表示五个2相加
C．25可表示两个5相乘D．25可表示五个2相乘
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的乘法和乘方，根据有理数的乘法和乘方的定义判断即可得出答案．
【详解】解：A、2×5可表示两个5相加，正确，故不符合题意；
B、2×5可表示五个2相加，正确，故不符合题意；
C、25可表示五个2相乘，原说法不正确，故符合题意；
D、25可表示五个2相乘，正确，故不符合题意；
故选：C．
计算4×4×4×⋅⋅⋅×4n个4的结果是（ ）
A．4nB．4nC．n4D．4+n
【答案】B
【分析】本题主要考查乘方的定义，熟练掌握乘方的运算定义是解题的关键．根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n，由此求解即可．
【详解】∵n个4相乘表示为4n，
∴4×4×4×⋯×4n个4=4n，
故选：B．
关于−53，下列语句不正确的是（ ）
A．表示−5×−5×−5B．底数是−5，指数是3
C．读作−5的3次方D．计算结果等于125
【答案】D
【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，乘方的运算，根据−53的底数为−5，指数为3，表示3个−5的乘积，即−53=−125，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：−53的底数为−5，指数为3，表示3个−5的乘积−5×−5×−5，即−53=−125，读作−5的3次方，故ABC正确，不符合题意；D错误，符合题意．
故选：D．
【知识点2：有理数乘方的运算规律】
不同类型有理数的乘方运算遵循特定规律，具体如下表所示：
核心口诀（方便记忆）：正的次方全为正，负的次方看指数；奇次负，偶次正，0 的正次还是 0。
【练习加强：有理数乘方的运算规律】
有理数(−1)2，(−1)3，−12，−1，−(−1)，−1−1中，其中等于−1的个数是（ ）
A．2个B．3个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，化简多重符号，有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．逐个计算，判断是否等于−1，然后统计个数，即可解答 ．
【详解】解：∵−12=1≠−1，−13=−1，−12=−1，|−1|=1≠−1，−−1=1≠−1，−1−1=1≠−1，
∴等于−1的个数有2个．
故选：A．
下列各式中，不相等的是（ ）
A．−32和32B．−32和−32
C．−23和−23D．−23和−23
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，化简绝对值．通过直接计算每个选项中两个表达式的值，判断它们是否相等，即可作答．
【详解】解：A、−32=9，32=9，∴该选项中的各式相等，故不符合题意；
B、−32=9，−32=−9，∴该选项中的各式不相等，故符合题意；
C、−23=−8，−23=−8，∴该选项中的各式相等，故不符合题意；
D、−23=23=8，−23=−8=8，∴该选项中的各式相等，故不符合题意；
故选：B．
如果a2=16，则a是（ ）
A．8或−8B．−4C．4D．4或−4
【答案】D
【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵42=16，−42=16，a2=16，
∴a是：4或−4．
故选：D．
若126×38=p，则126×36的值可以表示为（ ）
A．16pB．p−9C．p−6D．19p
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键．
【详解】∵126×38=p,
∴126×36×32=p,
∴126×36×9=p,
∴126×36=19p，
故选：D．
10．将−3.43，−3.44，−3.45从小到大排列正确的是（ ）
A．−3.43