初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘方优秀导学案

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘方优秀导学案，共3页。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 有理数的乘方
【典例1】下列各组数相等的有（ ）
A．（﹣2）2与﹣22B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2
C．﹣|﹣0.3|与0.3D．|a|与a
【答案】B
【解答】解：A．∵（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，﹣22＝﹣2×2＝﹣4，∴﹣4≠4，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣1）3＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，∴（﹣1）3＝﹣（﹣1）2，故此选项符合题意；
C．∵﹣|﹣0.3|＝﹣0.3，﹣0.3≠0.3，故此选项不符合题意；
D．∵当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式1】下列四个数：﹣（﹣5），|﹣3|，﹣22（﹣1）5，其中负数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：∵﹣（﹣5）＝5，|﹣3|＝3，﹣22＝﹣4，（﹣1）5＝﹣1，
∴负数有2个．
故选：B．
【变式2】我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），如：f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）．若f（2）＝k（k≠0），那么f（128）的结果是（ ）
A．128kB．64kC．264kD．k64
【答案】D
【解答】解：∵f（2）＝k（k≠0）
由新运算，可知：
f（128）＝ f（64+64）
＝ f（64）•f（64）＝f（32+32）•f（32+32）＝ f（32）•f（32）•f（32）•f（32）
＝f（16）•f（16）•f（16）•f（16）•f（16）•f（16）•f（16）•f（16）
=f(8)⋅f(8)(8)︸16个
=f(4)⋅f(4)(4)︸32个
=f(2)⋅f(2)(2)︸64个
＝k64，
故选：D．
【变式3】下列计算正确的是（ ）
A．﹣33＝﹣9B．﹣42＝﹣16
C．(−15)3=1125D．(−13)4=−43
【答案】B
【解答】解：A、﹣33＝﹣27≠﹣9，故本选项不符合题意；
B、﹣42＝﹣16，故本选项符合题意；
C、(−15)3=−1125≠1125，故本选项不符合题意；
D、(−13)4=181≠−43，故本选项不符合题意．
故选：B．
题型2 非负数的性质：偶次方
【典例1】若（a﹣2）2+|b+4|＝0，则ba的值为 16 ．
【答案】16．
【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+4|＝0，
∴a﹣2＝0，b+4＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，
∴ba＝（﹣4）2＝16．
故答案为：16．
【变式1】若|a+2|+（b﹣3）2＝0，则a÷b＝ −23 ．
【答案】−23
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
所以，a÷b=−23．
故答案为：−23．
【变式2】已知|a+6|+（b﹣3）2＝0，求a﹣b和a+b的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|a+6|+（b﹣3）2＝0，
∴a+6＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣6，b＝3，
∴a﹣b＝﹣6﹣3＝﹣9，
∴a+b＝﹣6+3＝﹣3．
题型3 科学记数法—表示较大的数
【典例1】根据某网站统计数据，截止至2026年4月，DeepSeek的总访问量突破1160000000次．数据1160000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.16×1010B．11.6×108
C．0.116×1011D．1.16×109
【答案】D．
【解答】解：1160000000＝1.16×109．
故选：D．
【变式1】宇宙浩瀚无垠，它的宏伟与玄奇超乎人类想象．为更方便地计量太阳系中各天体间的距离，国际天文学联合会在1976年颁布了被称为“天文单位”（简写为A．U．）的日地距离，并于2012年将其长度确定为149597870700米，可近似看作1.5×1011米．八大行星中，离太阳最远的海王星到太阳的平均距离为30天文单位，即a米，则a的值可近似为（ ）
A．30×1011B．4.5×1012C．3×1012D．5×109
【答案】B
【解答】解：a＝30×1.5×1011＝4.5×1012，
故选：B．
【变式2】中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×109个B．12×109个
C．1.2×1010个D．1.2×1011个
【答案】C
【解答】解：120亿个用科学记数法可表示为：1.2×1010个．
故选：C．
【变式3】九三阅兵之后国际形势变化较大，全国要求台湾回归祖国的呼声越来越高．据统计截至11月以来，收到相关邮件为800万件，用科学记数法表示是（ ）
A．80×105件B．8×106件C．8×105件D．0.8×107件
【答案】B
【解答】解：800万＝8000000＝8×106．
故选：B．
过 关 验 收
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣32与（﹣3）2B．﹣23与（﹣2）3
C．﹣（+2）与﹣|﹣2|D．42与24
【答案】A
【解答】解：∵A：﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，
∴﹣32与（﹣3）2互为相反数，符合题意．
B：﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，不互为相反数，不符合题意．
C：﹣（+2）＝﹣2，﹣|﹣2|＝﹣2，不互为相反数，不符合题意．
D：42＝16，24＝16，不互为相反数，不符合题意．
∴正确答案为A．
故选：A．
2．下列各对数中，相等的一对是（ ）
A．﹣5与﹣（﹣5）B．﹣（﹣5）与﹣|﹣5|
C．(−12)3与−(−13)2D．122与(−12)2
【答案】D
【解答】解：A、﹣（﹣5）＝5≠﹣5，选项计算错误，不符合题意；
B、﹣（﹣5）＝5，﹣|﹣5|＝﹣5，5≠﹣5，选项计算错误，不符合题意；
C、(−12)3=−18，−(−13)2=−19，−18≠−19，选项计算错误，不符合题意；
D、122=14，(−12)2=14，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
3．下列各数中：﹣42，0，−(−13)2，（﹣1）2024，﹣（﹣6），−|−35|中，非负数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解答】解：∵﹣42＝﹣16，
−(−13)2=−19，
（﹣1）2024＝1，
﹣（﹣6）＝6，
−|−35|=−35，
∴非负数有：0，（﹣1）2024，﹣（﹣6），共3个，
故选：B．
4．下列各式运算错误的是（ ）
A．﹣（﹣2）＝2B．|﹣2|＝﹣|﹣2|C．﹣（﹣2）2＝﹣4D．﹣22＝﹣4
【答案】B
【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，所以A选项的计算正确，不符合题意；
B、|﹣2|＝2，所以B选项的计算错误，符合题意；
C、﹣（﹣2）2＝﹣4，所以C选项的计算正确，不符合题意；
D、﹣22＝﹣4，所以D选项的计算正确，不符合题意．
故选：B．
5．下列说法：①若ab=−1，则a、b互为相反数；②若ba＞0，且a+b＜0，则|a|+|b|＝﹣a﹣b；③一个数的立方是它本身，则这个数为0或1或﹣1；④若﹣1＜a＜0，则a的倒数小于﹣1．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：①∵只有不为0的一对互为相反数的商为﹣1，∴①的说法正确；
②∵ba＞0，且a+b＜0，∴a，b同为负数，|a|+|b|＝﹣a﹣b，∴②的说法正确；
③∵03＝0，13＝1，（﹣1）3＝﹣1，∴一个数的立方是它本身，则这个数为0或1或﹣1的说法正确，∴③的说法正确；
④∵当﹣1＜a＜0时，1a＜−1，例如a＝﹣0.1时，1a=1−0.1=−10，∴④的说法正确；
综上可知：说法正确的个数为：4个，
故选：D．
6．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的34，第二次剪去剩下绳子的34，如此剪下去，第200次剪完后剩下绳子的长度是（ ）m．
A．(34)200B．(34)199C．(14)200D．(14)199
【答案】C
【解答】解：一根1m长的绳子，
第一次剪去绳子的34，即减去的绳子的长度是34m，剩下绳子的长度是14m，
第二次剪去剩下绳子的34，剩下绳子的长度是14×(1−34)=(14)2m，
第三次剪去剩下绳子的34，剩下绳子的长度是(14)2×(1−34)=(14)3m，
…，
∴第200次剪完后剩下绳子的长度是(14)200m；
故选：C．
7．某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
【答案】C
【解答】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是2n+1，
当n＝8时，存活个数是28+1＝257．
故选：C．
8．若x2＝9，|y|＝1，且xy＞0，则x+y＝（ ）
A．4B．﹣4C．4或2D．4或﹣4
【答案】D
【解答】解：∵x2＝9，
∴x＝±3，
∵|y|＝1，
∴y＝±1，
∵xy＞0，
∴x＝3，y＝1或x＝﹣3，y＝﹣1，
当x＝3，y＝1时，x+y＝3+1＝4，
当x＝﹣3，y＝﹣1时，x+y＝﹣3﹣1＝﹣4，
综上，原式的值是±4，
故选：D．
9．下列说法中正确的个数为（ ）
①﹣a一定是负数；
②一个有理数不是整数就是分数；
③任何一个有理数的平方都是正数；
④倒数等于它本身的数是±1；
⑤绝对值等于它本身的数是0；
⑥任何一个有理数的绝对值都是正数．
A．0B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：①当a＝0时，﹣a＝0，﹣a不一定是负数，选项说法错误，不符合题意；
②有理数包括整数和分数，所以一个有理数不是整数就是分数，选项说法正确，符合题意；
③02＝0，任何一个有理数的平方都是非负数，选项说法错误，不符合题意；
④倒数等于它本身的数是±1，选项说法正确，符合题意；
⑤正数的绝对值也等于它本身，选项说法错误，不符合题意；
⑥|0|＝0，选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
10．下列各数中，是负整数的是（ ）
A．﹣|﹣0.3|B．（﹣3）2C．﹣23D．﹣（﹣32）
【答案】C
【解答】解：A．﹣|﹣0.3|＝﹣0.3，不是整数；
B．（﹣3）2＝9，不是负整数；
C．﹣23＝﹣8，是负整数；
D．﹣（﹣32），不是负整数；
故选：C．
11．在+（﹣3），22，﹣22，12020，|﹣3|这些数中，一定是正数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C．
【解答】解：+（﹣3）＝﹣3＜0，是负数；
22＝4＞0，是正数；
﹣22＝﹣4＜0，是负数；
12020＝1＞0，是正数；
|﹣3|＝3＞0，是正数；
∴正数有22，12020，|﹣3|，共3个．
故选：C．
12．若a、b互为相反数，下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．a2与b2
B．﹣a3与b3
C．a2n与b2n（n为正整数）
D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）
【答案】D
【解答】解：A．a，b互为相反数，则a2＝b2，故A不符合题意；
B．a，b互为相反数，则﹣a3＝b3，故B不符合题意；
C．a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C不符合题意；
D．a，b互为相反数，由于2n+1是奇数，则a2n+1与b2n+1互为相反数，故D正确；
故选：D．
13．一个数的立方等于它自身，则这个数可能是（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．±1或0
【答案】D
【解答】解：由于13＝1，（﹣1）3＝﹣1，03＝0，
即±1或0符合，
故选：D．
14．把一张厚度为0.1mm的纸连续对折8次后，其厚度接近于（ ）
A．0.8mmB．2.5mmC．2.5cmD．0.8cm
【答案】C
【解答】解：0.1×28＝0.1×256＝25.6（mm）＝2.56cm．
故选：C．
15．在227，﹣（﹣2），﹣|﹣5|，（﹣3）2，0，π中，正有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣5|＝﹣5，（﹣3）2＝9，
在227，﹣（﹣2），﹣|﹣5|，（﹣3）2，0，π中，正有理数是：227，﹣（﹣2），（﹣3）2，则正有理数的个数是3，
故选：C．
16．在高等数学中存在运算lim（极限），如n→∞lim1n的意思为当n非常非常大的时候，1n可以趋近于0，故可以认为n→∞lim1n=0，那么n→∞lim(12+14+18+⋯+12n)的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：由题意知12+14+18+⋯+12n=1−12n，
∵n→∞lim1n=0，
∴n→∞lim(12+14+18+⋯+12n)=n→∞lim(1−12n)=1，
故答案为1．
17．当n为正整数时，（﹣1）2n+（﹣1）2n+1＝ 0 ．
【答案】0
【解答】解：（﹣1）2n+1+（﹣1）2n＝﹣1+1＝0．
故答案为：0．
18．为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S＝1+2+22+23+…+2100，则2S＝2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S＝2101﹣1，所以S＝2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100＝2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是 32015−12 ．
【答案】32015−12
【解答】解：设M＝1+3+32+33+…+32014①，
①式两边都乘以3，得
3M＝3+32+33+…+32015②．
②﹣①得
2M＝32015﹣1，
两边都除以2，得
M=32015−12，
故答案为：32015−12．
19．如下是小琴同学的一张测试卷，他的得分应是 75 ．
【答案】75．
【解答】解：小琴的答案中①②③是正确的，
﹣3的立方是﹣27，则④是错误的，
∵每小题25分，小琴答对了3题，
∴25×3＝75（分），
故答案为：75．
20．若|a|＝3，b2＝25，且a＜b，则2a﹣b的值为 1或﹣11 ．
【答案】1或﹣11
【解答】解：∵|a|＝3，b2＝25，
∴a＝3或﹣3，b＝5或﹣5，
∵a＜b，
∴a＝3时，b＝5，此时2a﹣b＝2×3﹣5＝1，
a＝﹣3时，b＝5，此时2a﹣b＝2×（﹣3）﹣5＝﹣6﹣5＝﹣11，
故答案为：1或﹣11．
21．手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如图所示．请问这样第 8 次捏合后可拉出256根面条．
【答案】8
【解答】解：第一次﹣﹣﹣﹣﹣﹣2根面条；
第二次﹣﹣﹣﹣﹣﹣22根面条；
第三次﹣﹣﹣﹣﹣﹣23根面条；
…
第x次﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2x根面条．
于是2x＝256＝28，
x＝8．
故答案为8．
22．据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ）
A．0.1×1011B．1×109C．1×1010D．10×109
【答案】C
【解答】解：100亿＝10000000000＝1×1010．
故选：C．
23．2025年5月29日，行星探测工程天何二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为18668998km，用科学记数法表示为（ ）
A．18×103kmB．1.8×105km
C．1.9×107kmD．1.8×1010km
【答案】C．
【解答】解：18668998＝1.8668998×107≈1.9×107．
故选：C．
24．2025年国庆假期，青岛西海岸新区共接待游客143.3万人次，实现旅游业总收入13.9亿元，数据“13.9亿”用科学记数法表示为（ ）
A．13.9×108B．0.139×102C．1.39×109D．1.39×1010
【答案】C．
【解答】解：13.9亿＝1390000000＝1.39×109．
故选：C．题型1 有理数的乘方
题型2 非负数的性质：偶次方
题型3 科学记数法—表示较大的数
解｜题｜知｜识
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
解｜题｜知｜识
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
解｜题｜知｜识
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
姓名：小琴 得分：
填空（每小题25分，共100分）
①2的相反数是（﹣2）；
②倒数等于它本身的数是（1和﹣1）；
③﹣1的绝对值是（1）；
④﹣3的立方是（27）．