七年级上册（2024）有理数学案

这是一份七年级上册（2024）有理数学案，文件包含绗�21绔�浜屾鍑芥暟涓庡弽姣斾緥鍑芥暟锛堜妇涓�鍙嶄笁鍗曞厓鑷祴路鍩逛紭鍗凤級鏁板鏂版暀鏉愭勃绉戠増涔濆勾绾т笂鍐岋紙瑙ｆ瀽鐗堬級docx、绗�21绔�浜屾鍑芥暟涓庡弽姣斾緥鍑芥暟锛堜妇涓�鍙嶄笁鍗曞厓鑷祴路鍩逛紭鍗凤級鏁板鏂版暀鏉愭勃绉戠増涔濆勾绾т笂鍐岋紙璇曢鐗堬級docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

题型归纳
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3489" 【题型1 有理数的定义判断】 PAGEREF _Tc3489 \h 2
\l "_Tc6549" 【题型2 写出有理数的个数】 PAGEREF _Tc6549 \h 3
\l "_Tc21234" 【题型3 有理数的类别归属】 PAGEREF _Tc21234 \h 3
\l "_Tc6429" 【题型4 有理数分类填表】 PAGEREF _Tc6429 \h 4
\l "_Tc4612" 【题型5 数轴三要素判断】 PAGEREF _Tc4612 \h 5
\l "_Tc7818" 【题型6 数轴上的点与数互化】 PAGEREF _Tc7818 \h 6
\l "_Tc18171" 【题型7 求数轴两点距离】 PAGEREF _Tc18171 \h 6
\l "_Tc2186" 【题型8 数轴上找原点】 PAGEREF _Tc2186 \h 7
\l "_Tc25703" 【题型9 数轴动点基础题】 PAGEREF _Tc25703 \h 8
\l "_Tc15271" 【题型10 找数轴对应整数点】 PAGEREF _Tc15271 \h 8
\l "_Tc20499" 【题型11 数轴上平移问题】 PAGEREF _Tc20499 \h 9
\l "_Tc29757" 【题型12 求一个数的相反数】 PAGEREF _Tc29757 \h 10
\l "_Tc5027" 【题型13 判断相反数正误】 PAGEREF _Tc5027 \h 10
\l "_Tc16688" 【题型14 相反数符号化简】 PAGEREF _Tc16688 \h 11
\l "_Tc18169" 【题型15 数轴上找对应相反数】 PAGEREF _Tc18169 \h 11
\l "_Tc13636" 【题型16 相反数简单计算】 PAGEREF _Tc13636 \h 11
\l "_Tc10911" 【题型17 互为相反数求值】 PAGEREF _Tc10911 \h 12
\l "_Tc3142" 【题型18 求数的绝对值】 PAGEREF _Tc3142 \h 12
\l "_Tc23260" 【题型19 已知绝对值求数】 PAGEREF _Tc23260 \h 13
\l "_Tc10853" 【题型20 绝对值非负性应用】 PAGEREF _Tc10853 \h 13
\l "_Tc2078" 【题型21 绝对值化简计算】 PAGEREF _Tc2078 \h 13
\l "_Tc20330" 【题型22 数轴结合绝对值】 PAGEREF _Tc20330 \h 14
\l "_Tc18382" 【题型23 绝对值简单求值】 PAGEREF _Tc18382 \h 14
\l "_Tc25786" 【题型24 正负数直接比大小】 PAGEREF _Tc25786 \h 15
\l "_Tc26843" 【题型25 利用数轴比较数大小】 PAGEREF _Tc26843 \h 15
\l "_Tc17469" 【题型26 整数分数小数互比大小】 PAGEREF _Tc17469 \h 16
\l "_Tc20855" 【题型27 利用绝对值比较大小】 PAGEREF _Tc20855 \h 16
\l "_Tc1950" 【题型28 有理数大小比较的实际应用】 PAGEREF _Tc1950 \h 17
考点1
有理数的概念
知识点1 有理数
1.定义：可以写成分数形式的数称为有理数.其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数.
2. 说明：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数．
3. 有理数的分类：
3. 各类数的含义：
【题型1 有理数的定义判断】
【例1】（25-26六年级上·上海崇明·期末）下列关于有理数的说法，错误的是（ ）
A．0是整数B．负分数是有理数
C．有理数包括正有理数和负有理数D．1 是最小的正整数
【变式1-1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列对“0”的说法正确的个数是________
①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数．
【变式1-2】有下列说法：
（1）−3.56既是负数、分数，也是有理数；
（2）正整数和负整数统称为整数；
（3）0是非正数；
（4）7既是正数也是整数，但不是有理数．
其中正确的是__________________（填写序号）．
【变式1-3】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）下列说法中，错误的有（ ）
①−247是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数．
A．5个B．4个C．3个D．2个
【题型2 写出有理数的个数】
【例2】（25-26七年级上·四川南充·期末）在−π，0，−2，0.1010010001…，3.14%，227中，有理数的个数有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【变式2-1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）在−1.7，18，0，23，−7中，非负整数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-2】（24-25七年级上·浙江温州·月考）在−8，2019，2024，0，−12，−10.8这六个数中，分数有_____个．
【变式2-3】（25-26七年级上·河北衡水·期末）在−13,227,0,−1,0.4,2,−3,−20%这些数中，有理数有m个，整数有n个，负数有k个，则m−n−k的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【题型3 有理数的类别归属】
【例3】（25-26七年级上·河北石家庄·月考）对于数−3.14，下列说法判断正确的个数为（ ）
①是分数但不是有理数；②是负小数也是负分数；③是负数但不是有理数
A．1B．2C．3D．0
【变式3-1】（25-26七年级上·江苏常州·月考）下列各数：−2.5，−13，0.27，2025，0，−0.05其中属于非整数有理数的有___________个．
【变式3-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（ ）
A．−3.14既是负数，也是分数，还是有理数
B．0既不是正数，也不是负数，但是整数
C．−2025既是负数，也是整数，但不是有理数
D．0是非正数
【变式3-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请按要求填出相应的2个有理数：
（1）既是正数也是分数：__________________；
（2）既不是负数也不是分数：__________________；
（3）既不是分数，也不是非负数：__________________．
【题型4 有理数分类填表】
【例4】（25-26七年级上·广西防城港·期末）把下列有理数填在相应的集合内：
3,−45,0,134,0.45,120,−77,−2.56,−12313,0.3
正有理数集合：……．
负有理数集合：……．
整数集合：……．
【变式4-1】（25-26七年级上·河南三门峡·期末）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内．
①2026，②−3，③−15％，④−12，⑤3.14，⑥0，⑦−34
正数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
非负整数集合：{ …}．
【变式4-2】（25-26七年级上·内蒙古锡林郭勒·期中）将下列各数填入相应的大括号里．
−13,0.618,−3.14,260,−2,67,−0.010010001…,0,0.3·.
正分数集合：{ }；
非正整数集合：{ }；
正数集合：{ }；
有理数集合：{ }．
【变式4-3】（25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内：
−2，−213，0.6，−+3.5，0，−−3，−0.3．
负有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
非负有理数集合：{ …}．
考点2
数轴
知识点2 数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件：
（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点；
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，⋯；从原点向左，用类似的方法依次表示−1，−2，−3，⋯．
知识点3 数轴上的点与有理数之间的关系
1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点．
2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数−a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度．
【题型5 数轴三要素判断】
【例5】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）数轴是规定了______，______和______的一条______．
【变式5-2】下列说法错误的是（ ）
A．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线
B．数轴上表示有理数−a的点一定在原点的左侧
C．数轴上右边的点总比左边的点表示的数大
D．表示负数的点位于原点左侧
【变式5-3】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ ）
（1） （2）
（3） （4）
A．0B．1C．2D．3
【题型6 数轴上的点与数互化】
【例6】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，数轴上表示数1的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【变式6-1】（24-25七年级上·河南驻马店·月考）如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________．
【变式6-2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，数轴上的两个点分别表示数a和−2，则a可以是_____．（写出一个即可）
【变式6-3】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示−2的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2026的点与圆周上重合的点表示的数字是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【题型7 求数轴两点距离】
【例7】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴1个单位长度是1cm），刻度尺上0cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上6.5cm对应数轴上的数为（ ）
A．−2.5B．−3.5C．−4.5D．−5
【变式7-1】（25-26七年级上·广西北海·期末）如图，数轴的单位长度是1，若点B表示的数是2，则点A表示的数是（ ）
A．−3B．2C．−4D．−5
【变式7-2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是−2，那么点B表示的数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式7-3】（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，数轴上有两点A，B，若原点O恰好是线段AB的中点，且AB=6，则点A 表示的数为________．
【题型8 数轴上找原点】
【例8】（24-25七年级上·江苏镇江·月考）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是−3．
（1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是___________．
（2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为___________．
【变式8-1】（2026年河北省邢台市中考二模考试数学试题）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（ ）
A．点AB．点CC．点DD．点A或点C
【变式8-2】（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点A、B、C刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为O，向右为正方向．若点A,C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为______．
【变式8-3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，如果有理数a表示的点到原点距离是有理数b表示的点到原点距离的3倍，那么点A,B,C,D中___________可能是数轴的原点．
【题型9 数轴动点基础题】
【例9】边长为1的正方形OABC从如图所示的位置（点O对应数0，点A对应数－1）开始在数轴上顺时针滚动（无滑动）．当正方形的某个顶点落在数2023在数轴上对应的点处时停止运动，此时落在数2023在数轴上对应点的这个顶点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点O
【变式9-1】（24-25七年级上·江苏盐城·月考）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−20,B点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设运动t秒时，若两只蚂蚁的距离为8个单位，则运动时间t为______秒
【变式9-2】已知，如图A 、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为 −10，B点对应的数为 90．
（1）AB的中点 M对应的数为_______________
（2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度的时间为___________秒．
【变式9-3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）在数轴上点B、点C分别表示−9、1，点Q从点B出发，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴在点B和点C之间往复运动，16秒后点Q在数轴上所表示的有理数为（ ）
A．−5B．−3C．−14D．6
【题型10 找数轴对应整数点】
【例10】（25-26六年级上·上海松江·期末）在数轴上表示−1.2的点与表示1.5的点之间的整数共有______个．
【变式10-1】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数．
【变式10-2】若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点有（ ）
A．8个或9个B．9个或10个C．10个或11个D．11个或12个
【变式10-3】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
【题型11 数轴上平移问题】
【例11】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）数轴上点A表示的数是1，将点A向右移动2个单位长度后，再向左移动3个单位长度，此时点A表示的数是（ ）
A．0B．−1C．1D．2
【变式11-1】（25-26七年级上·福建南平·期中）若点A到原点的距离为3，将点A向右移动5个单位长度，到达点B，则点B在数轴上表示的数为______．
【变式11-2】（25-26七年级上·吉林长春·月考）点A在数轴上距原点5个单位长度，将点A先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点B，则点B表示的数是（ ）
A．1或−9B．−1或9C．1或9D．−1或−9
【变式11-3】（25-26七年级上·贵州安顺·期中）在数轴上，点A表示的数为−3，有一动点P，从点A出发，在数轴上做有规律的运动：第1次从点A出发向右运动1个单位长度到点B1，第2次从点B1向左运动2个单位长度到点B2，第3次从点B2向右运动3个单位长度到点B3，第4次从点B3向左运动4个单位长度到点B4……按照此规律不断地左右运动，则第2025次运动到点B2025时对应的数为______．
考点3
相反数
知识点4 相反数
1. 相反数的定义：像3和−3，12和−12这样只有符号不同的两个数，互为相反数．
2. 相反数的表示方法：一般地，a和−a互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0．
例如：当a=1时，−a=−1，1的相反数是−1，同时，−1的相反数是1．
特别地，0的相反数是0.
3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数．
4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“−”号，新的数就表示原数的相反数．
5. 多重符号的化简：与“+”号个数无关，有奇数个“−”号，结果为负，有偶数个“−”号，结果为正．
【题型12 求一个数的相反数】
【例12】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）2026的相反数是（ ）
A．−2026B．2026C．12026D．−12026
【变式12-1】（25-26九年级下·广西玉林·期中）0的相反数是_________．
【变式12-2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数的相反数是正整数，这个有理数可以是：______．（写出一个即可）
【变式12-3】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）π−3的相反数是（ ）
A．3−πB．π−3C．−π−3D．1π−3
【题型13 判断相反数正误】
【例13】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．−6是相反数B．+6是相反数
C．正数与负数互为相反数D．任何一个数都有相反数
【变式13-1】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）下列各数中，互为相反数的是（ ）
A．3和−3B．3和13C．3和−2D．0.1和−10
【变式13-2】如图，数轴上A，B两点所表示的数互为相反数，则关于原点的说法正确的是（ ）

A．在点A的左侧B．在点B的右侧C．与线段AB的中点重合D．位置不确定
【变式13-3】如果a表示有理数,那么下列说法中正确的是( )
A．+a和一(-a)互为相反数B．+a和-a一定不相等
C．-a一定是负数D．-(+a)和+(-a)一定相等
【题型14 相反数符号化简】
【例14】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（ ）
A．−−2026=−2026B．−−2026=2026
C．−+2026=−2026D．+−2026=−2026
【变式14-1】（25-26七年级上·湖北荆州·月考）化简：−−+11=________．
【变式14-2】下列各对数中，相等的是（ ）
A．−(−34)和﹣0.75B．+（﹣0.2）和-（+15）
C．−(+1100)和﹣（﹣0.01）D．-（-315）和−(+165)
【变式14-3】化简：−+−7= __，−−−2= __，+−+a=__．
【题型15 数轴上找对应相反数】
【例15】如图，数轴上有三个点A、B、C．若点A、C表示的数互为相反数，数轴的单位长度为1，则图中点B对应的数是（ ）

A．4B．3C．2D．1
【变式15-1】小宇同学在数轴上表示−3时，由于粗心，将−3画在了它相反数的位置并确定原点，要想把数轴画正确，原点应（ ）
A．向左移6个单位B．向右移6个单位
C．向左移3个单位D．向右移3个单位
【变式15-2】数轴上，若A、B表示互为相反数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8，则点A和点B 所表示的数分别是____ 和____ ．
【变式15-3】（24-25七年级上·江苏镇江·月考）如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是_____个．
【题型16 相反数简单计算】
【例16】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）若a与−1互为相反数，则a−2等于______．
【变式16-1】（25-26七年级上·四川成都·期中）若m+1的相反数是−9，则m的值为___________．
【变式16-2】（25-26七年级上·黑龙江伊春·期中）已知：a是5的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数，计算3a+3b+c=___________．
【变式16-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）已知a是最大的负整数，b是2的相反数，c是平方最小的有理数，则3a+2b−c的值为______．
【题型17 互为相反数求值】
【例17】（25-26七年级上·贵州毕节·期末）若1−2x与−12互为相反数，则x的值为_________．
【变式17-1】（25-26六年级上·上海嘉定·期末）如果a、b互为相反数，那么代数式2025−2a−2b的值是________．
【变式17-2】（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则x+y的值是______．
【变式17-3】（25-26七年级上·湖北黄冈·期末）若−10与3m+7互为相反数，则2m−1=______．
考点4
绝对值
知识点5 绝对值
1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作a．
2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果a>0,那么a=a；如果a=0，那么a=0；如果ay，则x−y的值是（ ）
A．−2或12B．2或−12C．2或12D．−2或−12
【变式19-2】若x=−x，则x一定是（ ）
A．负数B．负数或零C．零D．正数
【变式19-3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知a=5,b=3，且ab>0,a+bb>0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式22-3】（24-25七年级上·广东广州·期末）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续走了1千米到达小红家，又向西走了10千米到达小刚家，最后回到百货大楼．
(1)以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置．
(2)小明家与小刚家相距多远？
(3)若货车每千米耗油0.05升，那么这辆货车共耗油多少升？
【题型23 绝对值简单求值】
【例23】（25-26七年级上·河北秦皇岛·月考）计算：−5+−8的结果是（ ）
A．3B．−3C．13D．−13
【变式23-1】（25-26六年级上·山东威海·期末）−6的绝对值与4的差，再加上−7，结果为______．
【变式23-2】计算：|-5+3 |=_______
【变式23-3】（25-26七年级上·河南许昌·期末）计算：13−12+14−13+…+12025−12024=______．
考点5
有理数的大小比较
知识点6 有理数的大小比较
1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．
2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
3. 作差法:若两数分别为a，b，a−b>0，则a>b；若a−b