人教版（2024）九年级上册（2024）26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质课后复习题

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质课后复习题，共22页。试卷主要包含了二次函数y=ax2的图象的画法，二次函数y=ax2的图象和性质等内容，欢迎下载使用。


知识点01 二次函数y=ax2的图象和性质
1、二次函数y=ax2的图象的画法
【示例】在同一平面直角坐标系中作出和的图象.
解：列表如下
描点:如图所示,以表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点.
连线:用光滑的曲线顺次连接各点.
【方法总结】
画二次函数y=ax2的图象的三点注意
(1)列表时,自变量应以О为中心,左右两边要对应取值;
(2)画图象时,图象应越过端点,表示为向下或向上无限延伸﹔
(3)图象在两个象限内画出的曲线是对称的,顶点处不能画成尖形,应该保持平滑.
2、二次函数y=ax2的图象和性质
【注意】
（1）二次函数y =ax2的增减性一定要说明是在y轴的左侧或右侧.不能笼统地说当a>0时,y随x的增大而减小(增大).
（2）|a|决定抛物线y=ax2开口大小，|a|越大,抛物线开口越小.
知识点02 二次函数y=a(x—h)2十k的图象和性质
1、二次函数 的图象的画法
（1）描点法
（2）平移法
【注意】
（1）抛物线y=ax2＋k 是由抛物线y=ax2上下平移得到的.当k>0时,上移;当k0时,右移;当h0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________．
【答案】y2˂ y1˂y3(y3>y1>y2 也可)
【分析】
先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．
【详解】
二次函数y=a(x+2)2+c(a>0)的图像开口方向向上，对称轴是x=-2，
A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4
所以y2˂ y1˂y3
故答案为：y2˂ y1˂y3
【点睛】
此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键．
9．如图，抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
【答案】
【分析】
过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C(2，0)，
于是得到对称轴为直线x=2，设B(m，n)，根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=(m-2)，由于PB=n=，于是得到(m-2)=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．
【详解】
解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，
由抛物线y=得C(2，0)，
∴对称轴为直线x=2，
设B(m，n)，
∴CP=m-2，
∵AB∥x轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB=PC=(m-2)，
∵PB=n=，
∴(m-2)=，
解得m=，m=2(不合题意，舍去)，
∴AB=，BP=，
∴S△ABC=．
【点睛】
本题考查二次函数的性质.
10．填表．
【答案】
【解析】
【分析】
各个函数都是顶点坐标式，根据顶点式可求抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴．
【详解】
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
目标导航
知识精讲
知识点01 二次函数与之间的相互关系
1．顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2．一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【注意】
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点02 二次函数的图象的画法
1．一般方法
列表、描点、连线
2．简易画法：五点定形法
步骤：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
【注意】
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
知识点03 二次函数的图象与性质
1．二次函数图象与性质
2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
知识点04 求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，．
【注意】
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
趁热打铁
1．将二次函数化为的形式，结果为( )
A． B．
C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：y=x2﹣4x﹣1=x2﹣4x+4﹣5=(x﹣2)2﹣5．
故选D．
考点：二次函数的顶点式．
2．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是( )
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．与x轴没有交点
D．与y轴的交点坐标是(0，1)
【答案】C
【分析】
根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质依次判断各项即可解答．
【详解】
∵抛物线y＝x2﹣2x+1＝(x﹣1)2，
∴该函数图象开口向上，选项A正确，
对称轴是直线x＝1，选项B正确，
当x＝1时，y＝0，即抛物线与x轴的交点是(1,0)选项C错误
当x＝0时，y＝1，选项D正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．抛物线的图象先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得图象的解析式是，则
A．13B．11C．10D．12
【答案】B
【分析】
因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c的值．
【详解】
∵y=x2﹣3x+5=(x﹣)2+，当y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，∴y=(x﹣+3)2++2=x2+3x+7；
∴a+b+c=11．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(3，0)，对称轴是直线x＝1，则a+b+c的值为( )
A．B．1C．0D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数对称性可求出点(－3，0)关于对称轴x＝－1的对称点为(1，0)，然后把(1，0)代入y＝ax2＋bx＋c即可求出答案．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－1，
∴根据二次函数的对称性得：点A(－3，0)的对称点为(1，0)，
∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点A关于对称轴的对称点，难度不大．
5．二次函数，当________时，的最小值是_______.
【答案】-1， -4
【分析】
根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值．
【详解】
由于(x+1)2≥0，
所以当x=-1时，(x+1)2取得最小值，
则二次函数y=2(x+1)2-4最小值为-4．
故答案为：-1,-4．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，解题关键在于要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数的最小值．
6．已知抛物线经过两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
【答案】(1)y=x2-3x；(2)开口向上，直线x=，(，)
【分析】
(1)把点A、B的坐标代入函数解析式，根据待定系数法列式求解即可．
(2)配成顶点式，再根据二次函数的性质求解．
【详解】
解：(1)∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式是：y=x2-3x；
(2)，
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
对称轴为直线x=，顶点坐标为(，)．
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二函数的性质，是基础题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是( )
A．对称轴是直线x＝1B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是(1，4)D．图象与x轴的另一个交点是(4，0)
【答案】D
【分析】
利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可.
【详解】
由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确；
当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确；
图象的顶点坐标是(1，4)，故选项C正确；
图象与x轴的另一个交点是(3，0)，故选项D错误.
故选D
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
8．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
(1)写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值；
(2)求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标．
【答案】(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)．
【解析】
【分析】
(1)根据二次项系数确定开口方向，根据顶点坐标公式确定顶点坐标和对称轴．
(2)当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解方程可求得与x轴的交点为(﹣1，0)，(3，0)；当x＝0时，y＝3，即求得与y轴的交点坐标为(0，3)．
【详解】
解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4
∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标是(1，4)
当x＝1时，y有最大值是4；
(2)∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3
当x＝0时，y＝3
∴抛物线与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)．
故答案为(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是利用解析式求坐标轴的交点以及顶点坐标公式．课程标准
1、掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的图形与性质；
2、掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k实际应用；
画图步骤
解释
列表
让x取一此代表性的值(正数、负数或0),求出对应的y值,列出表格
描点
在平面直角坐标系内,以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点
连线
在平面直角坐标系内,以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点
x
……
-3
-2
-1
0
1
2
3
……
……
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
……
……
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
……
函数
a
图像
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
（0,0）
y轴
当x＞0时，
y随x的增大而增大；
当x＜0时，
y随x的增大而减小；
当x=0时，
y最小值=0
向下
（0,0）
当x＞0时，
y随x的增大而减小；
当x＜0时，
y随x的增大而增大；
当x=0时，
y最大值=0
x
……
－2
－1
0
1
2
……
……
4
1
0
1
4
……
……
5
2
1
2
5
……
……
9
4
1
0
1
……
……
10
5
2
1
2
……
二次函数
a
图像
开口方向
顶点
坐标
对称轴
增减性
最值
a＞0
向上
（0，k）
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大
当x=0时
y最小值=k
a＜0
向下
当x＜0时，y随x的增大而增大；
当x＞0时，y随x的增大而减小
当x=0时
y最大值=k
a＞0
向上
（h，0）
直线
x=h
当x＜h时，y随x的增大而减小；
当x＞h时，y随x的增大而增大
当x=h时
y最小值=0
a＜0
向下
当x＜h时，y随x的增大而增大；
当x＞h时，y随x的增大而减小
当x=h时
y最大值=0
a＞0
向上
（h，k）
直线
x=h
当x＜h时，y随x的增大而增大；
当x＞h时，y随x的增大而减小
当x=h时
y最小值=k
a＜0
向下
当x＜h时，y随x的增大而增大；
当x＞h时，y随x的增大而减小
当x=h时
y最大值=k
解析式
开口方向
顶点坐标
对称轴
y＝(x－2)2－3
y＝－(x＋3)2＋2
y=−12(x+5)2−5
y=13(x−52)2+1
y＝3(x－2)2
y＝－3x2＋2
解析式
开口方向
顶点坐标
对称轴
y＝(x－2)2－3
向上
(2，－3)
直线x＝2
y＝－(x＋3)2＋2
向下
(－3，2)
直线x＝－3
y=−12(x+5)2−5
向下
(－5，－5)
直线x＝－5
y=13(x−52)2+1
向上
(52，1)
直线x＝52
y＝3(x－2)2
向上
(2，0)
直线x＝2
y＝－3x2＋2
向下
(0，2)
直线x＝0
解析式
开口方向
顶点坐标
对称轴
y＝(x－2)2－3
向上
(2，－3)
直线x＝2
y＝－(x＋3)2＋2
向下
(－3，2)
直线x＝－3
y=−12(x+5)2−5
向下
(－5，－5)
直线x＝－5
y=13(x−52)2+1
向上
(52，1)
直线x＝52
y＝3(x－2)2
向上
(2，0)
直线x＝2
y＝－3x2＋2
向下
(0，2)
直线x＝0
课程标准
（1） 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
（2） 通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
（3）经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
函数
二次函数(a、b、c为常数，a≠0)
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点