初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）第二十六章 二次函数26.4 实际问题与二次函数课时练习

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）第二十六章 二次函数26.4 实际问题与二次函数课时练习，共22页。试卷主要包含了3《二次函数与一元二次方程》等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
【注意】
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
知识点02 抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
【注意】
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点03 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
【注意】
求一元二次方程的近似解的方法(图象法)：
(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
知识点04 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 (△＞0)．
知识点05 抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
【注意】
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．
不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
趁热打铁
1．已知二次函数y=x2+2x﹣10，小明利用计算器列出了下表：
那么方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是( )
A．﹣4.1B．﹣4.2C．﹣4.3D．﹣4.4
【答案】C
【解析】
【分析】
看0在相对应的哪两个y的值之间，那么近似根就在这两个y对应的x的值之间．
【详解】
根据表格得：当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56．
∵0距﹣0.11近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3．
故选C．
【点睛】
本题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是根据相对应的y值判断出函数值接近于0的x的值．
2．已知函数与函数的图象大致如图。若则自变量x的取值范围是( ).
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：由y1=y2，即x2=-x+3，
解得：x1=-2，x2=．
由图象可知，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是-2＜x＜．
故选C．
考点：1.二次函数的图象；2.一次函数的图象．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为( )
A．x1＝－3，x2＝0B．x1＝3，x2＝－1
C．x＝－3D．x1＝－3，x2＝1
【答案】D
【分析】
利用抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,根据(-3,0)找到另一个交点即可解题.
【详解】
解：由图可知,抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,
∵对称轴为x=-1,其中一个交点为(-3,0)
∴另一个交点为(1,0),
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质,抛物线与x轴的交点,属于简单题,读图能力是解题关键.
4．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ( )
A.k＞ B.k≥ C. k≥且k≠0 D. k＞且k≠0
【答案】C.
【解析】
试题分析：∵二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥-且k≠0．
故选C.
考点：抛物线与x轴的交点．
5．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论不正确的是( )
A．b2-4ac＜0
B．a+b+c＜0
C．c-a=2
D．方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】
试题解析：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，所以A错误；
∵顶点为D(-1，2)，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以B正确；
∵抛物线的顶点为D(-1，2)，
∴a-b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以C正确；
∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以D正确．
故选A．
考点：二次函数图象与性质.
6．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是_____．
【答案】x1＝﹣3，x2＝1
【分析】
根据二次函数的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点横坐标，即求出方程ax2+bx+c＝0的另一个根.
【详解】
∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为(-3，0)，对称轴为直线x=-1，
∴设抛物线与x轴的另一交点为(x，0)，则，解得x=1，
∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x1=-3，x2=1．
【点睛】
本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)，其对称轴是直线：；若抛物线与x轴的两个交点是A(x1，0)，B(x2，0)，则抛物线的对称轴是：.
7．若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，则c的取值范围是_____．
【答案】c＞4
【分析】
二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，即一元二次方程x2﹣4x+c＝0的判别式小于0，从而可得关于c的不等式，解不等式即可求出结果．
【详解】
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，
∴令y＝0时，x2﹣4x+c＝0的判别式△＜0，即△＝16﹣4c＜0，解得c＞4．
故答案为：c＞4．
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点问题，属于基本知识点，当对应方程的△>0时，抛物线与x轴有两个交点，当△=0时，抛物线与x轴有一个交点，当△