初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试课堂检测

22.1二次函数的图像和性质同步练习人教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为，P是抛物线上一动点，则周长的最小值是

A. 5
B. 9
C. 11
D. 13

2. 下列各式中表示二次函数的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法错误的是

A.
B. 图象的对称轴为直线
C. 点B的坐标为
D. 当时，y随x的增大而增大
 

4. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：；
   ；
   ；
   为实数；
   ．
   其中错误结论的个数有

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

5. 已知二次函数中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：

在该函数的图象上有和两点，且，，与的大小关系正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是

A.  B.  C.  D.

7. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是

A.  B.
C.  D.

8. 若抛物线平移得到，则必须

A. 先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B. 先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C. 先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D. 先向右平移1个单位，再向上平移4个单位

9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是

A.  B.  C.  D.

10. 抛物线，，共有的性质是   

A. 开口向上 B. 对称轴都是y轴 C. 都有最高点 D. 顶点都是原点

11. 对于关于x的函数，下列说法错误的是   

A. 当时，该函数为正比例函数
B. 当时，该函数为一次函数
C. 当该函数为二次函数时，或
D. 当该函数为二次函数时，

12. 二次函数的图象大致是   

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如果二次函数的图象经过原点，那么m的值为          ．
14. 若抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是________．
15. 已知四个二次函数的图象如图所示，那么，，，的大小关系是          请用“”连接排序

16. 已知抛物线的位置如图，则点在第          象限．

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

17. 如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且．
    求抛物线的解析式；
    若点在该抛物线上，求的值．
    
     

18. 在平面直角坐标系中，二次函数b，c是常数，且的图象如图所示．
    求这个二次函数的表达式；
    当时，求y的取值范围．
    
    
     

19. 已知抛物线交x轴于A、B两点，顶点是C．
    求的面积；
    若点P在抛物线上，且，求点P的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
20. 观察如图的表格：

求a、b、c的值．并在表内的空格中填上正确的数；
设，求这个二次函数的图象的对你轴与顶点坐标．






 

四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）

21. 已知抛物线．
    求这条抛物线的对称轴；
    若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
    设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知抛物线经过点．

求a的值

若点，都在该抛物线上，试比较与的大小．






 

23. 已知函数是关于x的二次函数．

求m的值．

当m为何值时，该函数图象的开口向下

当m为何值时，该函数有最小值

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，确定点P的位置是解题的关键．过点M作轴于点E，交抛物线于点P，由结合三角形三边关系，即可得出此时周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出周长的最小值．
【解答】
解：过点M作轴于点E，交抛物线于点P，此时周长最小值，
、，
，，
周长的最小值．
故选：C．  

2.【答案】B
 

【解析】解：A、，含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
B、，是二次函数，故此选项正确；
C、含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
D、，是一次函数，故此选项错误．
故选：B．
利用二次函数的定义分别分析得出即可．
此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：观察图形可知，由抛物线的解析式可知对称轴，
，A，B关于对称，
，
故A，B，C正确，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；故D错误，
故选：D．
根据二次函数的性质解决问题即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：由抛物线可知：，，
对称轴，
，
，故正确；

由对称轴可知：，
，
时，，
，
，故正确；

关于的对称点为，
时，，故正确；
当时，y的最小值为，
时，，
，
即，故错误；

抛物线与x轴有两个交点，
，
即，
，故正确；
故选：A．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，，
点到直线的距离比点到直线的距离要大，
而抛物线的开口向下，
．
故选：D．
观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，然后比较点A、点B离直线的距离的大小，再根据二次函数的性质可得到．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：二次函数的图象过点、、，
抛物线的对称轴直线x满足，抛物线的开口向上，
抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，
、、，
则，
故选：D．
由解析式可知抛物线开口向上，点、、求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：．
故选：C．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
的顶点坐标为，
抛物线先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到．
故选：B．
确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
 

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
由一次函数可知，一次函数的图象与x轴交于点，即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【解答】
解：由一次函数可知，一次函数的图象与x轴交于点，排除A、B；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，
当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；
故选  

10.【答案】B
 

【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点坐标为
抛物线的开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点坐标为
抛物线的开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点坐标为，
三条抛物线共有的性质是对称轴为y轴．
故选B．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了正比例函数的概念、一次函数以及二次函数的概念 
根据正比例函数的概念、一次函数的概念以及二次函数的概念，结合各选项分析即可 
【解答】
解：当时，该函数为，是正比例函数，A选项说法正确，故此选项不符合题意；
B.当时，，该函数为，是一次函数，B选项说法正确，故此选项不符合题意；
C.当该函数为二次函数时，且，解得，C选项说法错误，故此选项符合题意；
D.当该函数为二次函数时，且，即，D选项说法正确，故此选项不符合题意．
故选C．  

12.【答案】B
 

【解析】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是，顶点坐标为，故选B．
 

13.【答案】1
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意．根据二次函数的图象经过原点，可以求得m的值．
【解答】
解：二次函数的图象经过原点，
，
解得，，
故答案为1．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键根据两抛物线形状相同，开口方向相反，求出a的值，再将顶点坐标代入求出c的值，即可确定出解析式．
【解答】
解：抛物线与的形状相同，开口方向相反，可得，
，
把代入得：，
则该抛物线解析式为．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】解：由题图可知
的图象开口小于的图象开口，且两函数图象都开口向上，则
的图象开口大于的图象开口，且两函数图象都开口向下，则，
．
 

16.【答案】三
 

【解析】本题运用 数形结合思想 ，从图象可得出a，b，c的符号，从而判断点P所在的象限．
 

17.【答案】解：由题意得：，，
将，代入抛物线解析式得：，
则抛物线解析式为；
过C作轴，
将代入抛物线解析式得：，即，
则．
 

【解析】由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据确定出B坐标，将B坐标代入解析式求出a的值，即可确定出解析式；
将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过C作CD垂直于x轴，三角形ABC面积梯形OBCD面积三角形ACD面积三角形AOB面积，求出即可．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：抛物线经过，，三点，
，
解得：，
二次函数的表达式为．
时，得，
时，，
时，，
观察图象可知当时，y的取值范围是．
 

【解析】观察图象知抛物线经过，，三点，把三点代入函数的解析式，根据待定系数法求出函数的解析式；
时，得，时，，观察图象可得y的取值范围．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式是常用的方法，需熟练掌握并灵活运用．
 

19.【答案】解：，，．
．
所以的面积是8．

点P的纵坐标为，
当时，代入抛物线有：，得：．
当时，代入抛物线有：，得：．
所以点P的坐标为：，，，．
 

【解析】根据抛物线的性质得到，，，所以是底边为4，高为4的等腰三角形，利用三角形的面积公式可以求出三角形的面积．根据的面积是的面积的一半，得到点P的纵坐标为，然后代入抛物线可以求出点P的横坐标，确定点P的坐标．
本题考查的是二次函数的综合题，根据二次函数的性质得到A，B，C三点的坐标，然后求出的面积．根据两个三角形的底相同，而面积有2倍的关系得到点P的纵坐标，利用抛物线求出点P的横坐标．
 

20.【答案】0  4  2
 

【解析】解：当，时，，则，
当时，；当时，；
把，和，分别代入得，解得，，
即a、b、c的值分别为1，，3，
当时，；
故答案为0，4，2；
，
所以这个二次函数的图象的对你轴为直线，顶点坐标为．
先把代入可计算出，再计算自变量为0、2所对应的函数值；然后把，代入中得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、从而得到二次函数解析式，再计算自变量为1时的函数值；
把配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
 

21.【答案】解：抛物线．
抛物线的对称轴为直线；
抛物线的顶点在x轴上，
，
解得或，
抛物线为或；
抛物线的对称轴为，
则关于对称点的坐标为，
当，时，；
当，或时，．
 

【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
把解析式化成顶点式即可求得；
根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值，从而求得抛物线的解析式；
根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的性质写出m的取值．
 

22.【答案】解：抛物线经过点，
，
解得．
由得，
抛物线的开口向下．
对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大．
又，．
 

【解析】略
 

23.【答案】解：根据题意，得

解得

或．

函数图象的开口向下，

．
．
．

当时，该函数图象的开口向下．

函数有最小值，
．

．
．

当时，该函数有最小值．

【解析】见答案